Schwerpunkt homogener Rotationskörper: Aufgaben 14

(1)

4E

Schwerpunkt homogener Rotationskörper: Aufgaben 14

(2)

c

41A

Schwerpunkt eines Rotationskörpers:

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: Aufgaben 14 Aufgaben 14

Berechnen Sie den Schwerpunkt eines Rotationskörpers, der durch Drehung der Kurve y = f (x) um die xAchse und die yAchse entsteht

Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

Aufgabe 3:

Berechnen Sie den Schwerpunkt eines Rotationskörpers, der durch Drehung der Kurve y = f (x) um die xAchse entsteht

f  x  = 0.2 x

²

, x ∈ [0, 5 ]

f  x  = 0.2 x

²

, x ∈ [−3, 5]

f  x  = 0.2 x

²

, x ∈ [−5, 5]

Aufgabe 4: f  x  =  x

²

,   0, x ∈ [a , b ]

(3)

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: c

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: Lösung 1a Lösung 1a

Abb. 11: Fläche zwischen der Kurve mit der Gleichung y = 0.2 x² und der xAchse im Intervall [0, 5]

V

_x

= ⋅ ∫

0 5

y

²

dx = ⋅ ∫

0

5

 ^x 5

²



²

^dx ⁼ 25 ^ ⋅ ∫

0 5

x

⁴

dx = 

5

²

⋅ [ ^x ⁵

⁵

]

₀⁵

⁼ ²⁵ ^ ^VE

x

_S

=  V

_x

∫

0 5

x y

²

dx =  V

_x

∫

0 5

x  ^x 5

²



²

^dx ⁼ ₅ ¹

⁴

^∫

₀⁵

^x

⁵

^dx ⁼ ²⁵ 6 ≃ 4.17  LE 

41a

(4)

c

41b

Abb. 12: Schnittfläche des Rotationskörpers mit der x,yEbene, Schwerpunkt S = (4.17, 0, 0)

Schwerpunkt eines Rotationskörpers:

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: Lösung 1a Lösung 1a

(5)

c

Abb. 13: Durch Rotation des Kurvenstücks y = 0.2 x² (0 ≤ x ≤ 5) um die xAchse erzeugter Körper

41c

r 

_S

=  4.17, 0, 0

Schwerpunkt eines Rotationskörpers:

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: Lösung 1a Lösung 1a

(6)

c

Abb. 13: Fläche zwischen der Kurve mit der Gleichung y = 0.2 x² und der yAchse im Intervall [0, 5]

y  x  = 0.2 x

²

, x  y  =  ⁵ ^y ^ ^{x , y} ^ ⁰ ^

V

_y

= ⋅ ∫

0 5

x

²

dy =  ∫

0

5

  ⁵ ^y ^

²

^dy ⁼ ⁵ ^ ∫

0 5

y dy = 5

³



2  VE  y

_S

= 

V

_y

∫

0 5

y x

²

dy = 2 5

²

∫

0 5

y

²

dy = 10

3  LE  , r 

_S

≃ 0, 3.33, 0  41d

Schwerpunkt eines Rotationskörpers:

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: Lösung 1b Lösung 1b

(7)

c

Abb. 14: Durch Rotation des Kurvenstücks y = 0.2 x² (0 ≤ x ≤ 5) um die yAchse erzeugter Körper

41e

Schwerpunkt eines Rotationskörpers:

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: Lösung 1b Lösung 1b

(8)

c

42a

Abb. 21: Fläche unter der Kurve mit der Gleichung y = 0.2 x² im Intervall [3, 5]

V

_x

= ⋅ ∫

−3 5

y

²

dx =  5

²

⋅ ∫

−3 5

x

⁴

dx = 

5

²

⋅ [ ^x ⁵

⁵

]

−3 5

= 

5

³

 5

⁵

 3

⁵

  VE  x

_S

= 

V

_x

∫

−3 5

x y

²

dx = 5

5

⁵

 3

⁵

∫

−3 5

x

⁵

dx = 5 5

⁶

− 3

⁶



6  5

⁵

 3

⁵

 ≃ 3.69  LE 

Schwerpunkt eines Rotationskörpers:

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: Lösung 2 Lösung 2

(9)

c

42b

Abb. 22: Schnittfläche des Rotationskörpers mit der x,yEbene, Schwerpunkt S = (3.69, 0, 0)

Schwerpunkt eines Rotationskörpers:

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: Lösung 2 Lösung 2

(10)

c

Abb. 23: Durch Rotation des Kurvenstücks y = 0.2 x² (3 ≤ x ≤ 5) um die xAchse erzeugter Körper

42c r 

_S

=  3.69, 0, 0

Schwerpunkt eines Rotationskörpers:

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: Lösung 2 Lösung 2

(11)

c

43a

Abb. 31: Fläche unter der Kurve mit der Gleichung y = 0.2 x² im Intervall [5, 5]

V

_x

= ⋅ ∫

−5 5

y

²

dx =  5

²

⋅ ∫

−5 5

x

⁴

dx = 

5

²

⋅ [ ^x ⁵

⁵

]

₋₅⁵

⁼ ^2⋅ ⁵

²

^{ } ^VE ^

x

_S

=  V

_x

∫

−5 5

x y

²

dx = 1

2⋅ 5

⁴

∫

−5 5

x

⁵

dx = 0  LE 

Schwerpunkt eines Rotationskörpers:

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: Lösung 3 Lösung 3

(12)

c

43b

Abb. 32: Schnittfläche des Rotationskörpers mit der x,yEbene, Schwerpunkt S = (0, 0, 0)

Schwerpunkt eines Rotationskörpers:

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: Lösung 3 Lösung 3

(13)

c

43c

Abb. 33a: Durch Rotation des Kurvenstücks y = 0.2 x² (5 ≤ x ≤ 5) um die xAchse erzeugter Körper

r 

_S

=  0, 0, 0

Schwerpunkt eines Rotationskörpers:

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: Lösung 3 Lösung 3

(14)

c

43d

Abb. 33b: Durch Rotation des Kurvenstücks y = 0.2 x² (5 ≤ x ≤ 5) um die xAchse erzeugter Körper

Schwerpunkt eines Rotationskörpers:

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: Lösung 3 Lösung 3

(15)

c

44a

Abb. 41: Fläche unter der Kurve mit der Gleichung y = 0.2 x² im Intervall [a, b]

V

_x

= ⋅ ∫

a b

y

²

dx =  ∫

a b

 x

²



²

dx =  

²

[ ^x ⁵

⁵

]

_a^b

⁼ ^{ } ⁵

²

^ ^b

⁵

⁻ ^a

⁵

^ ^ ^VE ^

x

_S

=  V

_x

∫

a b

x y

²

dx = 5

b

⁵

− a

⁵

∫

a b

x

⁵

dx = 5  b

⁶

− a

⁶



6  b

⁵

− a

⁵

  LE 

Schwerpunkt eines Rotationskörpers:

Schwerpunkt eines Rotationskörpers: Lösung 4 Lösung 4

(16)

c

44b

Abb. 42: Schnittfläche des Rotationskörpers mit der x,yEbene, y = 0.2 x² im Intervall [a, b], (a = 2, b = 5), Schwerpunkt S = (4.11, 0, 0)

Schwerpunkt homogener Rotationskörper: Aufgaben 1­4

4­E