Weitere Aufgaben

Ubungsblatt 1 ¨

1) Zeigen Sie die G¨ultigkeit der folgenden S¨atze durch Verwendung abstrakter Vektoren (ohne Bezug auf konkrete Komponenten), deren Addition bzw. Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren:

a) Die Strecke, die zwei Seitenmittelpunkte eines beliebigen Dreiecks verbindet, ist parallel zur dritten Seite und halb so lang wie diese.

b) Die drei Seitenhalbierenden eines beliebigen Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der jede Seitenhalbierende im Verh¨altnis 2:1 teilt (vom jeweiligen Eckpunkt aus gesehen).

2) Gegeben sind die Punkte A= (1|0|0), B = (0|−1|2), C = (√

2|0|−^√1

3) und D= (a|b|c).

Berechnen Sie bzw. stellen Sie auf:

a) die Vektoren ~x=−→

AB, ~y=−−→

CB und ~z =−−→

BD b) den normierten Vektor ˆa= _|~^~a_a| mit ~a=−−→

CD. Zeigen Sie, daß ˆa·ˆa= 1 gilt.

c) die Gleichung der Geraden durch A und D.

d) die Gleichung der Ebene durch A, C und D.

e) die Gleichung der Kugelfl¨ache vom Radius √

5 um C.

3) Gegeben sind die Vektoren

~ α=



 2 1

−2



 , β~=



 0

3 2

−√ 2



 , ~γ =





−^√1₃ 0 3





Berechnen Sie:

a) die normierten Vektoren ˆα= _|~^~α_α|, ˆγ = _|~^~γ_γ|

b) die Vektoren ~δ=~α−β, und~ ~ζ = ¹₂β~+¹₂α~ c) die Skalarprodukte α~ ·β,~ β~·~α, α~ ·~γ d) die Vektorprodukte ~α×β,~ β~×~α, β~×β,~

e) die Spatprodukte α~ ·(β~×~γ), (~α×β)~ ·~γ, β~·(~γ×α),~ 4) Gegeben sind die Vektoren

~ p=



 1 1 0



 , ~q =





√6

√6 2



 , ~r=



 1

√1 2



 , ~s =





√2

√2 2√

3





Berechnen Sie die Winkel zwischen den Vektoren ~p und ~q, ~p und ~r, sowie ~p und ~s, jeweils einmal mit Hilfe des Skalarprodukts und einmal mit Hilfe des Vektorprodukts.

5) Finden Sie einen Vektor senkrecht zu den folgenden Vektoren und zeigen Sie anschließend die Orthogonalit¨at mit Hilfe des Skalarprodukts:

a) ~n= (1,1,0)^T und m~ = (1,−1,0)^T b) ~a= (√

2,^√1₂,√

2)^T und ~b= (1,0,√ 2)^T c) ~x= (a,0, b)^T und ~y= (0, c, d)^T

6) Jeweils wo schneiden sich die Gerade g : ~r= (3,0,−4)^T +λ(−2,1,3)^T und folgende Ebenen:

a) e: 4x−z = 5 b) e: −³₂x−z = 5 c) e: −³₂ x−z =−¹₂

Interpretieren Sie die Resultate geometrisch-anschaulich!

7) Berechnen Sie

a) den Abstand der Gerade g :~r= √

2 0

+λ

−1 1

vom Ursprung.

b) den Abstand des Punkts P(1| −1|√

3) von der Ebene

e:~r =



 1 0 0



+λ





√2 3 1



+µ





√0 3 1





8) (Klausuraufgabe Mathematik f¨ur Chemiker 1, Uni Kiel, 22.10.2013)

Gegeben sind die vier Punkte A = (0|0|1), B = (a|a|2), C = (a|a|0) und D = (a| −a|1), mit a = ^√1

2. Verwenden Sie die in der Vorlesung eingef¨uhrten Methoden der Vektorrechnung f¨ur folgende Aufgaben:

a) Gleichung der Ebene e₁ durch die Punkte A,B,D und der Ebene e₂ durch die Punkte A,C,D, jeweils in Parameterform.

b) Gleichung der Schnittgeraden g dieser beiden Ebenen e₁ und e₂ in Parameterform.

c) Beschreiben Sie die Lage dieser Geraden g im Raum mit Worten. Bestimmen Sie ihren Abstand vom Ursprung, entweder mit einer geeigneten Formel oder durch schriftlich begr¨undete “Einsicht”.

d) Normalenvektoren ~n₁ bzw. ~n₂ zu den Ebenen e₁ bzw. e₂.

e) Winkel zwischen den beiden Ebenen e₁ bzw. e₂ aus den Normalenvektoren ~n₁ und ~n2.

f ) Volumen des Spats, der von den Vektoren −→

AB, −→

AC und −→

AD aufgespannt wird.

9) (Klausuraufgabe MfC1, 3.4.2018) Gegeben sind die vier Vektoren

~a =





−2 0 1



 , ~b=





−1 3

−2



 , ~c=



 4 0

−2



 , d~=



 1 0 2





a) Konstruieren Sie eine Ebene e₁ durch den Ursprung, in der ~a liegt und auf der ~b senkrecht steht. Zeigen Sie durch eine Punktprobe, daß ~a tats¨achlich in e₁ liegt. Warum gibt es unendlich viele Ebenen, die die an ~a und ~b gestellten Bedingungen erf¨ullen? Wie liegen sie zueinander? Warum gibt es keine einzige Ebene, auf der ~b senkrecht steht und in der d~ liegt?

b) Geben Sie die Ebene e₂ an, die durch den Punkt P(1|2|3) geht und von ~a und

~b aufgespannt wird. Warum k¨onnen ~a und d~ ebenfalls eine Ebene aufspannen, nicht jedoch ~a und ~c?

c) Konstruieren Sie den Schnittpunkt S von e₂ mit einer Gerade g₁, die durch den Punkt Q(0|0| −1) und entlang d~ verl¨auft. Zeigen Sie dazu mit einer Punktprobe, daß Q nicht in e₂ liegt. Erkl¨aren Sie ohne weitere Rechnung, wieso daraus und aus einer (welcher?) weiteren Erkenntnis folgt, daß es keinen Schnittpunkt zwischen e₂ und einer Gerade g₂ gibt, die auch durch Q aber entlang ~c verl¨auft.

d) Konstruieren Sie einen Einheitsvektor ˆw, der mit ~a einen Winkel von 30^◦ und mit d~ einen Winkel von 60^◦ bildet. Warum ist das Tetraedervolumen, das ~a, d~ und ˆw aufspannen, Null?

10) (Klausuraufgabe MfC1, 2.4.2019) Gegeben ist der Punkt A(^√1

2|^√1

2|0) und der Ortsvektor ~a dieses Punktes.

a) Bestimmen Sie einen Vektor ~b, der in der yz-Ebene liegt, mit ~a einen Winkel von 120^◦ bildet, vom Ursprung auf einen Punkt B oberhalb der xy-Ebene zeigt und die L¨ange eins hat. (Hinweis: Setzen Sie einen Vektor ~b mit Unbekannten als Komponenten an und bestimmen Sie diese aus den Forderungen.)

b) Wie groß ist die Entfernung d zwischen A und B?

c) Wie lautet die Gleichung einer Kugelschale um A, die durch B geht?

d) Konstruieren Sie die Tangentialebene e₁, die diese Kugel im Punkt B ber¨uhrt, in Normalenform. Wie groß ist der Abstand zwischen e₁ und dem Ursprung?

Zeigen Sie, daß dies eine m¨ogliche Parameterform von e₁ ist:

e₁ :~r= 1

√2



 0

−1 1



+λ



 2

−1 0



+µ



 0 1 2





e) Dr¨ucken Sie die yz-Ebene e2 in Normalenform aus und konstruieren Sie die Schnittgerade g zwischen e₁ und e₂.

11) Ein 2 km breiter Fluß mit einer Str¨omungsgeschwindigkeit von 20 km/h (relativ zum Ufer) soll auf k¨urzestem Weg (senkrecht zu den Uferlinien) in m¨oglichst kurzer Zeit ¨uberquert werden. Zur Verf¨ugung steht Motorboot Anna mit einer H¨ochstgeschwindigkeit von 25 km/h (relativ zum Wasser) und Motorboot Berta mit einer H¨ochstgeschwindigkeit von 20 km/h. Ermitteln Sie geometrisch und rechnerisch (mit Vektoren) f¨ur beide Boote, wie lange die ¨Uberquerung auf dem vorgeschriebenen Weg dauert.

Weitere Aufgaben

2.1) Zeigen Sie die G¨ultigkeit der folgenden S¨atze durch Verwendung abstrakter Vektoren (ohne Bezug auf konkrete Komponenten), deren Addition bzw. Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren:

c) In jedem beliebigen Viereck halbieren sich die Strecken, die gegen¨uberliegende Seitenmitten verbinden.

d) Die Summe der nach außen gerichteten Fl¨achenvektoren eines (nicht notwendi- gerweise regul¨aren) Tetraeders ist der Nullvektor.

2.2) F¨ur zwei beliebige/allgemeine Vektoren ~a und ~b (ohne Bezug auf konkrete Kompo- nenten):

a) Was ist das Ergebnis der Operation (~a×~b)²+ (~a·~b)² ?

b) Zeigen Sie, daß die Vektoren ~x=|~b|~a+|~a|~b und ~y=|~b|~a− |~a|~b orthogonal sind.

2.3) Gegeben sind die Vektoren

~ α=



 2 1

−2



 , β~=



 0

3 2

−√ 2



 , ~γ =





−^√1₃ 0 3





Berechnen Sie:

a) den normierten Vektor ˆβ = ^β~

|β|~

b) den Vektor ~= ^√1₂(~α+~γ)

c) die Skalarprodukte β~·~γ und β~·β~ d) die Vektorprodukte ~α×~γ, und β~×~γ

e) die Spatprodukte ~γ ·(β~×α) und~ β~·(~γ×~γ)

2.4) Finden Sie zwei normierte Vektoren senkrecht zu den folgenden Vektoren:

a) ~x= (1,2,0)^T b) ~v = (1,√

2,√ 3)^T c) ~z = (a, b, c)^T

2.5) Gegeben sind die folgenden Geraden bzw. Ebenen:

g₁ : ~r=λ 1

1

g2 : ~a= 1

1

+µ 1

−1

e₁ : ~s=b



 1 1 0



+c





−2 1

−1





e₂ : ~ρ=



 0

−2 1



+x



 0 1 0



+y





−2 0 1





e₃ :



 0 0

−1



·~u= 1 Berechnen Sie Schnittpunkte/-geraden zwischen a) g₁ und g₂

b) g₁ und e₁ c) g₂ und e₂ d) e₁ und e₃ e) e₁, e₂ und e₃

2.6) (Klausuraufgabe MfC1, 23.2.2016)

a) Gegeben sind die folgenden drei Vektoren:

~a=









1 4

√2

−¹₂√ 3

−¹₄√ 2 0









, ~b=















1 4

√2 1 +q

3 2

1 2

√1 2 −√

3

−¹₄√ 2

1 + q3

2

−^√1

2















, ~c=









1 2

√3

√1 2

−¹₂√ 3 0









Berechnen Sie f¨ur alle drei m¨oglichen Paare dieser Vektoren jeweils den Winkel, den das Vektorpaar aufspannt.

b) Berechnen Sie den Schnittpunkt zwischen der angegebenen Gerade und Ebene:

~rg =









−¹₂

3

−2³₂

−1







 +λ







 1

−1 3 2









, ~re =







 0 0

−1 0







 +µ







 0 2 2 0







 +ν







 1 1 1 1









2.7) (Klausuraufgabe MfC1, Uni Stuttgart, 4.7.1996)

a) Gegeben ist der Punkt P_a = (d|0|0). In der xy-Ebene befinden sich zwei weitere Punkte P_b und P_c, die zusammen mit P_a auf einem Kreis mit dem Radius d um den Ursprung liegen und diesen Kreis in drei gleiche Teile teilen. Wie lauten die Koordinaten der Punkte P_b und P_c?

b) Finden Sie einen weiteren Punkt P_d auf der positiven z-Achse, sodaß die vier Punkte P_a, P_b, P_c und P_d ein regul¨ares Tetraeder bilden (alle Kanten gleich lang). Wie lauten die Koordinaten von Pd?

c) Eine Kugel um den Ursprung ber¨uhrt gerade die drei Tetraederfl¨achen, die nicht mit der xy-Ebene zusammenfallen. Welchen Radius hat diese Kugel?

d) Wie groß ist das Restvolumen des Tetraeders, das nicht durch die Kugel eingenommen wird?

2.8) (Klausuraufgabe MfC1, Uni Stuttgart, 5.7.2000)

a) Zeigen Sie, daß die Ebene ax+by+cz= 1 die x-, y-, z-Achsenabschnitte 1/a, 1/b, 1/c hat.

b) Die drei Schnittpunkte der Ebene aus Teilaufgabe (a) mit den Koordinatenachsen sowie der Ursprung bilden die vier Eckpunkte eines Tetraeders. Wie groß ist das Volumen des Tetraeders, unter Verwendung der allgemeinen Konstanten a, b, c? Welche beiden(!) m¨oglichen Werte kann die Konstante c annehmen, wenn a= 1 und b= 1 gilt und das Tetraedervolumen den Wert v annehmen soll?

c) Die beiden in Teilaufgabe (b) ermittelten Werte der Konstanten c definieren nach Teilaufgabe (a) zwei Ebenen e1 und e2. Wie lauten die Gleichungen dieser Ebenen in Normalenform? Unter welchem Winkel β schneiden sich diese beiden Ebenen e₁ und e₂? Wie groß muß das Tetraedervolumen v sein, damit β = 60^◦ wird?

d) Wie lautet die Gleichung einer weiteren Ebene e₃ in Parameterform, wenn diese Ebene die z-Achse enthalten soll und das Volumen der oben genannten Tetraeder jeweils halbiert?