Theorie B (SS2003) Musterlosung Ubungsblatt 2 16.05.03
1 a)
Transformation aufdie generalisierten Koordinaten (=Kugelkoordinaten):
x = lsin ()os(')
y = lsin ()sin(')
z = los ()
=) _
x = los () _
os (') lsin ()sin(')'_
_
y = los () _
sin (')+lsin()os (')'_
_
z = lsin () _
Kinetishe Energie: T = 1
2 m(x_
2
+y_ 2
+z_ 2
) =)
T = 1
2 ml
2
f ( _
) 2
[os 2
()os 2
(')+os 2
()sin 2
(')+sin 2
()℄+
+(')_ 2
[sin 2
()sin 2
(')+sin 2
()os 2
(')℄+
+2 _
'_[0℄g
= 1
2 ml
2
[( _
) 2
+sin 2
()(')_ 2
℄
potentielle Energie:
V =mgh= mgz = mglos()
furgeeignet gewahltenBezugspunkt h=0.Damit lautetdie Lagrangefunktion
L(;
_
;')_ = 1
2 ml
2
[( _
) 2
+(sin ()')_ 2
℄+mglos ()
b)
Lagrangegleihung allgemein:
d
dt L
q_
= L
q
fur jedegeneralisierte Koordinate q.
Hier: q=',
L
'_
=ml 2
sin 2
()'_
L
'
=0
=) d
dt L
z
=0 mit L
z
:=m(lsin ()) 2
_ '
Bedeutung: Esgibt oenbar eineErhaltungsgroe (=Integral/Konstante derBewegung).Diesist
L
z
,der Drehimpulsinz-Rihtung.L
z
isterhalten, weildie Lagrangefunktionnihtvon'abhangt
(' ist eine \zyklishe" Koordinate), also symmetrish bezuglih (= invariant unter) Drehungen
um die z-Ahse ist. Letzteres ist ja auhanshaulih klar.
(Ahtung: die Erhaltungsgroe ist der Drehimpuls L , niht etwa die Winkelgeshwindigkeit '_!)
)
Lagrangegleihung fur:
L
_
=ml 2
_
L
=ml 2
sin ()os()(')_ 2
mglsin ()
Die Bewegungsgleihung istdamit
= g
l
sin ()+(')_ 2
sin ()os()
Wenn wir jetzt '_ durh L
z
ersetzen, erhalten wir eine (nihtlineare) Bewegungsgleihung alleine
fur(t), dennL
z
ist ja zeitlih konstant. Einsetzen von '_ =L
z
=(ml 2
sin 2
()) ergibtalso
= g
l
sin ()+ L
2
z os()
m 2
l 4
sin 3
()
Furkleine Auslenkungen entwikelt man wie
ublih sin () und os()1 )
=f(); f()= g
l +
L 2
z
m 2
l 4
3
d)
DieseBewegungsgleihung istnaturlihimmernohnihtohneweitereslosbar.Oenbarsetzt
sihdiegeneralisierte\Kraft"f()auszweigegensatzlihenAnteilenzusammen:dieruktreibende
Kraft g
l
des harmonishen Pendels und die nah auen gerihtete Zentrifugalkraft. Fur _
= 0
ergibt sih damit eine neue Ruhelage
0
>0, die durh L
z
bestimmt wird, was wiederum durh
Anfangsbedingungen vorgegeben wird. Ruhelage:
f(
0
)=0 =)
0
= L
2
z
m 2
gl 3
!
1=4
DieNaherungbestehtnundarin,furkleineAuslenkungenumdieseRuhelagezuentwikeln:Taylor:
f()f(
0 )
| {z }
=0 +f
0
(
0
)(
0 ) ; f
0
(
0 )=
g
l 3
L 2
z
m 2
l 4
4
0
= 4 g
l
Einsetzen von f() liefert die genaherteBewegungsgleihung fur(t),
(t)+4 g
l
[(t)
0
℄=0
also ein harmonishes Pendel (Oszillator) mit vershobener Ruhelage
0
und erhohter Eigenfre-
quenz !
0
= 2 q
g=l. Dieser Pendelbewegung in -Rihtung ist eine Kreisbewegung in der x-y-
Ebene uberlagert. Diese ist allerdings niht gleihformig, da (wie gesagt) '_ niht konstant ist
(sondern L
z
):'_ ='()_ L
z
2 2 .
2 a)
Energieder Feder: U
F
= 1
2
D(q a) 2
, q=Abstand der Massen.
Wir brauhen q alsFunktion der Winkel '
1
;'
2 .
Dazu:
x
1
= lsin('
1
) x
2
= lsin('
2 )+a
y
1
= los ('
1
) y
2
= los ('
2 )
Furdas Abstandsquadratergibt sih damit
q 2
=jr
2 r
1 j
2
= (x
2 x
1 )
2
+(y
2 y
1 )
2
= l 2
h
(sin ('
2
) sin('
1 )+
a
l )
2
+(os('
2
) os ('
1 ))
2 i
Alles ausmultiplizieren und ausnutzen von
sin 2
+os 2
=1 und sin ('
1 )sin ('
2
)+os ('
1
)os('
2
)=os ('
1 '
2
) liefert
q 2
=2l 2
"
a 2
2l 2
+ a
l [sin ('
2
) sin ('
1
)℄+1 os ('
2 '
1 )
#
.
Die Wurzel daraus und in U
F
= 1
2
D(q a) 2
eingesetzt ergibt shlielih
U
F
=Dl 2
8
<
: s
a 2
2l 2
+ a
l [sin ('
2
) sin ('
1
)℄+[1 os ('
2 '
1 )℄
a
p
2l 9
=
; 2
b)
Gesamte potentielle Energie: U =U
F +m
1 gh
1 +m
2 gh
2 .
DieHohenderMassenuber demtiefstenPunkt(Ruhelage)sind h
1;2
=(l jy
1;2
j)=l los('
1;2 ),
also
U('
1
;'
2 )=U
F +m
1
gl[1 os('
1
)℄+m
2
gl[1 os ('
2 )℄
Naherung fur kleine Winkel:
Systematik: Eigentlih mute man zuerst sin und os bis zur quadratishen Ordnung entwikeln
(Bronstein), d.h., sin (')'' und os (')'1 1
2 '
2
,dieses in U einsetzen und die Wurzelmit
p
1+x ' 1+ 1
2 x
1
8 x
2
entwikeln. Dann in U
F
den f:::g 2
-Term ausmultiplizieren und alle
Terme hoherer alsquadratisher Ordnung, d.h., ' 3
1
;' 3
2
;'
1 '
2
2
et., weglassen.
Glukliherweise vereinfaht sih die Wurzel vonselbst, und man brauht nurstur durhrehnen:
Mit sin(')'' und os(')'1 1
2 '
2
ergibt sih in U
F
p
::: ' s
a 2
2l 2
+ a
l ('
2 '
1 )+
1
2 ('
2 '
1 )
2
= a
p
2l v
u
u
t
1+2 l
a ('
2 '
1 )+
l
a
!
2
('
2 '
1 )
2
= a
p v
u
u
t
1+ l
a ('
2 '
1 )
!
2
= a
p
+ 1
p
('
2 '
1 )
und damit U
F
= 1
2 Dl
2
('
2 '
1 )
2
.
Werden nun nohdie os inder Shwereenergie entwikelt, erhaltman
U('
1
;'
2 )=
1
2 gl(m
1 '
2
1 +m
2 '
2
2 )+
1
2 Dl
2
('
1 '
2 )
2
AlserstenTestderRehnungkannmansihdavonuberzeugen, dadasMinimumderpotentiellen
Energie, also die Gleihgewihtslage, wie gefordertbei '
1
='
2
=0 liegt.
)
Furdie Lagrangefunktion brauhen wir noh die kinetishe Energie:
T = 1
2 m
1 (x_
2
1 +y_
2
1 )+
1
2 m
2 (x_
2
2 +y_
2
2 ).
Mit x_
1
=los('
1 )'_
1
;y_
1
=lsin ('
1 )'_
1
) (x_ 2
1 +y_
2
1 )=l
2
_ ' 2
1
und analog fur '
2 folgt
L('
1
;'_
1
;'
2
;'_
2
)=T U = l
2
2
m
1 _ '
2
1 +m
2 _ ' 2
2 g
l (m
1 '
2
1 +m
2 '
2
2
) D('
1 '
2 )
2
DieLagrangegleihungenlauten d
dt L
'_
1;2
= L
'
1;2
.DarausergebensihdieBewegungsgleihungen
'
1 +
g
l '
1
= D
m
1 ('
1 '
2 )
'
2 +
g
l '
2
= D
m
2 ('
2 '
1 )
Die linken Seiten sind oenbar die Bewegungsgleihungen zweier mathematisher Pendel in har-
monisher Naherung, wie aus Theorie A bekannt. Die rehte Seite koppelt diese harmonishen
Oszillatoren
uber das lineare Kraftgesetz der Feder aneinender $ \gekoppelte harmonishe
