Schwerpunkt  homogener  Rotationskörper:  Beispiele

3­E

http://www.fotocommunity.de/pc/pc/cat/575/display/1246265

Schwerpunkt  homogener  Rotationskörper:  Beispiele

Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:   c

Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:   Beispiel 1 Beispiel 1

Durch  Rotation  des  Geradenstücks  y = r/h x  um  die  x­Achse  entsteht  ein Kreiskegel  mit  dem  Grundflächenradius  r  und  der  Höhe  h

Abb.  7­1a:  Geradenstück  mit  der  Gleichung  f (x) = r/h x,  0  ≤  x  ≤ h

V

= ⋅ ∫

0 h

y

dx = ⋅ ∫

0

h

 ^{h r x} 

^{dx = }  ^{h r} 

^∫

^x

^{dx =  r 3}

^{h  VE }

x

=  V

∫

0 h

x y

dx = 3

r

h  ^{h r} 

^∫

^x

^{dx = 3 4 h , y}

^{= z}

^{= 0  LE }

3­1a

3­1b

Abb.  7­1b:   Durch  Rotation  des  Geradenstücks  f (x) = r x/h  (0  ≤  x  ≤ h)  um  die        x­Achse  erzeugter  Kreiskegel  (Rotationswinkel  π)

Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:   c

Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:   Beispiel 1 Beispiel 1

Abb.  7­1c:  Durch  Rotation  des  Geradenstücks  f (x) = r x/h  (0  ≤  x  ≤ h)  um  die       x­Achse  erzeugter  Kreiskegel  (Rotationswinkel 2 π)

3­1c

Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:   c

Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:   Beispiel 1 Beispiel 1

3­2a

Durch  Rotation  des  Geradenstücks  y = r/h x  

um  die  x­Achse  entsteht  ein  abgeschnittener  Kreiskegel  mit  dem  Grundflächenradius  r  und  der  Höhe  h

Abb.  7­2a:  Geradenstück  mit  der  Gleichung  f (x) = r/h x,  a  ≤  x  ≤ h

V

= ⋅ ∫

a h

y

dx = ⋅ ∫

a

h

 ^{h r x} 

^{dx = }  ^{h r} 

^∫

^x

^{dx = } _{3 h} ^r

^{ h}

^{− a}

^{  VE }

x

=  V

∫

a h

x y

dx = 3

r

h  ^{h r} 

^∫

^x

^{dx = 3 4 } _ ^h _h

⁻ ₋ ^a _a

^ _ ^{ LE  , y}

^{= z}

^{= 0}

Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:   c

Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:   Beispiel 2 Beispiel 2

3­2b

Abb.  7­2b:  Durch  Rotation  des  Geradenstücks  f (x) = r x/h  (a  ≤  x  ≤ h)  um  die       x­Achse  erzeugter  Kreiskegel  (Rotationswinkel  3 /2π )

Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:   c

Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:   Beispiel 2 Beispiel 2

3­2c

Abb.  7­2c:  Durch  Rotation  des  Geradenstücks  f (x) = r x/h  (a  ≤  x  ≤ h)  um  die       x­Achse  erzeugter  Kreiskegel  (Rotationswinkel 2 π)

Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:   c

Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:   Beispiel 2 Beispiel 2

3­2d

Abb.  7­2d:  Ein  gefülltes  Saftglas  als  Rotationskörper 

Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:   c

Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:   Beispiel 2 Beispiel 2

Rotationskörper  der  Aufgabe:   c

Rotationskörper  der  Aufgabe:  Beispiel  3 Beispiel  3

Abb.  7­3a:  Die  Darstellung  eines  Glases  als  Rotationskörper

3­3a ^{f  x  = a x}

2

, a  0

http://www.gzweb.ru/uploads/posts/2008-04/1207505939_1185788835_072746aa7b65546c3.jpg

Als nächstes Anwendungsbeispiel untersuchen wir ein Weinglas. Die Funktion,

deren Rotation das Weinglas beschreibt, unterscheidet sich etwas von einer Parabel

Abb.  7­3b:    Durch  Rotation  des  Kurvenstücks  y = g (x)  um  die  x­Achse  erzeugte  paraboloidähnliche  Fläche

f  x  =  ^{x , g  x  = 1.02}  ^{x e}

3­3b

oder von einer Wurzelfunktion:

Aber man kann trotzdem das Glas näherungsweise durch Rotation der quadratischen Funktion oder der Wurzelfunktion beschreiben.

Rotationskörper  der  Aufgabe:   c

Rotationskörper  der  Aufgabe:  Beispiel  3 Beispiel  3

Schwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:   c

Schwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:   Beispiel  3 Beispiel  3

Abb.  7­3c:   Kurvenstück  mit  der  Gleichung   f (x) = a √x,   0  ≤  x  ≤ h,  a  >  0

y = a  ^{x , V}

^{= ⋅} ∫

0 h

y

dx =  a

⋅ ∫

0 h

x dx = 

2 a

h

 VE  x

= 

V

∫

0 h

x y

dx =  a

V

∫

0 h

x

dx = 2 h

3  LE  , y

= z

= 0

3­3c

3­3d

Abb.  7­3d:   Durch  Rotation  der  Kurven  y = f (x)  und  y = g (x)  um  die  x­Achse  werden  zwei  Paraboloide        erzeugt,  die  den  selben  Schwerpunkt  S = (2/3h, 0)  haben

f  x  =  ^{x , g  x =}  ^{3 x}

Schwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:   c

Schwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:   Beispiel  3 Beispiel  3

3­3e

Abb. 7­3e:   Durch  Rotation  der  Funktion  f (x) = 3/4 √x  (0  ≤  x  ≤ h)  um  die       x­Achse  erzeugtes  Rotationsparaboloid  (Rotationswinkel 2 π)

Schwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:   c

Schwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:   Beispiel  3 Beispiel  3

Schwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:   c

Schwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:   Beispiel  3 Beispiel  3

Abb. 7­3f:  Ein  Sektglas  als  Rotationskörper

3­3f

Schwerpunkt  einer  Halbkugel:   c

Schwerpunkt  einer  Halbkugel:   Beispiel  4 Beispiel  4

3­4a

Abb.  7­4a:    Kurvenstück  mit  der  Gleichung   f (x) = (h² ­ x²)½,   0  ≤  x  ≤ h

V

= 1

2 V

= 2  h

3 x

= 

V

∫

0 h

x   ^h

^{− x}

^

^{dx = 3} ₈ ^{h , y}

^{= z}

^{= 0}

Abb. 7­4b:  Durch  Rotation  des  Kurvenstücks  y = (h² ­ x²)½  (0  ≤  x  ≤ h)  um        die  x­Achse  erzeugte Halbkugel

c

3­4b

Schwerpunkt  einer  Halbkugel:  

Schwerpunkt  einer  Halbkugel:   Beispiel  4 Beispiel  4

Eine  Halbkugel c

Eine  Halbkugel

3­4c

http://katrika.com/onefloorup.com/uploaded_images/November07/1101­petpeek.jpg

c

3­4d

Abb.  7­4c:    Schnittflächen  der  x,y­Ebene  mit  den  Rotationskörpern:  Kegel (1),  Paraboloid (2)  und       Halbkugel (3)  und  entsprechende  Schwerpunkte

1 : x

= h

4 , 2 : x

= h

3 , 3 : x

= 3 h 8

Schwerpunkte:  

Schwerpunkte:   Zusammenfassung Zusammenfassung