∫ Basis-Aufgaben Analysis

- Entwurf -

Basis-Aufgaben Analysis

Lösung Allgemeines a) F(x)=4⋅1

2(−cos(2x))+c 7=F(π)=−2 cos(2π)=−2+9 F(x)=−2 cos(2x)+9

b)

∫

1

2 1

(2x−1)² dx=2 3

c) Symmetrisch zur y-Achse, da ^{f(−x)= (−x)}

(−x)³−(−x)= (−1)⋅x

(−1)⋅x³−(−1)⋅x=f(x) , da sich (-1) kürzen lässt.

Damit ist die Bedingung "f(-x) = f(x)"für Funktionen, die symmetrisch zur y-Achse sind, erfüllt.

d) Symmetrisch zur y-Achse, da f(-x) = f(x).

e) Ansatz mit Substitution z=e^x : z−2−15

z =0 | • z z²−2z−15=0

z_1,2=1±

√

^1+15=5,−3

Wegen z=e^x kommt nur z₁ in Frage und man erhält:

e^x=5

↔

^x=ln(5)

Kurvendiskussion / Bestimmung von Funktionen

Lösung "Schale"

a) Die Höhe der Schale entspricht dem y-Abschnitt und beträgt daher 1 dm.

Bestimmung der Nullstellen:

f(x)=−1

16 x⁴+1 2x²−1

Substituiere z=x² . Dann ergibt sich:

⁻₁₆^{1 z2+1}₂ ^z−1=0

|

• (-16) z²−8z+16=0

z_1,2=4±

√

^42−16=4

→

^x1,2=−2, 2

Der Radius der Schale entspricht dem Abstand zwischen dem Ursprung und Nullstellen und beträgt daher 2 dm.

b) Wir berechnen die Tiefe, wo der Schalenradius 9 cm beträgt:

f(0,9)=−1

16 0,9⁴+1

20,9²−1≈−0,636 Dies ist tiefer als die Dosenhöhe, daher passt die Dose rein.

Variante

Wir untersuchen den Radius der Schale in 6 cm Wassertiefe Für den dortigen Radius r gilt die Bedingung:

−0,6=−1 16 r⁴+1

2 r²−1 oder mit z=r²

−1 16z²+1

2 z−0,4=0 . z²−8z+6,4=0

z_1,2=4±

√

^{16−6,4 ≈ 7,1 ; 0,9} Der Wert 7,1 scheidet aus, da er "außerhalb der Schale liegt".

es ergibt sich r≈

√

^{(0,9)≈0,95 dm}

Da der Radius der Dose nur 0,9 dm beträgt, passt die Dose rein.

c) Die Bedingung für den dortigen Radius r bzw. z=r² lautet:

−0,5=−1 16 r⁴+1

2 r²−1

−1 16z²+1

2 z−0,5=0 | • (-16) z²−8z+8=0

z_1,2=4±

√

^{16−8≈ 6,8 ; 1,17} Da die zweite Lösung außerhalb der Schale liegt, ergibt sich:

r≈

√

^{(1,17)≈1,08}

Lösung "Stollen"

a)

Mit GTR erhält man:

Max von f' etwa bei x≈−2,61 mit f '(2,61)≈2,86 Aus tan(α)=2,86 folgt α≈70,7 Grad

zur Wassermenge im Stollen:

Bestimme zunächst die Schnittpunkte von f mit der Geraden y = 1,7. Man erhält (im relevanten Bereich):

x₅=−3,2 und x₆=3,2 .

Die Querschnittsfläche des Wassers berechnet sich als

∫

−4 4

f(x)dx −

∫

−3,2 3,2

(f(x)−1,7)dx ≈ 12,1

Als Volumen des Wassers ergibt sich somit 12,1 m² ⋅ 50 m ≈ 605 m³

f '(x)

b)

d(u) beschreibt den Abstand der Lampe von der Stollenwand in Abhängigkeit von u.

Es gilt d(u)=

√

^{u2+ (f(u)−6)2 .}

In dem wir das Minimum von d(u) bestimmen, erhalten wir den kleinsten Abstand der Lampe von der Stollenwand.

Mit GTR erhält man ^uMin≈1.3 . Der minimale Abstand beträgt daher etwa d(1,3)≈1,46 . Der Mindestabstand von 1,4 m wird somit eingehalten.

c)

Der gesuchte Wert für u ergibt sich aus der Bedingung f(u)=2u . Mit dem GTR erhält man als Lösung u≈2,22 .

Die Breite des Behälters ergibt sich somit zu ca 4,44 m.

Lösung "Analysiere f auf Basis des Schaubilds von f ' "

Monotonie:

Für x < 3 ist ^{f '(x)≥0}

→

f ist dort monoton steigend Für x > 3 ist

f '(x)≤0

→

f ist dort monoton fallend Extremstellen:

An der Stelle x = 3 ist f ' = 0 und hat einen Vorzeichenwechsel.

Daher ist dort einen (lokales) Maximum. Da f' vor 3 positiv ist und nach 3 negativ liegt ein Hochpunkt vor.

Wendestellen:

Bei x = 0 und x = 2 hat f ' lokale Extrema; daher hat dort f Wendestellen.

Lösung "Funktionsuntersuchung 1"

Asymptote x = 2

Kurvenscharen

Lösung "Kurvenschar 1"

e) ^ft(x)=0

↔

^{0=(x−1)⋅(1−1}_t^⋅ex)

→

^x1=1 ist eine Nullstelle für alle t.

Für eine weitere Nullstelle gilt die Bedingung (1− 1

t⋅e^x)=0

↔

t=e^x

↔

x=ln(t)

→

^x2=ln(t) für t>0 Da x₁ und x₂ für t=e zusammen fallen, lautet die Antwort:

f_t hat für t>0 und t≠e mehr als eine Nullstelle.

Lösung "Kurvenschar 2" (unvollständig, in Arbeit)

Bedingung für Hochpunkt f '=0 und f ' '<0 .

f_t'(x)=3x²−4t=0

↔

^x2=4₃^⋅t

,

d.h. t muss > 0 sein (bei t = 0 gibt es keinen Hochpunkt).

Alle Funktionen f_t gehen durch den Ursprung.

Damit der Punkt P(2|-8) auf der Kurve liegt, muss gelten −8=2³−4⋅t⋅2

→

^t=2

.

f₂'(x)=3x²−8 ist an der Stelle x=2 jedoch # 0, so dass P(2|-8) kein Hochpunkt ist.

e) f₁(x)=x³−4x

f)

^f0,25=x³−x

Vektorrechnung

Lösung "Lage Ebenen / Gerade"

Einen Normalenvektor zur Ebene ^E₁ erhält man als Vektorprodukt der Richtungsvektoren:

n⃗₁ =

(

³⁰²

)

^x

(

⁻¹¹⁰

)

⁼

(

⁻³²²

)

^.

Aus der Koordinatenform von E₂ ergibt sich, dass n⃗₂ =

(

²¹2

)

ein Normalenvektor von ^E2 ist.

Aus ^n⃗1 ⋅ ⃗n₂=2⋅2+2⋅1−3⋅2=0 folgt, dass die beiden Normalenvektoren orthogonal sind und somit auch die beiden Ebenen.

b) Als Stützvektor der Geraden kann ⃗OP gewählt werden, als Richtungsvektor ^n⃗₂ . Damit ist g :x⃗=

(

⁻¹⁻²¹

)

^+r⋅

(

²¹²

)

eine Gleichung der Geraden.

Den Schnittpunkt S von g und E₂ kann man berechnen, in dem man die Koordinaten eines Punktes von g in die Ebenen-Gleichung einsetzt:

2⋅(1+2r)+(−1+r)+2(−2+2r)=6

↔

^{9r = 9}

↔

^{r = 1}

.

Daraus folgt: ^{S=(3∣0∣0)} . für den Abstand d(r) eines Geradenpunktes zu S gilt:

(d(r))²=(1+2r−3)²+(−1+r)²+(−2+2r)²

4r²−8r+4+1−2r+r²+4−8r+4r²=9r²−18r+9

d(r)=3

↔

^(d(r))2=9

↔

^9r2−18r=0

↔

^r=0 oder r=2

.

Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhält man:

Q₁(1^∣−1^∣−2) und Q₂(5^∣1^∣2) haben Abstand 3 von der Ebene.

Lösung "Lage Ebene / Ebene"

E : x⃗ =

(

¹¹⁰

)

^+r⋅

(

¹⁰²

)

^+s⋅

(

⁻¹¹⁰

)

^{, F :}

(

^⃗x−

⁽

⁻²²¹

⁾ )

^⋅

⁽

⁻¹²²

⁾

^{= 0}

Beide Richtungsvektoren von E sind orthogonal zum Normalenvektor von F (Skalarprodukt = 0).

Daher sind die Ebene parallel. Da (z.B.) der Stützvektor von E nicht in F liegt, sind die Ebenen verschieden.

Die Gerade g : ⃗x=

(

¹¹⁰

)

^+r⋅

(

⁻¹²²

)

geht durch den Stützpunkt P(1∣1∣0) von E. Wir berechnen ihren Schnittpunkt S mit der Ebene F; der Abstand von P und S ist dann der Abstand der Ebenen.

Eine Koordinatengleichung von F lautet: ^2x1+2x₂−x₃=8 . Im Schnittpunkt mit g gilt daher 2(1+2r)+2(1+2r)−(−r)=8 ; daraus ergibt sich ^r=4

3 und damit ^S=(8 9∣⁸

9∣⁻⁴ 9)

d(P ; S)=

√

^{(89)2+(89)2+(−49)2 =}

√

^{14481 =43}

Stochastik

Lösung "T-Shirts"

a) Es sind folgende Reihenfolgen möglich: (s,w,r), (s,r,w), (r,s,w) (r,w,s) (w,r,s) (w,s,r); jede hat die Wahrscheinlichkeit 0,4⋅0,35⋅0,25 . Damit gilt: P(A)=6⋅0,4⋅0,35⋅0,25 = 21% .

P(B) = 1−P(B) = 1−0,4³ ≈ 0,936 = 93,6%

b) Der Verkaufsanteil an schwarzen T-Shirts sei p. Bislang war p=0,4 . Der Geschäftsführer vermutet, dass dieser Anteil gesunken ist.

Durchgeführt wird daher ein linksseitiger Hypothesentest mit

Nullhypothese H₀: p=0,4

Alternativhypothese ^H1: p<0,4 auf dem Signifikanzniveau 5% .

Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der schwarzen T-Shirts unter 200 verkauften T-Shirts an.

Fall die Nullhypothes zutrifft ist X ^B200 ; 0,4−verteilt .

Deutlich kleinere Verkaufszahlen als bisher sprechen für die Vermutung des Geschäftsführers. Der Ablehnungsbereich für H₀ hat daher die Form

A=

{

0 ; 1 ; 2 ; .... ; k

}

wobei k die größte natürlich Zahl ist mit P(X≤k) ≤ 0,05 . Mit dem GTR erhält man

P(X≤68) = 0,0475 < 0,05 P(X≤69) = 0,0639 > 0,05

Die beobachtete Anzahl 72 liegt nicht im Ablehnungsbereich, H₀ wird nicht verworfen.