1. Lorentz-Kraft (2+2+3)

(1)

1. Lorentz-Kraft (2+2+3)

Einem elektrischen Feld Er

wird ein Br

-Feld überlagert.

a) Wie muß das elektrische Feld gewählt werden, damit ein Elektron, das mit der Geschwindigkeit vr0 =

(

0,0,v0

)

senkrecht zum Magnetfeld ^B^r ⁼

(

⁰^,^B^,⁰

)

eintritt, nicht abgelenkt wird?

b) Wie groß ist vr₀

, wenn bei ^B^r ⁼

(

⁰^,^B^,⁰

)

^und ^E^r ⁼¹⁰⁵ ^V ^m keine Ablenkung des Elektrons erfolgt?

c) Berechnen Sie die Bahnen des Elektrons, wenn nur das Er

-Feld bzw. nur das Br -Feld eingeschaltet ist. Verwenden sie dabei ein Koordinatensystem, dessen Ursprung mit dem Eintrittspunkt des Elektrons in den Feldlinienbereich zusammenfällt.

Lösung:

a) Damit das Elektron nicht abgelenkt wird, muß die wirkende Gesamtkraft (durch das elektrische Feld und die Lorentzkraft) verschwinden

0 v

!

0× =

⋅ +

⋅

=e E e B

Fr r r r

(

^v ^,⁰^,⁰

)

v

v₀× = × ₀ = ⋅ ₀

−

=

⇒Er r Br Br r B

b) Der Betrag der Geschwindigkeit, mit der das Elektron in den Feldbereich eintritt, ist s

m m 10

Vs 0.01

m V

v 10 ₂ ⁷

5

0 = = = =

B E B E r r r

c) Wirkt nur das elektrische Feld, so wird das Elektron mit einer konstanten Kraft

(

^e ^E^,⁰^,⁰

)

Fr = ⋅

beschleunigt, d.h. es ergibt sich eine Parabelbahn. Die Geschwindigkeit ist ^v^r ⁼

(

^v^x^,^v^y^,^v^z

)

⁼

⁽

â^⋅^t ⁼êE ^m^⋅^t^,ô^,^v⁰

⁾

und die Ortskurve dann

(2)

(

^x ^y ^z

) (

^eE ^m ^t ^t

)

rr= , , = 2 ⋅ ²,0,v₀⋅

, also eine Parabel in der x,z-Ebene. Wirkt nun das magnetische Feld Br

, dann ist der Betrag der Geschwindigkeit konstant, da die Beschleunigung jeweils senkrecht zur Geschwindigkeit ist, d.h. es ergibt sich eine Kreisbahn mit Radius r:

B e r m m r

B e F F_B _Z

⋅

= ⋅

⇒

⋅

=

⋅

⇔

= 0 ²⁰ ⁰

v v v

r r

Die Kreisfrequenz ist dann m

B e r T

= ⋅

=

= 2π v⁰ ω

Tritt das Elektron bei rr=

(

⁰^,⁰^,⁰

)

in das magnetische Feld ein, so beschreibt es einen Halbkreis ^rr

( )

^t =

(

^r⋅

(

1−cosω^t

)

,0,^r⋅sinω^t

)

und verlässt bei ^rr

(

π ω

) (

= ^2r^,⁰^,⁰

)

mit der Geschwindigkeit vr =

(

0,0,−v0

)

den Feldlinienbereich.

2. Magnetfeld bewegter Ladungen I (4+3):

zwei lange, gerade Drähte mit Abstand 2a verlaufen parallel zur y-Achse in der x,y-Ebene und befinden sich im Vakuum. Sie werden von einem Strom I =20mA durchflossen.

a) Berechnen Sie das Magnetfeld ^Br

( )

^z =

(

^Bx

( ) ( ) ( )

^z ,^By ^z ,^Bz ^z

)

der Anordnung auf der Symmetrieachse (z-Achse) für den Fall, dass (i) der Strom im Leiter 1 Parallel zu dem in Leiter 2 fließt, (ii) die Ströme antiparallel fließen. Welche Magnetfeldstärke ergibt sich im Ursprung (z=0) für beide Fälle?

b) Die Leiteranordnung befinde sich in einem homogenen Isolator mit der magnetischen Permeabilität µr =120. Welche Kraft pro Länge wirkt auf die Leiter, wenn a=1cm beträgt, für parallelen und antiparallelen Stromfluß?

Lösung:

Ein Punkt auf der z-Achse hat den Abstand r = a² +z² zu beiden Leitern. Das Magnetfeld eines Leiters ist tangential ausgerichtet mit dem Betrag

2 2 0

0 1

2

2 a z

I r

B I

B = = ⋅ = ⋅ ⋅ +

π µ π µ r

(3)

a) Mit

sin φ = z a

²

+ z

² und φ2 =π −φ1

(

sinφ2 =sinφ1 ,cosφ2 =−cosφ1

)

ergeben sich die beiden Magnetfelder zu





−

= −



−

 =

 

= −

1 1 2

2 2 2

2 1

1 1

1 cos

sin cos

, sin cos

sin

φ φ φ

φ φ

φ B B B

B

Br r

wobei ^B¹ ⁼^B² ⁼^µ⁰^I

(

²^π^⋅ ^a² ⁺^z²

)

für gleiche Ströme I₁ =I₂ und −B₁ =B₂ für antiparallele Ströme I₁ =−I₂ gilt.

(i): I₁ = I₂, d.h. beide Ströme fließen in die gleiche Richtung:

( )

_^ _^

⋅ +

− ⋅

=

 

= −



 



 



− + −



−

= +

= 0

1 0

sin 2 cos

sin cos

sin

2 2 1 0

1 1

2

1 a z

I z B

B B B z

B π

φ µ φ

φ φ

φ r

r r

Für die Komponenten des Feldes gilt also Bz =0 und B_x ~1 z für z >>a. (ii): I₁ =−I₂, d.h. antiparallele Ströme:

( )

_^ _^

⋅ +

− ⋅

=

 

= 



 



 



−

− −



−

=

−

= 1

0 sin

2 0 cos

sin cos

sin

2 2 0 1

1 1

2

1 a z

a B I

B B B z

B π

µ φ

φ φ φ

φ r

r r

Für die Komponenten des Feldes gilt also Bz =0 und B_x ~1 z² für z>>a. Am Ursprung

(

x=⁰^,z =⁰

)

ergibt sich:

(i): I₁ = I₂ ⇒B_x =0;B_z =0⇔ Felder sind entgegengesetzt gleich (ii): I1 =−I2 ⇒ B_x =⁰^;B_z =µ0I

( )

πa =²B1

(

z =⁰

)

.

b) Wir berechnen die Lorentzkraft, die durch bewegte Ladungen innerhalb eines Längenstückes L im Leiter 1 im Magnetfeld des Leiters 2 auf den Leiter 1 wirkt:

( )

_B

₍

_r _a

₎

L q L

B q

L

F v v 2

2 1 1 2 1 1

21 = × = ⋅ =

r r

da aufgrund der Symmetrie vr₁ Br₂

⊥ gilt. Mit r₁ ₁vr₁ ρ

=

j bzw.

(

1

)

1 1

v = j ρ = I A⋅ ⋅ρ und ρ1 =^q1

(

^L⋅^A

)

folgt dann

( )

m 10 N 8 . 4 A 10 m 20

01 . 0

120 Cm

10 Vms

4 2

1 2 2

7 2 2

3 2

2 7

2 1 0 2

0 1 2

1 1 1 21

−

− ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅ ⋅

⋅

= I I

a a

I I a r A B I q

A L L q L

F _r _r

π µ µ π

µ µ

3. Magnetfeld bewegter Ladungen II (2+2+2):

Ein unendlich langer, nichtmagnetischer zylindrischer Leiter mit Innenradius a und

Außenradius b wird von einem Strom I durchflossen (Leiter- und Stromrichtung sei die z- Achse). Die Stromdichte im Leiter sei homogen. Berechnen Sie das durch den Strom I erzeugte Magnetfeld Br =

(

Br,B_θ,Bz

)

als Funktion der Zylinderkoordinaten

(

^r^,θ^,^z

)

a) Innerhalb des hohlen Leiters

(

^r <^a

)

. b) Im Leiter selbst

(

^a ^<^r ^<^b

)

^.

c) Außerhalb des Leiters

(

^r >^b

)

.

(4)

Lösung:

Die Stromdichte im Hohlleiter ist gegeben durch

(

^b²^I ^a²

)

A j I

= −

= π

Folglich kann man den Strom, der durch einen Kreis mit dem Radius r fließt, wie folgt als Anteil des Gesamtstroms I schreiben:

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

2

a b

a r j I a r r

I −

= −

⋅

−

=π

Aus dem Ampère’schen Gesetz für einen Kreis S senkrecht zum Leiter mit einem Radiusr (oder 4. Maxwell-Gleichung mit zeitlich konstantem elektrischen Feld) folgt

(^durchS)

SB⋅ds = ⋅I

∫

^r ^r ^µ⁰

Außerdem steht das Magnetfeld senkrecht zum Leiter, d.h. Bz =0 und aus Symmetriegründen Br =0. Für die drei zu betrachtenden Fälle ergibt sich dann

a) Br

( ) (

r ⁼ Br^,B_θ^,Bz

) (

⁼ ⁰^,⁰^,⁰

)

für r<a b)

( )

⁼_^ ^⋅ ₋⁻ ^,⁰_^

,2

0 ₂ ₂

2 2 0

a b

a r r r I

B π

µ r

für a<r<b

c)

( )

π θ

µ e r r I

Br r

2

= 0 für r>b

4. Gesetz von Biot-Savart (4):

Berechnen Sie explizit mit Hilfe des Biot-Savart’schen Gesetzes

( ) ( )

∫

⁻₋^′ ^×_′ ^′

⋅

= − ⁰ ₃

4 r r

r d r I r

r

B r r

r r r r

r

π µ

das Magnetfeld in der Umgebung eines unendlich langen, stromführenden geraden Leiters, der in z-Richtung verläuft.

Lösung:

Die Berechnung des Magnetfeldes eines stromführenden geraden Leiters ist ein

Rotationssymmetrisches Problem um die z-Achse, d.h. das angepasste Koordinatensysten sind Zylinderkoordinaten.

(5)

Der Vektor e)_t

ist der in der x,y-Ebene liegende tangentiale Vektor zum Kreis mit Radius R und zeigt in Richtung des B-Feld-Vektors.

( ) ( )

∫

⁻₋ ^× ⁼⁻ ^⋅ ₋^×

⋅

= − ₂

2 1

2 0

3 2 1

2 2 1 0

1 4 4 r r

r d e I r

r

r d r r r I

B r^r r

) r r

r

r r r r

r

π µ π

µ

Aufgrund der Zylindersymmetrie gilt ^B^r

( )

^r^r1 ⁼^B^r

( )

^r^r1 ⁼^B^r

^{( )}

^R , außerdem setzen wir r1−r2 =r r r mit dem Einheitsvektor e)_r

in Richtung rr₁ rr₂

− . Daraus folgt dann

( )

^R ⁼ ⁻₄⁰ ^⋅^I

∫

^e ^×_r²^d^r²

B ^r

) r r

π µ

In Zylinderkoordinaten gilte)_t ×drr₂ =−e)_t ⋅cosα⋅dz

. Weiter gilt r=R cosα und α

⋅tan

=R

z , also ^dz ^da⁼^R^⋅

(

^cos^α

)

⁻². Damit ergibt sich für das Magnetfeld

( )

^R ⁼ ⁻₄⁰ ^⋅^I ^⋅^e ^⋅

∫

^cos_r²^⋅^dz

B _t α

π

µ )

r

( ) ( ) [ ]

R I R

d I R

R I B R

B π

α µ π

α µ π α

µ π

π π

π sin 2

cos 4 4

2 0 2 0

2

0⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

=

= ₋

−

∫

r