Hans Walser, [20090124a] Abnehmende Zickzacklinien Anregung: R. E. 1 Fragestellung Wie verhalten sich die beiden Zickzacklinien?

Hans Walser, [20090124a]

Abnehmende Zickzacklinien Anregung: R. E.

1 Fragestellung

Wie verhalten sich die beiden Zickzacklinien?

Harmonisch abnehmende Zickzacklinie

Exponentiell abnehmende Zickzacklinie

Hans Walser: Abnehmende Zickzack-Linien 2/4

2 Bearbeitung

2.1 Harmonisch abnehmende Zickzacklinie

Wir führen ein Koordinatensystem und Bezeichnungen gemäß Arbeitsfigur ein. Gege- ben seien die drei Punkte A₁

( )

0,1 ^{, F}

( )

^{1, 0 und G}

(

^{−1, 0}

)

sowie die Gerade q mit der Gleichung y=2x. Die Gerade p ist die y-Achse.

G

(

−1,0

)

^F

( )

^1,0

A₁

( )

0,1

B₁ A₂

A₃ B₂ B₃

a₁ b₁

a₂ a₃ b₂

x y

p q

Arbeitsfigur

Wir verbinden A₁

( )

0,1 ^{mit F}

( )

^{1, 0 (Gerade a}1) und schneiden mit q, das gibt B₁. Nun schneiden wir B₁G (Gerade b₁) mit p und erhalten A₂. Schnitt von A₂F mit q gibt B₂ und so weiter.

Wir erhalten dann der Reihe nach: B₁

( )

¹₃,²₃ ^{, A2}

( )

^0,12 ^{, B2}

( )

¹5,²₅ ^{, A3}

( )

^0,13 , ... . All- gemein gilt:

A_n

( )

0,¹_n ^{, Bn}

(

2n¹+1,_2n+1²

)

^,n∈!

Die y-Koordinaten bilden abnehmende harmonische Folgen.

Beweis induktiv:

(I) A₁

( )

0,1 ^{= A}1

( )

0,¹₁ ist gegeben.

(II) Aus A_n

( )

0,¹_n erhalten wir für die Gerade a_n =A_nF die Gleichung a_n:y= ¹_n −¹_nx. Schnitt mit der Geraden q:y=2x ergibt B_n

(

_2n+1¹ ,_2n+1²

)

. Die Gerade b_n = B_nG hat dann die Gleichung b_n:y= _n+1¹ +_n¹₊₁x. Schnitt mit der Geraden p:x=0 liefert

A_n+1

( )

0,_n¹₊₁ ^{. £}

Hans Walser: Abnehmende Zickzack-Linien 3/4 2.2 Exponentiell abnehmende Zickzacklinie

Wir führen wiederum ein Koordinatensystem und Bezeichnungen gemäß Arbeitsfigur ein. Die Nummerierung der Punkte A_n 0,y_A

( )

n ^{und Bn 1}3,y_B

(

n

)

beginnt aus ästheti- schen Gründen mit Null. Gegeben seien die drei Punkte A₀

( )

0,1 ^{, F}

( )

^{1, 0 und G}

(

^{−1, 0}

)

sowie die senkrechte Gerade q mit der Gleichung x= ¹₃. Die Gerade p ist wiederum die y-Achse.

G

(

−1,0

)

^F

( )

^1,0

A₀

( )

0,1

B₁ A₂

A₁

B₂ a₁ b₁

a₂ a₀ b₀

B₀

x y

p q

0 ¹₃

Arbeitsfigur

Wir verbinden A₀

( )

0,1 ^{mit F}

( )

^{1, 0 (Gerade a}0) und schneiden mit q, das gibt B₀. Nun schneiden wir B₀G (Gerade b₀) mit p und erhalten A₁. Schnitt von A₁F mit q gibt B₁ und so weiter.

Wir erhalten der Reihe nach: B₀

( )

¹₃,²₃ (wie im oberen Fall der harmonischen Zickzack- linie), A₁

( )

0,¹₂ (ebenfalls wie oben), B₁

( )

¹₃,²₃ ^{, A2}

( )

^0,14 , ... . Allgemein gilt:

A_n^⎛_⎝⎜0,

( )

¹₂ ^n⎞_⎠⎟^,Bn⎛_⎝⎜¹3,²₃

( )

¹₂ ^n⎞_⎠⎟^,n∈!∪

^{{ }}

⁰

Die y-Koordinaten sind geometrische Folgen mit dem Quotienten ¹₂; wir haben also einen exponentiellen Zerfall.

Beweis induktiv:

(I) A₀

( )

0,1 ^=A0^⎛_⎝⎜0,

( )

¹₂ ^0⎞_⎠⎟^{, also yA0 =1=}

( )

¹2 ⁰, ist gegeben.

Hans Walser: Abnehmende Zickzack-Linien 4/4 (II) Auf Grund der Strahlensätze ist ^y_y^Bn

An = ²₃, also y_Bn = ²₃y_An. Weiter ist ^yAn+1_y

Bn = ₄³, also y_An+1 = ₄³y_B

n. Somit ist y_An+1 = ³₄ ²₃y_A

n = ¹₂y_A

n. Aus y_An =

( )

¹₂ ⁿ ergibt sich dar- aus y_An+1 =

( )

¹₂ ^{n+1. £}