Mathematik IV f¨ ur Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universit¨ at Rostock, Institut f¨ ur Mathematik
Sommersemester 2007
Prof. Dr.F. Liese Dipl.-Math.M. Helwich
Serie 12 Termin: 29. Juni 2007
Aufgabe 1(3 Punkte)
Zwei Ohmsche Widerst¨ande sind hintereinander geschaltet. Die Werte R1 und R2 f¨ur diese Wi- derst¨ande sind unabh¨angig voneinander und normalverteilt mit
µ1 = 500 Ω und σ1 = 10 Ω bzw. µ2 = 200 Ω und σ2= 2 Ω.
In welchen Grenzen 700−c und 700 +c liegt mit der Wahrscheinlichkeit 0.99 der Gesamtwiderstand?
Aufgabe 2(6 Punkte)
Die Kapazit¨at K von Kondensatoren einer gr¨oßeren Lieferung sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ= 200µF und der Varianz σ2= 25 (µF)2. Wie groß ist die Wahrschein- lichkeit p (oder p·100% = Ausschussanteil) daf¨ur, dass ein zuf¨allig herausgegriffener Kondensator fehlerbehaftet ist, wenn die Kapazit¨at K qualit¨atsgerechter Kondensatoren
a) mindestens 198µF betragen muss, b) h¨ochstens 202µF betragen darf,
c) maximal 5µF vom Sollwert 200µF abweichen darf?
d) Bei welchen Toleranzgrenzen 200−c; 200 +c ist die Wahrscheinlichkeit f¨ur das Auftreten eines fehlerbehafteten Kondensators kleiner als 0.01?
Aufgabe 3(3 Punkte)
20 Schrauben aus einem Sortiment haben die L¨angen (in mm):
10; 11; 13; 11; 12; 13; 14; 10; 9; 10; 10; 11; 12; 14; 14; 10; 11; 10; 16; 9
Unter der Voraussetzung, dass diese Stichprobe aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit σ= 1 stammt, konstruiere man ein Konfidenzintervall f¨ur µ zur Sicherheit von 1−α = 0.99. Welches Intervall h¨atte sich ergeben, wenn σ nicht bekannt gewesen w¨are?
Aufgabe 4(4 Punkte)
Bei einer Abf¨ullmaschine f¨ur Haferflocken wurden die Abweichungen vom Normwert 500 g bei 50 Packungen registriert. Dabei ergaben sich folgende Werte.
Zerlegen Sie das Intervall von 9 bis 13 in 8 gleichlange Intervalle und tragen Sie die relativen H¨aufigkeiten ¨uber diesen Intervallen in Form eines S¨aulendiagramms ab. Welche Dichtefunktion ließe sich hier gut anpassen?
10.4 11.07 8.95 11.45 11 8.32 10.11 13.3 11.65 9.62 10.87 10.86 10.62 11.12 8.99 8.62 9.21 11.6 9.78 10.9 8.45 8.32 11.14 11.09 9.94 11.02 9.72 12.62 12.49 9.68 10.43 10.53 10.71 10.64 9.67 9.19 11.36 10.67 9.57 12.01
9.87 10.44 11.59 8.53 9.77 9.26 12.26 12.09 10.03 9.97
Aufgabe 5(4 Punkte)
Die Brenndauer in 100 h von Gl¨uhlampen einer bestimmten Sorte wurde mit Hilfe einer Stichprobe vom Umfang 40 ermittelt. Dabei ergaben sich folgende Werte.
21.43 7.18 12.67 15.1 0.38 6.03 8.44 15.01 0.82 0.09 5.19 4.91 5.21 13.57 8.3 4.13 39.88 5.61 9.43 7.98 9.44 4.57 10.29 7.62 1.04 19.84 24.39 14.08 9.91 3.29 8.73 25.77 5.35 8.3 10.76 0.38 7.53 10.83 6.91 7.94
Zerlegen Sie den Bereich 0 bis 40 in 5 gleichlange Intervalle und stellen Sie die relativen H¨aufigkeiten als S¨aulendiagramme ¨uber diesen Intervallen dar. Welcher Dichte k¨onnte dieses Diagramm entsprechen?
Ubungsaufgaben sind verf¨ugbar unter:¨
http://www.math.uni-rostock.de/∼helwich/Uebungen.html
