Zu diesem Zweck, zeigen Sie: a) Sei Φ ∈ PT und τ eine Ft Stoppzeit mit P[τ ≤T

Universität Tübingen Mathematisches Institut

Prof. Dr. Andreas Prohl Tübingen, den 26.05.2009

5. Übungsblatt zur Vorlesung Stochastische Partielle Differentialgleichungen

Aufgabe 11: Seien (Ω,F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, T eine positive feste reelle Zahl und R∈ L₁(K). Wir betrachten einen R-Wienerprozess W mit FiltrationF_t,t≥0. In der Vorlesung haben wir das stochastische Integral mit einerK-wertigen Brown’schen Bewegung als Integrator als eine lineare Abbildung

Int :P_T → M²_T(K) definiert, wobei

P_T :={Φ : [0, T]×Ω→ L^R₂ |Φist vorhersagbar undkΦ_tk_PT <∞}

undkΦk²_P

T =E hRT

0 Tr(ΦtRΦ^∗_t)dt i

. Ziel dieser Aufgabe ist die Fortsetzung der AbbildungIntim Raum

N_W(0, T;H) =

½

Φ : [0, T]×Ω→ L^R₂ ¯

¯

¯ Φist vorhersagbar und P

·Z T

0

kΦk²_LR

2dt <∞

¸

= 1

¾ .

Zu diesem Zweck, zeigen Sie:

a) Sei Φ ∈ P_T und τ eine F_t Stoppzeit mit P[τ ≤T] = 1. Dann existiert eine P-Nullmenge N ∈ F, unabhängig vont∈[0, T]mit

Z t

0

1_(0,τ](s)Φ_sdW_s= Z t∧τ

0

Φ_sdW_s.

Gehen Sie wie folgt vor:

i) Zeigen Sie zuerst die Aussage fürΦ∈ S_T(KR, H) und τ eine simple Stoppzeit der Form

τ =

n

X

j=0

a_j1_Aj

mit 0≤aj < aj+1 ≤T und Aj ={τ =aj} ∈ F_aj.

ii) Sei jetzt τ eine beliebige Stoppzeit mitP[τ ≤T] = 1. Konstruieren Sie eine Folge von simplen Stoppzeitenτnmitτn↓τ fürn→ ∞und benutzen Sie diese Folge um die Aussage für beliebige Stoppzeiten zu erweitern.

iii) Nutzen Sie die Dichtheit vonS_T(KR, H) inP_T, um Punkta) zu zeigen.

b) Das stochastische Integral fürΦ∈ N_W(0, T;H)ist wohldefiniert. Gehen Sie wie folgt vor:

i) Definieren Sie die Stoppzeit

τ_n:= inf

½

t∈[0, T]

¯

¯

¯ Z t

0

kΦ_sk²_LR 2

ds > n

¾

∧T

und zeigen Sie dassτ_n eine wachsende Folge von Stoppzeiten bezüglichF_t,t∈[0, T]ist.

ii) Zeigen Sie, dass die Prozesse1_(0,τn]Φ,n∈N, vorhersagbar sind.

Bitte wenden

iii) Definieren Sie für t∈[0, T] Z t

0

ΦsdWs :=

Z t

0

1_(0,τn](s)ΦsdWs,

mit nso gewählt, dassτn≥t. Wegen Punkt a), für m < n undt∈[0, T]gilt Z t

0

1_(0,τn](s)ΦsdWs= Z t

0

1_(0,τm](s)ΦsdWs

P-f.s. auf{τ_m ≥t} ⊂ {τ_n≥t}. Zeigen Sie, dass die obige Definition unabhängig von der Wahl der Stoppzeit ist.

Besprechung der Aufgaben in den Übungen am 09.06.2009