Mathematik IV f¨ ur Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universit¨ at Rostock, Institut f¨ ur Mathematik
Sommersemester 2007
Prof. Dr.F. Liese Dipl.-Math.M. Helwich
Serie 10 Termin: Achtung! Abgabe am Donnerstag, 14. Juni 2007
Aufgabe 1(4 Punkte)
Es sei X eine im Intervall [−1,1] gleichverteilte Zufallsvariable.
a) Berechnen Sie die Kovarianz von X und X2. b) Sind die Zufallsvariablen X und X2 unabh¨angig?
Betrachten Sie dazu die Ereignisse A={−12 ≤X≤ 12} und B={0≤X2≤ 14}.
Aufgabe 2(3 Punkte)
X1 und X2 seien unabh¨angige Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 und Varianz 1. Berechnen Sie die Korrelation von X =X1+ 2X2 und Y =X1+X2+ 3.
Aufgabe 3(3 Punkte)
Die Ann¨aherung der Binomialverteilung durch die Poissonverteilung soll numerisch ¨uberpr¨uft werden.
Berechnen Sie mit Hilfe von EXCEL folgende Einzelwahrscheinlichkeiten f¨ur k= 0, ...,10 : bn,p(k) f¨ur n= 20, p= 0.1 und πλ(k) mitλ=n p
bn,p(k) f¨ur n= 80, p= 0.025 und πλ(k) mitλ=n p.
Deuten Sie die Ergebnisse hinsichtlich Ihrer Genauigkeit.
Aufgabe 4(4 Punkte)
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz einer exponentialverteilten Zufallsgr¨oße X! Aufgabe 5(3 Punkte)
Y m¨oge eine geometrische Verteilung mit dem Parameter p besitzen. Berechnen Sie den Erwartungs- wert von Y.
Aufgabe 6(3 Punkte)
Eine sehr spezielle Zeitschrift soll in einem Laden angeboten werden. Sei X die in einer Woche verkaufte Anzahl von Zeitschriften. Aus langj¨ahriger Erfahrung ist folgender Bedarf bekannt:
k 1 2 3 4 5 6
P(X =k) 1/15 2/15 3/15 4/15 3/15 2/15.
Die Zeitung kostet 5.00 Euro f¨ur den Ladenbesitzer und wird von ihm f¨ur 10.00 Euro weiterverkauft.
Am Ende der Woche sind die nicht verkauften Zeitungen wertlos. Sollte der Ladenbesitzer 3,4 oder 5 Zeitschriften bestellen?
Hinweis: Der Verkaufserl¨os ist V = 10M in(X, j), j= 3,4,5 und der Gewinn G=V−5j. Ermitteln Sie P(V =k), k≤10j und den Erwartungswert E(G) !
Ubungsaufgaben sind verf¨ugbar unter:¨
http://www.math.uni-rostock.de/∼helwich/Uebungen.html
