Zeigen Sie die folgenden Aussagen bzw beantworten sie die Fragen:

P2.2 Elektrodynamik WS 16/17 Prof. Jan Plefka Pr¨ asenz¨ ubung 10

P1 - Lorentztransformationen

Unter Lorentztransformationen x ^0µ = Λ ^µ _ν x ^ν transformieren Vektoren und Tensoren gem¨ aß A ^{0 µ} = Λ ^µ _ν A ^ν , F ^{0 µν} = Λ ^µ _ρ Λ ^ν _κ F ^ρκ , Λ ^{0 µνρ} = Λ ^µ _α Λ ^ν _β Λ ^ρ _γ Λ ^αβγ , etc.

Hierbei ist eine Lorentztransformation durch die Bedingung η _ρκ = Λ ^µ _ρ Λ ^ν _κ η _µν definiert. Eigentlich orthochrone Lorentztransformationen erf¨ ullen det(Λ) = 1 und Λ ⁰ ₀ > 1.

Zeigen Sie die folgenden Aussagen bzw beantworten sie die Fragen:

a) Wie transformiert A ⁰ _µ und F _µν ⁰ ?

b) Der Levi-Civita Tensor ^µνρσ hat in allen durch eigentliche Lorentztransformationen verbun- dene Inertialsysteme die gleichen Eintr¨ age.

c) Das Integrationsmass d ⁴ x ist invariant unter Lorentztransfromationen.

d) Zeigen Sie, dass ∂ µ ϕ = _∂x ^∂ϕ

wie ein kontravarianter Vierervektor transformiert, wenn ϕ ein skalares Feld ist.

P2 - Alternative Fixierung der Reparametrisierungsinvarianz

In der Vorlesung haben wir die Wirkung eines Teilchens im Felde eingef¨ uhrt:

S = −mc Z

dτ p

˙

x ^µ x ˙ _µ − e c

Z

dτ A _µ (x) ˙ x ^µ , x ˙ ^µ = dx ^µ (τ) dτ .

Diese ist invariant unter Reparametrisierungen der Eigenzeit τ → τ ⁰ (τ ). Wir w¨ ahlten dort τ = t, um diese Wirkung zu vereinfachen. Machen Sie nun die Wahl τ = t ² und leiten sie die Lagran- gefunktion und die Bewegungsgleichungen f¨ ur diese Wahl her!

P3 - Hamiltonfunktion und Hamilton’sche Bewegungsgleichungen eines freien relativistischen Teilchens

Ausgehend von der Lagrangefunktion des freien relativistischen Teilchens L = −mc ²

q

1 − ~ x ˙ · ~ x/c ˙ ²

leiten Sie die Hamiltonfunktion des Teilchen her. Wie lauten die Hamilton’schen Bewegungsglei- chungen?

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