Mathematik f¨ur Pharmazeuten W. Nagel
WS 2017/18
Ubungsaufgaben,¨ 10. Serie
1. Es wird angenommen, dass 1% der Bev¨olkerung eine bestimmte Allergie hat. Es wird ein Test f¨ur diese Allergie entwickelt, und eine Studie ergibt, dass der Test bei 60% der Allergiker die Allergie auch anzeigt. Andererseits wird festgestellt, dass der Test bei 10% der Personen, die diese Allergie gar nicht haben, dennoch eine Allergie anzeigt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit (mit vorheriger Angabe passender Zufallsvari- ablen und Formeln!) daf¨ur, dass
(a) bei einer zuf¨allig ausgew¨ahlten Person der Test eine Allergie anzeigt,
(b) eine zuf¨allig ausgew¨ahlte Person die Allergie hat, wenn der Test bei ihr eine Allergie anzeigt.
2. Zeigen Sie, dass f¨ur eine exponentialverteilte zuf¨allige Variable X gilt: F¨ur beliebige s, t >0 gilt
P(X > t+s|X > t) =P(X > s).
Wenn X eine Lebensdauer bezeichnet, dann kann man diese Eigenschaft als ’Nicht- alterungseigenschaft’ interpretieren.
3. F¨ur eine zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y) sei das Verteilungsgesetz durch fol- gende Tabelle gegeben:
X = 1 X = 2 X = 3 X = 4
Y = 0 241 16 121 241
Y = 1 161 14 18 161
Y = 2 481 121 241 481
(a) Bestimmen Sie die Verteilungsgesetze von X und von Y.
(b) Pr¨ufen Sie f¨ur alle Paare von Ereignissen der Form (X =i, Y =j), i= 1, ...,4, j = 0,1,2, ob diese stochastisch unabh¨angig sind.
