Multiple Sensorsysteme zur
Topographiebestimmung optischer
Oberflächen
vorgelegt von Dipl.-Phys. Axel Wiegmann geb. in Hannover Von derFakultät II – Mathematik und Naturwissenschaften der Technischen Universität Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades Doktor der Naturwissenschaften
– Dr. rer. nat –
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzende: Prof. Dr. rer. nat. Ulrike Woggon (TU Berlin)
Berichter/Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Hans Joachim Eichler (TU Berlin) Berichter/Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Rainer Tutsch (TU Braunschweig) Berichter/Gutachter: PD Dr. Markus Bär (PTB)
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 31.08.2009
Berlin 2009 D83
Abstract
A novel procedure for absolute, highly-accurate profile measurement with high dynamic range for large, moderately flat optical surfaces is presented. The thesis covers the development of new mathematical reconstruction techniques and their experimental implementation and verification. Typical specimen diameters are in the range of some decimeters and peak-to-valley values up to 100 µm. The profile is reconstructed from many sub-profiles measured by a compact surface measuring interferometer with an aperture of 3 mm, which is scanned along the specimen under test. Due to the small aperture, higher fringe densities are allowed and therefore specimen with larger slopes can be tested. On the other hand unknown height offsets and tilts for each scanning position have to be accounted for. Common stitching techniques only calculate piston and tilt from the overlap of adjacent sub-topographies. However, even small systematic interferometer errors can accumulate to a large parabolic overall error. Hence, the parabolic part of the topography remains unknown if common stitching techniques are applied. By using additional tilt measurements of the scanning stage, as well as a particular design of experiment, the proposed method allows both, scanning stage errors and systematic errors of the sub-profile measurements, to be eliminated without losing the parabolic part of the topography.
An extended reconstruction algorithm was developed which accounts for arbitrary mea-surement locations by involving additional position meamea-surements. The extended algorithm is based on a continuous topography model instead of a discrete model. As a result, the lateral resolution can be increased, the measurement period be decreased and aliasing be suppressed. Furthermore, estimation of additional important parameters (like pixel distan-ce or distortion of the interferometer) becomes possible. Moreover, a special sensor design is proposed to improve the lateral resolution beyond the limit given by half of the pixel distance.
By utilizing a realistic simulation scenario the influence of selected parameters on the reconstruction quality and the lateral resolution is investigated. The simulations are also used to test the new reconstruction algorithms.
Interferometric measurements are used to confirm the simulation results. A specifically designed chirp specimen with sinusoidal topography waves of an amplitude of 100 nm and wavelengths from 2.5 mm down to 19 µm is used to confirm the enhanced lateral resolution. Furthermore, this chirp specimen is used to show, that aliasing can be strongly reduced by a suitable choice of the scanning steps. For a specimen with a peak-to-valley value of 50 µm and a diameter of 150 mm a measurement repeatability of 8.1 nm (rms) has been achieved. Simulation and measurement results are verified by a comparison measurement with a highly accurate coordinate measurement machine.
Finally the measurement uncertainty of a topography measurement applying the new ex-tended reconstruction algorithm is evaluated by Monte-Carlo simulations. For this purpose a sophisticated three-dimensional simulation environment has been created. The simulation environment accounts also for influence quantities which are not covered by the reconstructi-on algorithm. For a specimen with a peak-to-valley value of 50 µm and a diameter of 150 mm an average measurement uncertainty of 9.0 nm (k = 1) has been calculated.
Kurzfassung
Es wird eine Methode zur hoch genauen Absolutbestimmung von Profilschnitten moderat ge-krümmter optischer Oberflächen mit hohem Dynamikumfang vorgestellt. Die Arbeit umfasst die Entwicklung neuer mathematischer Rekonstruktionsverfahren sowie deren experimentelle Umsetzung und Verifikation. Typische Prüflinge haben Durchmesser in der Größenordnung von Dezimetern, bei Peak-to-Valley Werten (PV-Wert) von bis zu 100 µm. Das Profil des Prüflings wird dabei aus mehreren Sub-Profilen zusammengesetzt, welche von einem flächen-messenden Interferometer mit einer Apertur von nur 3 mm gemessen werden. Verglichen mit einem vollflächig messenden Interferometer können aufgrund der kleinen Apertur Prüflinge mit größerer Steigung vermessen werden. Gewöhnliche Stitching-Verfahren berechnen aus dem Überlappbereich benachbarter Sub-Topographien lediglich die durch die Bewegungs-einheit verursachten Höhen- und Verkippungsabweichungen. Der parabolische Topographie-anteil geht dabei jedoch verloren, da sich kleine systematische Interferometerabweichungen zu großen parabolischen Topographieabweichungen akkumulieren können. Um dieses Auf-schaukeln zu unterbinden, wird in dem hier vorgestellten Rekonstruktionsverfahren in jeder Position zusätzlich auch der Verkippungswinkel der Führung gemessen. Eine anschließende Ausgleichsrechnung erlaubt es, neben dem gesuchten Gesamtprofil auch die Höhen- und Ver-kippungsabweichungen der Führung sowie die Interferometerabweichungen zu bestimmen.
Ein erweitertes Rekonstruktionsverfahren wird vorgestellt, bei dem die Messungen an be-liebigen Orten des Profils erfolgen können, indem zusätzlich die Messposition mit erfasst wird. Kern dieser Erweiterung ist der Übergang von einem diskreten zu einem kontinuierli-chen Topographiemodell. Infolge dieser Erweiterung kann die laterale Auflösung gesteigert, die Messzeit verringert und Aliasing unterdrückt werden. Darüber hinaus können zusätz-liche relevante Systemparameter, wie der mittlere Pixelabstand oder die Verzeichnung des Interferometers, geschätzt werden. Ferner wird gezeigt, wie durch spezielles Sensordesign die laterale Auflösung verbessert werden kann.
Anhand von Simulationen wird der Einfluss einzelner Parameter auf die Rekonstrukti-onsqualität und auf die laterale Auflösung analysiert. Des Weiteren dienen die Simulationen dazu, die Erweiterungen des Rekonstruktionsverfahrens zu testen. Die Simulationsergebnisse werden durch interferometrische Messungen bestätigt. Ein speziell designter Chirpprüfling mit sinusförmigen Wellenzügen mit einer Amplitude von 100 nm und Wellenlängen zwischen 19 µm und 2.5 mm dient zur Überprüfung der gesteigerten lateralen Auflösung. Weiterhin wird anhand des Chirpprüflings gezeigt, dass mittels einer an den Sensor angepassten Wahl der Messpositionen Aliasing unterdrückt werden kann. Für eine Topographie mit einem PV-Wert von 50 µm und einem Durchmesser von 150 mm werden Wiederholbarkeiten von 8.1 nm (rms) gezeigt. Die Simulations- und Messergebnisse werden durch Vergleichsmessungen mit einer hoch genauen Koordinatenmessmaschine verifiziert.
Schließlich wird für eine Topographiemessung beispielhaft die Messunsicherheit durch Monte-Carlo-Simulationen ermittelt. Dazu wird ein komplexes dreidimensionales Simula-tionsszenario erstellt, welches auch Einflussgrößen einbezieht, die in dem Rekonstruktions-prozess nicht berücksichtigt werden. Für die Messung einer typischen Topographie (PV-Wert 50 µm, Durchmesser 150 mm) wurde eine mittlere Unsicherheit von 9.0 nm (k = 1) bestimmt.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 7
2 Das Traceable Multiple Sensor (TMS) Verfahren 11
2.1 TMS-Basisalgorithmus . . . 11
2.2 Grundlegende Eigenschaften des TMS-Verfahrens . . . 15
3 Generalisierung des TMS-Verfahrens 20 3.1 Erweiterung auf beliebige Messpositionen . . . 20
3.1.1 Transferfunktion . . . 22 3.1.2 Randbetrachtungen . . . 23 3.1.3 Vorverarbeitung . . . 24 3.1.4 Konditionierung . . . 24 3.2 Antialiasing . . . 25 3.3 Sampling . . . 27
3.3.1 Auflösungssteigerung relativ zum Verfahrabstand . . . 27
3.3.2 Auflösungssteigerung relativ zur Pixelbreite . . . 29
3.3.3 Auflösungssteigerung relativ zum Pixelabstand . . . 31
3.4 Schätzung zusätzlicher Parameter . . . 34
4 Validierung des TMS-Verfahrens 37 4.1 Modellbildung . . . 37
4.2 Simulationsergebnisse TMS . . . 41
4.2.1 Virtuelle Abstandssensoren - TMS . . . 41
4.2.2 Effektiver Pixelabstand und Verzeichnung . . . 42
4.3 Simulationsergebnisse erweitertes TMS . . . 43
4.3.1 Positionierunsicherheit - Vergleich mit herkömmlichem TMS . . . 43
4.3.2 Virtuelle Abstandssensoren - erweitertes TMS . . . 45
4.3.3 Vorverarbeitung . . . 48 4.3.4 Randbetrachtungen . . . 48 4.3.5 Effektiver Pixelabstand . . . 50 4.3.6 Konditionierung . . . 51 4.4 Antialiasing . . . 52 4.5 Sampling . . . 56
4.5.1 Auflösungssteigerung relativ zum Verfahrabstand . . . 56
4.5.2 Auflösungssteigerung relativ zur Pixelbreite . . . 57
4.5.3 Auflösungssteigerung relativ zum Pixelabstand . . . 59
4.6 Schätzung zusätzlicher Parameter . . . 62
4.6.1 Effektiver Pixelabstand . . . 63
5 Messungen 68
5.1 Versuchsaufbau und Justage . . . 68
5.1.1 Messplatz . . . 68
5.1.2 Justage von Abstandsinterferometer und Autokollimator . . . 69
5.1.3 Ausrichtung der Rotationsachse des Goniometers mittels Punktkorre-spondenzen . . . 69
5.1.4 Ausrichtung der Interferometer-CCD parallel zur Verfahrrichtung mit einem M-Array . . . 72
5.1.5 Ausrichtung der Messrichtung des Interferometers senkrecht zur Ver-fahrrichtung . . . 75
5.2 Antialiasing . . . 75
5.3 Sampling . . . 79
5.3.1 Auflösungssteigerung relativ zum Verfahrabstand . . . 79
5.3.2 Auflösungssteigerung relativ zum Pixelabstand . . . 81
5.4 Schätzung zusätzlicher Parameter . . . 84
5.4.1 Effektiver Pixelabstand . . . 85
5.4.2 Verzeichnung . . . 86
5.5 Wiederholbarkeit . . . 88
5.6 Vergleichsmessungen . . . 90
5.6.1 Vergleich mit einer Koordinatenmessmaschine . . . 90
5.6.2 Vergleich mit einem Interferometer . . . 93
6 Messunsicherheit 95 6.1 Bestimmung der Messunsicherheit mittels Monte-Carlo-Simulationen für das TMS-Modell . . . 96
6.1.1 Parameter und Ergebnisse . . . 97
6.2 Bestimmung der Modellabweichungen . . . 97
6.2.1 Simulation der Messwerte . . . 98
6.2.2 Topographie . . . 104
6.2.3 Rekonstruktion der Topographie . . . 104
1 Einleitung
Moderne optische Abbildungssysteme nutzen zunehmend optische Flächen, deren jeweilige Form stark von einer Ebene oder einer Sphäre abweicht [1, 2]. Solche sogenannten Asphären können die Funktionen mehrerer herkömmlicher optischer Linsen vereinen und ermöglichen somit kompaktere Bauformen [3]. Der Anwendungsbereich solcher Flächen ist vielfältig, so werden sie in der Lithographietechnik und in Synchrotronen aber auch in Kameraobjektiven und als Linsen von Handykameras eingesetzt. Die Formmessung solcher Flächen ist entschei-dend für den Produktionsprozess, da Korrekturen am Prüfling nur auf Basis von Messungen erfolgen können. Optische Messmethoden haben gegenüber taktilen Verfahren den Vorteil der berührungslosen und damit nichtdestruktiven Messung. Die größte Sensitivität unter den optischen Methoden besitzen interferometrische Messverfahren. Dabei wird der Prüfling mit einer Referenzfläche verglichen, indem eine Wellenfront generiert wird, welche senkrecht auf den Prüfling trifft und kohärent mit der von der Referenzfläche reflektierten Wellenfront überlagert wird. Weicht die Form eines Prüflings nur gering von einer Sphäre oder einer Ebene ab, so können diese Prüflinge mit einfach herzustellenden sphärischen oder ebenen Flächen verglichen werden. Aus diesem Grund existieren für solche Prüflinge zahlreiche inter-ferometrische Messverfahren [4] mit Messunsicherheiten im einstelligen Nanometerbereich. In beiden Fällen wird jedoch nur die Abweichung des Prüflings von dem Referenzprüfling gemessen. Dies bedeutet zum einen, dass für annähernd sphärische Prüflinge nur die Sphä-rizität, also die Abweichung des Prüflings von einer angepassten Sphäre (Best-Fit-Sphäre) gemessen wird. Der Grundradius des Prüflings muss daher in einer separaten Messung er-mittelt werden. Radiusmessungen von Kugelsegmenten sind jedoch nur mit Unsicherheiten oberhalb von 0.1 − 1 µm möglich [5, 6], weshalb die erreichbare Messgenauigkeit der Abso-lutform annähernd sphärischer Prüflinge durch die Messung des Grundradius begrenzt ist. Zum anderen kann bei Einzelmessungen – weder für sphärische noch für planare Prüflinge – eine Abweichung des Referenzprüflings von seiner Idealform nicht von einer entsprechenden Abweichung der Prüflingstopographie unterschieden werden. Der Bestimmung dieser syste-matischen Fehler des Referenzprüflings kommt daher eine wesentliche Bedeutung zu. Durch Mehrstellungsverfahren können diese Fehler für ebene [7, 8] und für sphärische [9] Prüflinge kompensiert werden. Die Entwicklung der Ebenheitsmesstechnik [10] hat auch zu referenz-freien Messverfahren geführt [11], welche herausragende Bedeutung für die Weitergabe von Messgrößen haben.
Je mehr der Prüfling von einer dieser beiden Grundformen abweicht, umso größer ist die Streifendichte im Interferogramm. Jeder Interferenzstreifen muss dabei mindestens von zwei Pixeln gemessen werden, da das Signal ansonsten unterabgetastet wird [12]. Ein Streifen im Interferogramm entspricht einem Höhenunterschied der halben Laserwellenlänge λ. Bei vollflächigen Messungen mit einer CCD mit eintausend Pixeln pro Richtung darf daher der Peak-to-Valley-Wert (PV-Wert) des Prüflings nicht größer als 80 µm (λ = 633 nm) sein, unabhängig von dessen lateraler Ausdehnung. Da auch keine lokale Steigung des Prüflings diese Grenze überschreiten darf und in der Praxis ein Streifen mit mehr als nur zwei Pixeln abgetastet werden sollte, ist der Messbereich von vollflächig messenden Interferometern auf etwa 20 µm beschränkt. Alternativ können solche Prüflinge mit einem computergenerierten
Hologramm (CGH) getestet werden. Für jeden Prüfling muss jedoch ein neues CGH berech-net werden, so dass die generierte Wellenfront senkrecht auf den Prüfling trifft. Darüber hinaus ist die Justage sehr aufwendig, da das CGH relativ zur einfallenden Wellenfront und relativ zum Prüfling justiert werden muss [13]. Des Weiteren liefern auch interferometri-sche Messungen mit CGHs nur Differenzmessungen zwiinterferometri-schen dem Prüfling und dem CGH. Da auch das CGH systematische Abweichungen aufweisen kann, müssen auch hier wieder diese systematischen Abweichungen berücksichtigt werden. Einige dieser Abweichungen kön-nen kalibriert werden, indem vom CGH eine zweite Wellenfront generiert und mittels eines Absolutmessverfahrens bestimmt wird, wie es auch für sphärische oder ebene Wellenfronten genutzt wird [14–17]. Diese Methoden setzen jedoch voraus, dass beide vom CGH generierten Wellenfronten identische systematische Fehler aufweisen.
Die vorgenannten Messmethoden sind in ihrer lateralen Auflösung durch die eingesetz-te CCD beschränkt. Für Messungen mit hoher laeingesetz-teraler Auflösung und hoher Genauigkeit bieten sich Sub-Aperturmethoden an. Dabei werden Messungen von kleinen Bereichen des Prüflings zu einer größeren Gesamttopographie vereinigt. Da in jeder Messung nur ein klei-ner Ausschnitt des Prüflings vermessen wird, stehen im Vergleich zu vollflächig messenden Interferometern für dieselbe Steigung mehr Pixel zu Verfügung. Folglich können auch Prüf-linge mit einer größeren Steigung vermessen werden. Das Interferometer muss hierzu über den Prüfling bewegt werden. Die Verfahreinheit verursacht in jeder Messposition einen unbe-kannten Versatz des Interferometers in Messrichtung und zusätzlich eine Verkippung, welche bei der Vereinigung der Topographien kompensiert werden müssen. Haben die Sub-Topographien keinen Überlappbereich, so muss ein globales Modell der Topographie definiert werden, in welches die Sub-Topographien dann eingefügt werden [18]. Dabei wird jedoch die Absolutform des Prüflings durch das globale Modell bestimmt. Überlappen sich dahingegen die gemessenen Sub-Topographien, so kann die redundante Information in diesem Bereich genutzt werden, um den relativen Höhenunterschied und die Verkippung zu bestimmen. Dies kann iterativ [19–23] erfolgen, oder es können alle Messwerte gleichzeitig in der Auswertung berücksichtigt werden [24]. Alle diese sogenannten Stitching-Verfahren setzen voraus, dass die laterale Position hinreichend genau bekannt ist. Spezielle Stitching-Verfahren versuchen auch die laterale Messposition aus dem Überlappbereich mit zu schätzen [25], allerdings ist es hierfür erforderlich, dass der Prüfling eine raue Topographie mit genügend Merkmalen aufweist, was für optische Oberflächen i.d.R. nicht der Fall ist.
Generell ist eine absolute Formbestimmung mit konventionellen Stitching-Verfahren nicht möglich. Denn das Interferometer, welches für die Sub-Topographie Messungen genutzt wird, misst relativ zu einer internen Referenzfläche, welche nicht exakt bekannt ist. Selbst klei-ne systematische Sensorfehler könklei-nen sich zu eiklei-ner parabelförmigen Topographieabweichung akkumulieren [26, 27], welche den ursprünglichen systematischen Sensorfehler um eine Grö-ßenordnung [28] oder mehr übertreffen kann. Eine gleichzeitige Schätzung des systemati-schen Sensorfehlers ist nicht möglich, da zwisystemati-schen einem parabelförmigen Sensorfehler und einer parabelförmigen Topographie nicht unterschieden werden kann [29]. Die Akkumulation kann vermindert werden, indem z.B. die Globaltopographie mit einem vollflächig messenden Interferometer vermessen wird und in diese Globaltopographie die Messungen eines Inter-ferometers mit kleinerer Apertur eingebettet werden [28]. Dies setzt jedoch voraus, dass die Steigungen des Prüflings klein genug sind, um auch mit einem vollflächig messenden Interferometer vermessen werden zu können. Die Globaltopographie beinhaltet eine zusätz-liche Winkelinformation, die das Aufschaukeln der systematischen Sensorfehler vermindert. Naheliegend ist es daher, den relativen Verkippungswinkel zwischen Topographie und In-terferometer direkt zu messen [30]. Jedoch bleibt bei diesem Verfahren der systematische
Sensorfehler in jeder Sub-Topographie erhalten.
Von besonderem Interesse sind daher Rekonstruktionsalgorithmen, die es ermöglichen, nicht nur die Gesamttopographie aus den Sub-Topographien zu berechnen, sondern zusätz-lich auch noch den systematischen Sensorfehler. Notwendige Bedingungen für solche absolu-ten Messverfahren sind redundante Messwerte [31, 32]. Dabei werden immer Sensorköpfe mit zwei [33], drei [34, 35] oder mehr [36] Abstandssensoren eingesetzt. Es werden auch Kombi-nationen aus Abstands- und Winkelsensoren [37] zur Antastung der Topographie verwendet. Sollen jedoch die systematischen Sensorfehler zusätzlich zu Höhen- und Verkippungsabwei-chungen aus den Messdaten geschätzt werden, so muss der Winkel des Mehrfachabstandssen-sors relativ zur Topographie gemessen werden, wie in [29] gezeigt wurde. Dies ist die Grundla-ge des Traceable Multiple Sensor (TMS) Verfahrens, welches die Basis für das in dieser Arbeit vorgestellte erweiterte Rekonstruktionsverfahren ist. Das TMS-Verfahren erlaubt es neben der eigentlich gesuchten Topographie sowie den Verkippungs- und Höhenabweichungen der Führung auch die systematischen Sensorfehler zu schätzen. Das Basis-TMS-Verfahren [29] modelliert den Prüfling als Ansammlung diskreter Topographiepunkte ebenso wie nahezu alle vorher genannten Rekonstruktionsverfahren. Diese Algorithmen setzen daher voraus, dass alle Messungen immer exakt an diesen Punkten durchgeführt werden. Die Messpositio-nen könMesspositio-nen in der Realität allerdings nicht exakt angefahren werden, was eine Reduktion der erreichbaren lateralen Auflösung zur Folge hat. Die Form eines Prüflings wird durch sei-nen langwelligen Anteil beschrieben. Eine Messung der Topographiehöhe an ausgezeichneten Punkten führt zu Aliasing wenn noch kleinere Ortswellenlängen (Welligkeit, Rauheit [38]) enthalten sind und kann daher nicht die gesuchte Form liefern. Voraussetzung für ein verbes-sertes Rekonstruktionsverfahren ist daher ein kontinuierliches Topographiemodell, welches es erlaubt nur die (langwellige) Form des Prüflings zu rekonstruieren.
Für die oben genannten Rekonstruktionsverfahren wird die Rekonstruktionsqualität maß-geblich durch systematische Einflussfaktoren bestimmt, diese können somit nicht durch wie-derholtes Messen ermittelt werden. Ein Vergleich mit einem Referenzprüfling bekannter Form liefert lediglich Informationen über die Existenz von systematischen Abweichungen, jedoch nicht deren Ursache. Solche systematischen Unsicherheitsquellen können jedoch gezielt mit Hilfe von Simulationen untersucht werden. Für Koordinatenmessmaschinen wurden bereits virtuelle Messmaschinen zur Bestimmung der Messunsicherheit realisiert [39]. Die Entwick-lung von solchen virtuellen Messgeräten wird sukzessive vorangetrieben [40–42]. Dies ist zum einen zur Abschätzung der Messunsicherheit notwendig, zum anderen kann mit ihrer Hilfe die Entwicklungszeit neuer Mess- und Auswertemethoden verkürzt werden. Um die Sensitivität der hier behandelten Rekonstruktionsverfahren bezüglich einzelner Einflussgrößen zu unter-suchen, sowie zur Abschätzung der Messunsicherheit, wird eine neu entwickelte komplexe dreidimensionale Simulationsumgebung präsentiert [43].
In der vorliegenden Arbeit wird das TMS-Verfahren hinsichtlich seiner Möglichkeiten und Grenzen zur Formvermessung von Asphären untersucht. Zunächst wird ein neu entwickeltes generalisiertes TMS-Verfahren [44] vorgestellt und die daraus resultierenden Möglichkeiten diskutiert [45] (Kapitel 3). Diesem generalisierten TMS-Verfahren liegt ein kontinuierliches Topographiemodell zugrunde. Infolge dieser Erweiterung ist sowohl der Abstand zwischen benachbarten Messpositionen als auch die laterale Auflösung der rekonstruierten Topogra-phie nicht mehr fest an den Sensorabstand des Interferometers gekoppelt. Die so gewonnenen Freiheitsgrade können genutzt werden, um Positionierabweichungen zu kompensieren [46], Aliasing zu unterdrücken [47], die laterale Auflösung zu verbessern [48, 49], aber auch um zusätzliche relevante Parameter (effektiver Pixelabstand, Verzeichnung, ...) zu schätzen. An-hand von Simulationen werden die Eigenschaften des TMS-Verfahrens und des erweiterten
TMS-Verfahrens analysiert [46, 50] (Kapitel 4). Schließlich werden die Simulationen zu den Erweiterungen des TMS-Verfahrens mittels Messungen überprüft (Kapitel 5). Dabei werden Verfahren zur hoch genauen Justage eines TMS-Aufbaus demonstriert. An einem Beispiel wird in Kapitel 6 mittels Monte-Carlo-Simulationen die Messunsicherheit für eine TMS-Topographiemessung bestimmt.
2 Das Traceable Multiple Sensor (TMS)
Verfahren
Das Traceable Multiple Sensor (TMS) Verfahren [29, 51] setzt wie die zuvor genannten Stitching-Verfahren [18–25, 28] die Gesamttopographie aus Teiltopographien zusammen. Im Gegensatz zu Stitching-Verfahren kann mit dem TMS-Verfahren das Aufschaukeln der syste-matischen Sensorfehler durch die Nutzung eines zusätzlichen Messwertes unterbunden wer-den. Als zusätzlicher Messwert wird der Verkippungswinkel des Interferometers relativ zu der zu vermessenden Topographie genutzt. Aus der Gesamtheit der aufgenommenen Mess-werte kann dann unter Einbeziehung der zugehörigen Unsicherheiten die Gesamttopographie berechnet werden, wobei mit dem TMS-Verfahren auch der parabolische Anteil der Topogra-phie rekonstruiert wird. Neben der eigentlich gesuchten TopograTopogra-phie erhält man als Lösung des Optimierungsproblems auch die Abweichungen der Verfahreinheit parallel zur Messrich-tung des Interferometers (i.F. Höhenoffsets) und die Abweichungen der Referenzfläche des Interferometers von einer perfekten Ebene (i.F. systematische Sensorfehler). Mit einem In-terferometer kann nicht der Absolutabstand zwischen CCD und Prüfling bestimmt werden, sondern es kann nur der Absolutabstand modulo der halben Wellenlänge des verwendeten Lasers gemessen werden. Selbst im Falle einer nahezu perfekten Führung kann es daher zu Sprüngen von einer halben Wellenlänge zwischen benachbarten Sub-Topographien kommen. Diese Sprünge müssen bei der Rekonstruktion der Gesamttopographie kompensiert werden, es muss also ein konstanter Offset für alle Pixel geschätzt werden, ebenso wie bei der Schät-zung der Höhenoffsets. Aus diesem Grund bietet sich das TMS-Verfahren zur Auswertung von scannenden interferometrischen Messverfahren unmittelbar an.
2.1 TMS-Basisalgorithmus
Das Interferometer wird über den Prüfling geführt und an jeder Messposition i (i = 1, ..., I) wird ein Teilstück der Topographie vermessen. Dabei wird jedes Pixel j (j = 1, ..., M) als unabhängiger Abstandssensor mit einem eigenen systematischen Fehler Ej, entsprechend
den Fehlern der Referenzfläche des Interferometers (Abb. 2.1), aufgefasst. Die Linearfüh-rung verursacht in jeder Messposition i einen Höhenoffset Ai und einen Verkippung Bi des
Interferometers relativ zum Prüfling. Der Verkippung Bi wird mit einem Autokollimator
gemessen. Die Messgröße des Autkollimators wird mit βi = Bi + B bezeichnet. Dabei
be-zeichnet B einen konstanten Winkeloffset, wie er bei Winkelmessungen durch den unbe-kannten Nullpunkt unvermeidlich ist. Die Position der Pixel im Interferometer werden mit
s(j) bezeichnet, dabei wird die Position des ersten Pixels zu Null gesetzt (s(1) = 0). Das
Interferometer wird in äquidistanten Schritten dstep über den Prüfling bewegt, die
Messpo-sitionen pi ergeben sich daher zu pi = idstep. Wenn der effektive Pixelabstand dpix dem
Ver-fahrabstand dstep entspricht, messen alle Interferometerpixel die Topographie an denselben
Positionen xk(i,j) = idstep+ s(j) (k = 1, .., N) (abgesehen von den Rändern der
Topogra-phie). Die Abhängigkeit des Indexes k von i, j wird im weiteren Verlauf dieser Arbeit nicht mehr explizit angegeben werden. Mit dem effektiven Pixelabstand wird hier der Abstand der
( ) f x x 1
x
x2 x3 xN s d step d dpix1 j Autokollimator ScanrichtungAbbildung 2.1: Skizze zum TMS-Basisalgorithmus.
Messpositionen von benachbarten Interferometerpixeln auf dem Prüfling bezeichnet. Dieser Abstand entspricht aufgrund der Abbildungsoptik des Interferometers nicht dem der Pixel auf der CCD. Des Weiteren kann eine Verzeichnung der Abbildungsoptik auch zu nicht äqui-distanten effektiven Pixelpositionen auf der Prüflingsoberfläche führen (vgl. Abschnitt 3.4, Seite 34; Abschnitt 4.6, Seite 62 bzw. Abschnitt 5.4, Seite 84). In einem solchen Fall wird für den effektiven Pixelabstand der mittlere effektive Pixelabstand verwendet. Die Verkip-pungsabweichungen von Linearführungen liegen i.d.R. im einstelligen Bogensekundenbereich, daher kann man hier für die Verkippungswinkel die Näherung βi = tan (Bi+ B) ≈ Bi+ B
verwenden. Ebenso werden die Verschiebungen der Messpositionen auf der Prüflingsoberflä-che aufgrund der Verkippung vernachlässigt. Damit ergibt sich für den Messwert Mi,j des
Pixels j in der Messposition i:
Mi,j = −f(pi+ s(j)) + Ej+ Ai+ Bis(j)
= −f(xk) + Ej+ Ai+ Bis(j)
= −Fk + Ej+ Ai+ Bis(j) .
(2.1)
Gleichung 2.1 ist linear in den Unbekannten Fk, Ej, Ai sowie Bi. Die eigentlich gesuchten
Größen sind hier die Topographiewerte Fk = f(xk) der Topographie f an den Stellen xk.
Entsprechend Gleichung 2.1 kann nun ein lineares Gleichungssystem mit der Designmatrix
A aufgestellt werden, um die I Höhenoffsets Ai, die I Verkippungswinkel Bi, die M − 1
systematischen Sensorfehler Ej und die ersten N − 2 der insgesamt N Topographiewerte Fk
zu bestimmen (Gl. 2.2). A−→θ =−→Z mit (2.2) − → θT = (F1, . . . , FN −2, B1, . . . , BI, A1, . . . , AI, E2, . . . , EM) , − → ZT = (M1,1, M1,2, . . . , MI,M, β1, . . . , βI) .
Der Aufbau der Designmatrix A des TMS-Verfahrens ist in Gl. 2.3 skizziert. A= 1 . .. 1 1 . .. 1 . . . 1 . .. 1 N − 2 N − 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 − N 2 − N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −2 s (0) . . . . . . s (j) s (0) . . . . . . s (j) . . . s (0) . . . . . . s (j) 1 . . . . . . 1 1 . . . . . . 1 . . . 1 . . . . . . 1 0 1 . .. 1 0 1 . .. 1 . . . 0 1 . .. 1 1 . .. 1 (2.3)
Das Gleichungssystem 2.2 wird unter Berücksichtigung der Messunsicherheiten der Abstands-und Winkelmesswerte im Sinne einer Least-Squares Optimierung gelöst [52, 53]. Minimiert wird also der Ausdruck
χ2 =A−→ϑ − −→zT U−1A−→ϑ − −→z (2.4) mit − → ϑ = (f1, . . . , fN −2, b1, . . . , bI, a1, . . . , aI, 2, . . . , M) − →z = m1,1, m1,2, . . . , mI,M,βb1, . . . ,βbI Uγδ = u (zγ,zδ) .
Dabei ist −→z ein Schätzwert der Größen −→Z, also ein Satz Messwerte von Autokollimator
und Interferometer. Für die Größen −→θ erhält man somit den Schätzwert −→ϑ.
Berücksich-tigt man keine Korrelationen zwischen den Messwerten, so ist die Unsicherheitsmatrix U eine reine Diagonalmatrix mit den quadrierten Messunsicherheiten u2
zγ = u (zγ,zγ) auf der
Hauptdiagonalen. Man erhält daher den Lösungsvektor−→ϑ mittels
− →
ϑ =ATU−1A−1ATU−1−→z . (2.5)
Die Unsicherheiten und Korrelationen der Parameter ~θ lassen sich dann über
Uθ =ATU−1A−1 (2.6)
berechnen. Es werden hier zunächst nur die ersten N −2 Topographiewerte rekonstruiert, da die Lage und Orientierung der rekonstruierten Topographie im Raum noch festgelegt werden muss. Dazu werden an die Gesamttopographie zwei zusätzliche Bedingungen gestellt. Soll von der rekonstruierten Topographie automatisch die am besten angepasste Gerade (Best-Fit-Gerade) abgezogen werden, so muss die Summe über alle rekonstruierten Topographiewerte
fi Null ergeben und die Topographie darf keine mittlere Steigung haben: N X i=1 fi= 0 (2.7) N X i=1 ifi= 0 . (2.8)
Diese beiden Bedingungen müssen nun nach zwei Topographiepunkten, z.B. fN −1 und fN,
aufgelöst werden, um somit die Anzahl der Parameter des Gleichungssystems 2.2 zu verrin-gern, am einfachsten ist dies in Matrixschreibweise:
−−−→ fN −0 2 = C−f→N mit (2.9) −−−→ fN −0 2 T = (f1, . . . , fN −2,0, 0) (2.10) −→ fN T = (f1, . . . , fN) C = 1 0 . . . 0 0 0 0 . .. ... ... ... .. . . .. 0 0 . . . 0 1 0 0 1 1 . . . 1 1 2 . . . N
Gleichung 2.9 lässt sich nach−f→N auflösen, somit erhält man die Topographiewerte fN −1 und
fN als Linearkombination der ersten N − 2 Topographiewerte.
−→ fN = C−1 −−−→ fN −0 2 bzw. (2.11) −→ fN = Mbestf itT −−−→ fN −2 mit −−−→ fN −2 T = (f1, . . . , fN −2) , Mbestf it = C−1T(1:N−2,1:N)= 1 0 . . . 0 1 − N N − 2 0 . .. ... 2 − N N − 3 .. . . .. 0 ... ... 0 . . . 0 1 −2 1
Diese Bedingungen an fN −1 und fN sind bereits in der skizzierten Designmatrix (Gl. 2.3)
berücksichtigt. Rekonstruiert werden also zunächst nur die Schätzwerte −−−→fN −2 für die
Grö-ßen −−−→FN −2 T
= (F1, . . . , FN −2), also die ersten N − 2 Topographiewerte. Anschließend
wer-den aus wer-den −−−→fN −2 mittels Gl. 2.11 die letzten beiden berechnet. Einer der systematischen
Sensorfehler Ej muss fixiert werden, da ansonsten nicht zwischen einem konstanten Offset
zwischen Prüfling und Linearführung und einem zusätzlichen Offset aller systematischen Sensorfehler unterschieden werden kann. Daher wurde in Gl. 2.2 der erste Sensorfehler Null gesetzt (E1 = 0). Bei sogenannten Stitching-Verfahren wird der Verkippungswinkel zwischen
benachbarten Topographien aus dem Überlappbereich berechnet. Eine eindeutige simulta-ne Schätzung von Verkippungswinkeln und systematischen Fehlern ist nicht möglich, daher
werden die Verkippungswinkel Bi zusätzlich gemessen und die Messwerteβbi dem Vektor −→z
hinzugefügt.
Mittels Gl. 2.6 erhält man zunächst nur die Unsicherheiten der ersten N −2 rekonstruierten Topographiewerte. Die anderen Topographiewerte ergeben sich wie zuvor erläutert mittels Gl. 2.11. Daher ergeben sich die Unsicherheiten aller Topographiewerte zu
UF = Mbestf itT U(1:N−2,1:N−2)θ Mbestf it (2.12) −→ uF = p U11, . . . ,pUN N T .
2.2 Grundlegende Eigenschaften des TMS-Verfahrens
Wie eingangs erwähnt, stellt das TMS-Verfahren eine Erweiterung von herkömmlichen Stit-ching-Verfahren dar, daher sollen hier kurz beide Verfahren miteinander verglichen werden. Für ein konventionelles Stitching-Verfahren muss die Designmatrix aus Gl. 2.2 nur leicht mo-difiziert werden. Da keine Winkel gemessen werden, fallen die unteren I Zeilen weg und da keine systematischen Sensorfehler berücksichtigt werden, fallen die rechten M Spalten weg. Die Offsets Ai und die Verkippungswinkel Bi werden also direkt aus dem Überlappbereich
geschätzt, während systematische Sensorfehler in der Auswertung nicht beachtet werden. Die folgenden Ergebnisse wurden durch Simulationen gewonnen, bei denen die in Abb. 2.2 dar-gestellte Topographie genutzt wurde. Für die Topographierekonstruktionen wurde immer
0 50 100 150 0 10 20 30 40 50 Topographie in µm Position in mm
Abbildung 2.2: Testtopographie für TMS-Simulationen. Die Topographie ist ein Schnitt durch ein radialsymmetrisches Profil mit einem Durchmesser von 15 cm und einer Höhe von 50 µm. Für die Simulationen wurde ein Messdatensatz mit Ortswellenlängen ab 40 µm genutzt.
derselbe simulierte Messdatensatz verwendet. Die Unterschiede der rekonstruierten Topo-graphien sind damit einzig auf das verwendete Rekonstruktionsverfahren zurückzuführen. Die verwendeten Simulationsparameter entsprechen dem Standardsimulationsdatensatz für TMS-Simulationen, wie er auch im weiteren Verlauf dieser Arbeit verwendet werden wird (Tabelle 4.1, Kapitel 4). Dieser Standarddatensatz beruht auf einem realen Messaufbau, daher liefern die Simulationsergebnisse hier einen realistischen Vergleich zwischen einem Stitching-Verfahren und dem TMS-Verfahren. Die im Folgenden dargestellten Messunsicher-heiten wurden entsprechend Gl. 2.12 berechnet. Das heißt, es wurden als Unsicherheitsquellen
0 20 40 60 80 100 120 140 −15 −10 −5 0 5 Position in mm Rekonstruktionsabweichung in nm 0 20 40 60 80 100 120 140 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 Position in mm Unsicherheit in nm
Abbildung 2.3: Rekonstruktionsabweichung der Topographierekonstruktion für das TMS-Verfahren (links) sowie zugehörige berechnete Messunsicherheit (rechts).
0 20 40 60 80 100 120 140 −10 −5 0 5 10 15 20 Position in mm Rekonstruktionsabweichung in mm 0 20 40 60 80 100 120 140 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Position in mm Unsicherheit in nm
Abbildung 2.4: Rekonstruktionsabweichung der Topographierekonstruktion für das Stitching-Verfahren (links) sowie zugehörige berechnete Messunsicher-heit (rechts).
nur die Unsicherheiten der Interferometermesswerte und der Winkelmesswerte betrachtet, Unzulänglichkeiten des der Rekonstruktion zu Grunde liegenden Modells wurden hier noch nicht berücksichtigt.
Für das TMS-Verfahren ist die Differenz zwischen simulierter und rekonstruierter To-pographie (i.F. Rekonstruktionsabweichung) durch das Rauschen der Interferometer- und Winkelmesswerte geprägt (Abb. 2.3). Die Standardabweichung der Rekonstruktionsabwei-chung (2.1 nm) liegt hier in der Größenordnung des simulierten Sensorrauschens (5 nm). Sie ist geringer als das Rauschen eines einzelnen Pixels, da durch Mittellung das Ergebnis noch verbessert wird. Für die Unsicherheit ergibt sich eine W-Form mit einer minimalen Unsicher-heit von 0.9 nm und einer maximalen von 2.7 nm. Mit dem erläuterten Stitchingalgorithmus ergibt sich eine annähernd parabelförmige Rekonstruktionsabweichung mit einer Höhe von mehreren Millimetern (Abb. 2.4). Die zugehörige berechnete Unsicherheit ist jedoch um drei Größenordnungen kleiner als die Rekonstruktionsabweichung. Ursache hierfür ist ein Auf-schaukeln der systematischen Sensorfehler, welche in dieser Auswertung nicht berücksichtigt
wurden. Anschaulich ist dies damit zu erklären, dass die Schätzung der Verkippung zwischen benachbarten Teiltopographien durch den systematischen Sensorfehler verfälscht wird. Diese systematische Verfälschung ist bei jedem Überlapp von Teiltopographien dieselbe, daher ist der geschätzte Winkel zwischen benachbarten Topographien systematisch zu klein oder zu groß. Diese Abweichung ist linear im Winkel und führt letztendlich zu einer parabelförmigen Rekonstruktionsabweichung der Topographie. Diese Abweichung ist umso größer je größer das Verhältnis von Interferometerapertur zu Prüflingsgröße ist, je mehr Topographien also aneinander gefügt werden, indem aus dem Überlappbereich Verkippung und Höhenoffset be-stimmt werden (gestitcht). Der angenommene systematische Sensorfehler hatte hier einen Peak-to-Valley-Wert (PV-Wert) von 30 nm, die Rekonstruktionsabweichung ist um vier Grö-ßenordnungen schlechter. Die parabolische Rekonstruktionsabweichung ist beim Stitching nicht nur grundsätzlich vorhanden, sondern kann auch wie im dargestellten Fall die rekon-struierte Topographie dominieren. Stitchingmessgeräte liefern daher als Messergebnis auch nicht die Absolutform eines Prüflings, sondern im besten Fall lediglich die Abweichung von einer Parabel [54]. Die erhöhte Unsicherheit am rechten Topographierand in Abb. 2.4 ist auf die gewählte Parametrisierung der Topographie zurückzuführen (Gl. 2.11). Die Verbesse-rung durch das TMS-Verfahren beträgt im dargestellten Fall somit sechs Größenordnungen im Vergleich zum herkömmlichen Stitching-Verfahren. Der große Unterschied im Vergleich zu Stitching-Verfahren liegt zum einen darin, dass hier für die Simulationen ein unkalibrier-tes Interferometer angenommen wurde. Zum anderen wurde die Rekonstruktionsabweichung ermittelt, indem die rekonstruierte Topographie direkt mit der simulierten Topographie ver-glichen wurde. Viele Stitching-Verfahren haben als Zielmessgröße jedoch nicht die Absolut-form des Prüflings, sondern lediglich dessen Abweichung von einer angepassten Sphäre oder eines Paraboloiden. Das TMS-Verfahren hingegen soll genutzt werden, um die Absolutform des Prüflings zu bestimmen, also inklusive dessen sphärischen Anteils.
Es gibt zwei mögliche Zwischenlösungen zwischen dem Stitching-Verfahren und dem TMS-Verfahren. So kann man den Verkippungswinkel wie beim TMS-Verfahren messen, den sys-tematischen Sensorfehler in der Auswertung aber nicht berücksichtigen. Das Ergebnis dieser Auswertemethode ist in Abb. 2.5 dargestellt. Die Rekonstruktionsabweichung beträgt hier
20 40 60 80 100 120 140 −15 −10 −5 0 5 10 15 Position in mm Rekonstruktionsabweichung in µm 0 20 40 60 80 100 120 140 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 Position in mm Unsicherheit in nm
Abbildung 2.5: Rekonstruktionsabweichung der Topographierekonstruktion für das TMS-Verfahren ohne Rekonstruktion des systematischen Sensorfehlers (links) so-wie zugehörige berechnete Messunsicherheit (rechts).
TMS-Verfahren. Es ist offensichtlich, dass das Aufschaukeln des systematischen Sensorfehlers durch die reine Winkelmessung nicht komplett unterbunden wurde. Die Winkelmessung stellt für das TMS-Verfahren die Geradheitsreferenz dar. Die Topographie ergibt sich als Lösung ei-nes überbestimmten Gleichungssystems (Gl. 2.2). Es erfolgt also ein Ausgleich zwischen allen Messwerten, auch bzgl. der Verkippungswinkel. Die Unsicherheiten der Interferometer und Winkelmesswerte werden zur Gewichtung der Messwerte genutzt (Gl. 2.5). Im Rahmen der Gewichtungsfaktoren ist daher immer noch ein Aufschaukeln der systematischen Sensorfeh-ler möglich. Je größer die Messunsicherheit der Verkippungswinkel wird, umso mehr nähert man sich dem Ergebnis des Stitching-Verfahrens (Abb. 2.4), denn beim Stitching-Verfahren sind die Winkel unbekannt, also maximal unsicher. Die berechneten Unsicherheiten sind für diesen Fall nahezu identisch mit denen des TMS-Verfahrens.
Letztendlich gibt es noch die Möglichkeit, den systematischen Sensorfehler in der Aus-wertung zu berücksichtigen, die Verkippungswinkel jedoch nicht zu messen. In diesem Fall müssen also aus dem Überlappbereich der aufgenommen Sub-Topographien nicht nur Off-sets und Tilts, sondern auch die systematischen Sensorfehler geschätzt werden. Abbildung 2.6 zeigt das Rekonstruktionsergebnis für diesen Fall. Es ergibt sich ähnlich dem gewöhnlichem
0 20 40 60 80 100 120 140 −4 −3 −2 −1 0 1 x 107 Position in mm Rekonstruktionsabweichung in m 0 20 40 60 80 100 120 140 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Position in mm Unsicherheit in µm
Abbildung 2.6: Rekonstruktionsabweichung der Topographierekonstruktion für das Stitching-Verfahren mit Rekonstruktion des systematischen Sensorfeh-lers (links) sowie zugehörige berechnete Messunsicherheit (rechts).
Stitching eine parabelförmige Rekonstruktionsabweichung, jedoch hat sich in diesem Fall das Ergebnis nochmals um mehrere Größenordnungen verschlechtert. Die Ursache liegt hier allerdings nicht in einer Akkumulation des systematischen Sensorfehlers, sondern an dem Rekonstruktionsverfahren. Denn wie in [29] gezeigt wurde, ist das Ergebnis einer solchen Rekonstruktion nicht eindeutig, es kann zwischen einem Parabelanteil im systematischen Sensorfehler und einem in der Topographie nicht unterschieden werden. Dies äußert sich auch darin, dass die Matrix ATU−1A in Gleichung 2.5 keinen maximalen Rang hat, das
Gleichungssystem somit unterbestimmt ist. Daher ist die Winkelmessung eine notwendige Bedingung, wenn die systematischen Sensorfehler zusätzlich zur absoluten Topographieform bestimmt werden sollen. Es existieren Stitching-Verfahren, die den systematischen Sensor-fehler bestimmen ohne den Verkippungswinkel zu messen [54, 55]. Diese Verfahren vermessen aber lediglich die Abweichung des Prüflings von einer optimal angepassten Sphäre, also nicht die Absolutform inklusive ihrem parabolischen Anteil.
Das TMS-Verfahren ermöglicht es demzufolge, die Absolutform von Prüflingen zu ver-messen, wobei gleichzeitig während jeder Messung der systematische Sensorfehler neu ge-schätzt wird. Die Rekonstruktionsabweichung des TMS-Verfahrens ist durch das Rauschen der Messgeräte geprägt, die des Stitching-Verfahrens weist eine systematische parabelförmi-ge Formabweichung auf. Das Erparabelförmi-gebnis des TMS-Verfahrens kann daher durch Mitteln noch verbessert werden, während die systematische parabelförmige Rekonstruktionsabweichung beim Stitching-Verfahren inhärent ist.
3 Generalisierung des TMS-Verfahrens
3.1 Erweiterung auf beliebige Messpositionen
Der TMS-Algorithmus, basierend auf der Modellgleichung 2.1, geht von der Annahme aus, dass die Topographie von allen Sensorpixeln immer exakt an den Stellen gemessen wird, an denen sie auch rekonstruiert werden soll. Die gewünschten Positionen können jedoch nur im Rahmen der Positioniergenauigkeit der Verfahreinheit angefahren werden, weshalb die Messwerte nicht immer an den Rekonstruktionsstellen xk aufgenommen werden können
(Abb. 3.1). Weiterhin sind die Abstandssensoren nicht zwangsläufig äquidistant angeordnet,
( ) f x x 1 x x2 x3 xN s d step d dpix j i p
Abstandsinter-ferometer Scanrichtung Autokollimator
Abbildung 3.1: Skizze zum erweiterten TMS-Algorithmus.
sondern können etwa durch eine Verzeichnung der Interferometeroptik von einem äquidistan-ten Raster abweichen, dies führt zu Rekonstruktionsabweichungen der rekonstruieräquidistan-ten To-pographie. Darüber hinaus kann der verwendete Sensor auch eine höhere laterale Auflösung haben als für die Rekonstruktion benötigt wird. In einem solchen Fall ist der Pixelabstand
dpix kleiner als der Verfahrabstand dstepund der Rekonstruktionsabstand ds. Bisher wurden
in einem solchen Fall mehrere Pixel mittels Polynomfit zu einem virtuellen Abstandssensor zusammengefasst [56]. Dies kann aber ebenfalls zu Rekonstruktionsabweichungen führen, wie in Abschnitt 4.2.1 (Seite 41) anhand von Simulationen gezeigt werden wird. Im Folgenden wird eine Erweiterung des TMS-Verfahrens erläutert, mit der auch Messwerte korrekt be-rücksichtigt werden können, die zwischen den Rekonstruktionsstellen erfasst wurden [44–46]. Bisher wurde die Topographie als diskret, also als eine Ansammlung voneinander unab-hängigen Topographiewerten aufgefasst. Mit einem kontinuierlichen Modell der Topographie kann ein Zusammenhang zwischen den gesuchten Topographiehöhen Fkan den
Rekonstruk-tionsstellen xk und der Höhe an einer Zwischenpositionxgi,j (xgi,j 6= xk; k = 1, ..., N) erstellt
werden. Interpolationsverfahren ermöglichen es, Topographiewerte an Zwischenpositionen zu berechnen, wenn die Topographiewerte f (xk) bekannt sind. Wenn die
Interpolations-methode linear in den Topographiewerten ist, sich f (xgi,j) also als Linearkombination der f(xk) ausdrücken lässt, kann das TMS-Modell (Gl. 2.1) einfach auf ein kontinuierliches
Topo-graphiehöhe f (xgi,j) an einer Zwischenposition xgi,j als Linearkombination der benachbarten
Topographiewerte f (xk) ausgedrückt werden.
f(xgi,j) = l f xi,j ds m +o−1 2 X k= j f xi,j ds k −o−12 ck(xgi,j)f (xk) (3.1) mit ck(xgi,j) = l f xi,j ds m +o−1 2 Y l= j f xi,j ds k −o−1 2 l6=k g xi,j− xl xk− xl . (3.2)
Der Index o bezeichnet dabei den Grad des verwendeten Interpolationspolynoms. Die o + 1 für die Interpolation verwendeten Nachbarn werden symmetrisch zu der Zwischenposition
g
xi,j gewählt, daher muss der Grad des Interpolationspolynoms ungerade sein. Setzt man
diesen Ausdruck für f(xgi,j) in Gl. 2.1 zusammen mit Gl. 2.11 ein, so erhält man Mi,j = − f(pi+ s(j)) + Ej+ Ai+ Bis(j) = − f(xgi,j) + Ej+ Ai+ Bis(j) = − l f xi,j ds m +o−1 2 X k= j f xi,j ds k −o−1 2 ck(xgi,j)Fk+ Ej+ Ai+ Bis(j) = − −→cNT · −→ FN + Ej+ Ai+ Bis(j) Mi,j = − (Mbestf it−c→N)T · −−−→ FN −2 + Ej+ Ai+ Bis(j) (3.3) mit −→ cNT = 0, ..., 0, cj f xi,j ds k −o−1 2 (xgi,j), ..., cl f xi,j ds m +o−1 2 (xgi,j), 0, ..., 0 . (3.4)
Der Koeffizientenvektor −→cN muss hier die Länge N haben, d.h. es dürfen für die
Interpola-tion nur die Topographiepunkte Fk = f(xk) (k = 1, ..., N) verwendet werden. Aus diesem
Grund kann lediglich ein maximaler Interpolationsgrad o vorgegeben werden. Denn an den Rändern muss o in Abhängigkeit von der Messpositionxgi,j so reduziert werden, dass er die
Bedingungen o ≤1 + 2 N − & g xi,j ds '! ∧ o ≤1 + 2 $ g xi,j ds % −1 ! (3.5) erfüllt. Der Vektor −→cN ist nur von den Rekonstruktionsstellen xk und der Messpositionxgi,j
abhängig. Gleichung 3.3 ist weiterhin linear in den Unbekannten Fk, Ej, Ai und Bi. Die
eingetragen und die Least-Squares Lösung kann weiterhin, wie in Gl. 2.4 beschrieben, be-rechnet werden. Der Unterschied liegt lediglich in der Konstruktion der Designmatrix. Wird direkt an einer Rekonstruktionsposition x
ekgemessen, gilt also g xi,j = x
e
k, so ergibt sich für den
zu F ek= f x ek
zugehörigen Interpolationskoeffizienten genau 1 und alle anderen verschwin-den. Dies bedeutet, dass das erweitere TMS-Verfahren aus Gleichung 3.3 in die einfachere TMS-Gleichung 2.1 übergeht, wenn immer exakt an den Rekonstruktionsstellen xk
gemes-sen wird. Um den erweiterten TMS-Algorithmus anwenden zu können, müsgemes-sen die Positionen
g
xi,j bekannt sein. Die Messpositionen pi können dazu, wie in Abb. 3.1 dargestellt, mit einem
Abstandsinterferometer gemessen werden. Die Pixelpositionen s(j) müssen wie bisher im Vorfeld kalibriert werden. Im Vergleich zum bisherigen TMS-Verfahren sind die drei Größen
dpix, dstep und ds nun nicht mehr fest aneinander gekoppelt, sondern können bei Beachtung
gewisser Randbedingungen frei gewählt werden.
3.1.1 Transferfunktion
Wie im vorhergehenden Abschnitt erläutert, liegt dem erweiterten TMS-Verfahren ein kon-tinuierliches Topographiemodell zu Grunde. Die Topographie wird hier durch einen Satz von äquidistanten Topographiepunkten repräsentiert, Zwischenpunkte werden über Lagrange-Interpolation berechnet. Die Lagrange-Lagrange-Interpolation ist hier eine Näherung der Sinc-Inter-polation [12, 59]. Dies bedeutet, dass die Topographie als bandbegrenzt angenommen wird und die kleinste auftretende Ortswellenlänge der Topographie dem doppelten Rekonstrukti-onsabstand dsentspricht, die Topographie also nicht unterabgetastet wurde. Das
Basis-TMS-Verfahren rekonstruiert die Topographiehöhe an ausgezeichneten Positionen, das erweiterte TMS-Verfahren rekonstruiert eine kontinuierliche Topographie. Im Gegensatz zu dem ein-fachen TMS-Verfahren kann daher dem erweiterten TMS-Verfahren eine laterale Auflösung zugeordnet werden. Die laterale Auflösung wird durch die maximale Frequenz bestimmt, welche noch mit einem Messsystem gemessen werden kann. Für die Modulationstransfer-funktion (MTF) von Abbildungsoptiken werden zum Teil Grenzfrequenzen über den Abfall des Bildkontrastes auf einen bestimmten Prozentsatz (Beispielsweise 50% oder 10%) des Objektkontrastes definiert. Aussagekräftiger ist jedoch bei der MTF der vollständige Verlauf der MTF. In Analogie hierzu ist es daher für die laterale Auflösung des TMS-Verfahrens ent-scheidend, ein Interpolationsschema zu verwenden, welches die Amplitude von Topographie-frequenzen unterhalb der Nyquist-Frequenz über einen weiten Frequenzbereich möglichst gut rekonstruiert. Ähnlich wie bei der MTF für Abbildungsoptiken kann für ein Interpolations-schema die Amplitudendämpfung über der Frequenz aufgetragen werden. Diese sogenannte Transferfunktion gibt Auskunft über Übertragungseigenschaften des verwendeten Interpola-tionsschemas.
Die Näherung der Sinc-Interpolation durch die Lagrange-Interpolation ist zum einen not-wendig, da die zu vermessende Topographie nicht unendlich ausgedehnt ist. Zum anderen würde eine Sinc-Interpolation bedeuten, dass jede interpolierte Topographiehöhe als Line-arkombination aller Topographiehöhen an den Rekonstruktionsstellen xk dargestellt wird.
Dies bedeutet aber, dass der obere linke Teil der Designmatrix aus Gl. 2.2 voll besetzt wäre. Je mehr Einträge der Designmatrix jedoch Null sind, umso dünner sie also besetzt ist, umso schneller lässt sich die Lösung des zugehörigen linearen Gleichungssystems berechnen und umso weniger Speicher ist hierfür notwendig. Die Lagrange-Interpolation verwendet zur Be-rechnung einer Topographiehöhe an einer Zwischenpositionxgi,j nur die nächsten o + 1
Nach-barn. Die Interpolation ist ein linearer Operator, weshalb man auch die Lagrange-Interpolation als Faltung darstellen kann [59]. Die Faltungskerne der Lagrange-Lagrange-Interpolation
können numerisch aus den Interpolationskoeffizienten (Gl. 3.1) berechnet werden. Der inne-re Teil der Faltungskerne ist für verschiedene Interpolationsgrade o in der linken Hälfte von Abb. 3.2 dargestellt. Zum Vergleich ist zusätzlich noch der Faltungskern der
Sinc-Interpola-−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x Faltungskern Grad 1 Grad 3 Grad 11 Grad 23 Grad 41 Grad 137 sinc −40 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 f / fNyq |Transferfunktion| Grad 1 Grad 3 Grad 11 Grad 23 Grad 41 Grad 137 sinc
Abbildung 3.2: Faltungskerne für verschiedene Interpolationsgrade (links) sowie zugehörige Transferfunktionen (rechts) für die Lagrange-Interpolation.
tion (also ein sinc) eingezeichnet. Auf der rechten Seite von Abb. 3.2 sind die Fouriertransfor-mationen der Faltungskerne, also die Transferfunktionen dargestellt. Für die Sinc-Interpola-tion ergibt sich eine rechteckige TransferfunkSinc-Interpola-tion. Um mit dem erweiterten TMS-Verfahren eine hohe laterale Auflösung zu erreichen, müssen alle Frequenzen bis zur Nyquist-Frequenz möglichst unverfälscht übertragen werden, unabhängig von ihrem Beitrag zur Gesamtform der Topographie. Die Sinc-Interpolation ist aus diesem Grund als ideal anzusehen, da sie eine rechteckige Transferfunktion besitzt. Mit zunehmendem Interpolatiosgrad o nähern sich die Faltungskerne immer weiter dem sinc an und die zugehörigen Transferfunktionen nähern sich ebenso der idealen Rechteckfunktion an. Wie man in Abb. 3.2 sieht, verbessert sich die Transferfunktion bei sehr hohen Interpolationsgraden o nur unwesentlich, wenn o weiter erhöht wird. Aus praktischen Gründen wurde daher meist ein Interpolationsgrad von 41 für die Topographierekonstruktion verwendet.
3.1.2 Randbetrachtungen
Anstatt den Interpolationsgrad an den Rändern der Topographie sukzessive zu reduzie-ren (Gl. 3.5), kann die Topographie an ihreduzie-ren Rändern auch fortgesetzt werden und somit auch dort ein hoher Interpolationsgrad genutzt werden. Die Topographie kann an ihren Rändern entweder als periodisch (f (x) = f (x + Nds)), achsensymmetrisch (f (x1−∆x) =
f(x1+ ∆x), f (xN + ∆x) = f (xN −∆x)), punktsymmetrisch (f (x1−∆x) = 2f (x1) −
f(x1+ ∆x), f (xN + ∆x) = 2f (xN) − f (xN−∆x)) oder als von Nullen umgeben
ange-nommen werden. Letztendlich gibt es noch die Möglichkeit, das Interpolationspolynom an den Grenzen der Topographie nicht in der Mitte sondern am Rand des Polynoms auszuwer-ten. Die ersten vier Varianten lassen sich in Matrixschreibweise formulieren, wozu Gl. 3.3
nur geringfügig modifiziert werden muss.
Mi,j = − (Mbestf it−c→N)T ·
−−−→
FN −2 + Ej+ Ai+ Bis(j)
Mi,j = − (Mbestf itW −−−→cN+2o)T ·
−−−→
FN −2+ Ej+ Ai+ Bis(j) (3.6)
Der Vektor −−−→cN+2o enthält nun auch die Interpolationskoeffizienten für die Punkte
linkssei-tig und rechtsseilinkssei-tig der eigentlichen Topographie. Die Berechnung dieses Vektors aus der gemessenen Position xgi,j ist identisch mit der Berechnung des Vektors −→cN (Gl. 3.4) bis auf
die Randbedingung 3.5. Diese Einschränkung muss nun nicht mehr eingehalten werden, es kann also für jeden Messpunkt der Interpolationsgrad o verwendet werden. Die Matrix W bildet den Vektor −−−→cN+2o der Länge N + 2o auf einen Vektor der Länge N ab. W stellt
daher einen Zusammenhang zwischen den Topographiewerten innerhalb und außerhalb des Messbereiches dar und wird folgendermaßen gebildet:
W = L 1 R (3.7) Laxsym= 0 . . . 0 .. . 1 . .. 0 1 ... 0 , Lpointsym= 2 . . . 2 .. . −1 . .. 0 −1 ... 0 , Lperiodic= . . . 0 .. . 1 0 . .. 0 . . . 0 1 .
Dabei ist 1 eine Einheitsmatrix der Dimension N und die Matrizen L und R haben die Di-mensionen N × o. Die Matrizen für die linke Topographieseite sind in Gl. 3.7 angegeben. Die Matrix Lzeros ist eine reine Nullmatrix. Die R Matrizen werden analog zu den L Matrizen
gebildet und entsprechen daher den vertikal gespiegelten L Matrizen. Simulationsergebnis-se zu den verschiedenen diskutierten TopographiefortSimulationsergebnis-setzungen werden in Abschnitt 4.3.4 (Seite 48) gezeigt.
3.1.3 Vorverarbeitung
Bisher wurde nur der Rekonstruktionsabstand ds vorgegeben, die laterale Position der
Re-konstruktionsstellen xk relativ zu den Messpositionen wurde noch nicht festgelegt worden.
Das Interpolationsverfahren ist, wie schon zuvor erläutert, lediglich eine Näherung der Sinc-Interpolation. Jedoch ist auch bei der Lagrange-Interpolation gewährleistet, dass die interpo-lierte Funktion die Abtastwerte an den Abtaststellen unverändert reproduziert. Daher sind die Interpolationsfehler in der Nähe der Messpositionen geringer, Messpositionen und Rekon-struktionsstellen sollten daher möglichst nahe beieinander liegen. Zu diesem Zweck wurde die Position des Rekonstruktionsgitters relativ zu den Messpositionen solange variiert, bis der mittlere quadratische Abstand der Messpositionen zur jeweils nächsten Rekonstruktionsstelle minimal wurde (Abb. 3.3).
3.1.4 Konditionierung
In Gleichung 2.11 wurde an die letzten beiden Topographiepunkte die Bedingung geknüpft, dass die rekonstruierte Topographie mittelwertfrei ist und keine mittlere Steigung hat. Für die Kondition des Gleichungssystems und damit für die numerische Stabilität ist es günstiger, diese Bedingung nicht nur an zwei Topographiepunkte zu stellen, sondern im Idealfall an alle
x
posx
Nx
N 1x
2x
1x
Nx
N 1x
2x
1x
Abbildung 3.3: Optimierung der Rekonstruktionspositionen. Die Rekonstruktionspositionen
xk werden solange relativ zu den Messpositionen (rote Striche) verschoben,
bis der mittlere quadratische Abstand der Messpositionen zur jeweils nächs-ten Rekonstruktionsstelle minimal ist.
Topographiepunkte. Dazu muss von der Matrix C (Gl. 2.9) lediglich die QR-Zerlegung [58] durchgeführt werden und man erhält:
QR= C , Mbestf itQ= Q (1 : N − 2, 1 : N) . (3.8)
Diese Best-Fit-Gerade ist jedoch nur eine von vielen möglichen Geraden, mit denen die rekonstruierte Topographie im Raum fixiert werden kann. So kann an die Topographie auch die Bedingung gestellt werden, dass erster und letzter Topographiepunkt die Höhe Null haben. Für diesen Fall ergibt sich die Konditionierungsmatrix zu:
M2zero= ~0 1 ~0 . (3.9)
Die drei Matrizen Mbestf it, Mbestf itQ und M2zero können alternativ in Gl. 2.11 eingesetzt
werden. Die rekonstruierte Topographie ist in allen drei Fällen identisch (bis auf die Lage im Raum). Jedoch haben die drei Konditionierungen des Gleichungssystems unterschiedliche numerische Eigenschaften. Diese werden in Kapitel 4 diskutiert, ebenso wie die Abhängigkeit vom Interpolationsgrad, die verschiedenen Topographiefortsetzungen an den Rändern und die Eigenschaften der Vorverarbeitung.
3.2 Antialiasing
Das Basis-TMS-Verfahren (Gl. 2.1) rekonstruiert die Topographie an diskreten Punkten mit dem Abstand dsohne Berücksichtigung des Topographieverlaufs zwischen diesen
Rekonstruk-tionsstellen. Dies bedeutet, dass man davon ausgeht, dass die Topographie bandbegrenzt ist, also keine Ortswellenlängen kürzer als 2ds enthält. Reale Topographien enthalten jedoch
auch immer höherfrequente Anteile. Im Produktionsprozess von optischen Oberflächen wird die gemessene Prüflingsform zur Korrektur des Prüflings genutzt. Der Prüfling wird jedoch nicht nur an den gemessenen Punkten korrigiert, sondern auch an Positionen zwischen den Messpunkten. Eine lokal begrenzte Abweichung von der Sollform kann daher im Polierpro-zess zu großen Abweichungen führen, falls ein Rekonstruktionspunkt direkt an der Stelle der lokalen Abweichung lag. Konkret bedeutet dies, dass die Topographie Strukturen ent-hält, deren Ortsfrequenzen sich oberhalb der Nyquist-Frequenz (fN yq = 2d1s) befinden. Die
Topographie wurde also unterabgetastet. In diesem Fall tritt sogenanntes Aliasing auf, wel-ches dazu führt, dass Ortsfrequenzen der Topographie oberhalb der Nyquist-Frequenz in der rekonstruierten Topographie als Ortsfrequenzen unterhalb der Nyquist-Frequenz auftreten. Für den Polierprozess wird aus den diskreten Messpunkten eine kontinuierliche Topographie
berechnet. Selbst wenn die rekonstruierte Topographiehöhe an den Rekonstruktionsstellen
xk exakt wäre, ist dies für die kontinuierliche Topographie an Positionen zwischen den
Re-konstruktionsstellen nicht der Fall wenn die Topographie auch Ortsfrequenzen oberhalb der Nyquistfrequenz enthält. Von Interesse ist es daher, nur den Teil der Topographie zu re-konstruieren, dessen Ortsfrequenzen kleiner als die Nyquist-Frequenz sind. Die Messgröße ist daher nicht die Höhe der Topographie an ausgewählten Positionen, sondern die kon-tinuierliche Topographie mit Ortsfrequenzen bis zur Nyquist-Frequenz. Beim erweiterten TMS-Verfahren ist die kontinuierliche Topographie durch die Werte an den Stellen xk und
das verwendete Interpolationsschema (Gl. 3.1, 3.2) gegeben. Dabei müssen die rekonstru-ierten Topographiehöhen an den Stellen xkden Höhen derjenigen Topographie entsprechen,
welche keine Ortsfrequenzen oberhalb der Nyquist-Frequenz enthält. Die hohen Ortsfrequen-zen der Topographie müssen also unterdrückt werden. Durch eine an den Sensor angepasste Wahl der Rekonstruktionsstellen kann das Auftreten von Aliasing reduziert werden. Denn durch die annähernd rechteckige Transferfunktion (Abb. 3.2, Seite 23) kann der Einfluss von Ortsfrequenzen oberhalb der Nyquist-Frequenz im Rekonstruktionsprozess reduziert wer-den. Bei vollflächig messenden Interferometern ist dieses Problem von geringer Bedeutung, da die Breite eines CCD Pixels nahezu dem Pixelabstand entspricht. Daher werden in die-sem Fall die höheren Ortsfrequenzen schon sehr stark entsprechend der Transferfunktion eines einzelnen Pixels unterdrückt. Viele Interferometer besitzen außerdem einen analogen internen Aliasing Filter. Dabei wird eine Blende in der Fourierebene der Abbildungsoptik platziert. Der Durchmesser der Blende wird dann so gewählt, dass alle Frequenzen oberhalb der Nyquist-Frequenz, wie sie durch den Pixelabstand der CCD gegeben ist, abgeschnitten werden [60]. Beim TMS-Verfahren ist es aber möglich, dass selbst, wenn als Messinstrument ein kleines, vollflächig messendes Interferometer eingesetzt wird, Aliasing auftreten kann, wenn der Rekonstruktionsabstand größer als der Pixelabstand gewählt wird. Des Weite-ren ist das TMS-VerfahWeite-ren nicht auf den Einsatz von Interferometern als AbstandssensoWeite-ren begrenzt. Aus diesem Grund wurde auch die Eignung des TMS-Verfahrens für andere Sen-sortypen untersucht, so z.B. für chromatische Sensoren. Auch andere optische Sensoren sind als Linienarray kommerziell verfügbar, wie z.B. Weißlichtsensoren [61]. Des Weiteren können auch kapazitive Sensoren zu Arrays vereint werden [62], welche mit dem TMS-Verfahren auf Koordinatenmessmaschinen genutzt werden können, wie es teilweise auch schon getan wird [63]. Bauartbedingt lassen sich diese Sensoren nicht beliebig dicht aneinander platzieren, während der sensitive Bereich dieser Sensoren deutlich kleiner als der minimal erreichbare Sensorabstand ist. Um das TMS-Verfahren mit anderen Sensortypen einsetzen zu können, ist es daher notwendig, Aliasing im Rekonstruktionprozess zu unterdrücken.
Die Transferfunktion in Abb. 3.2 wurde für einen diskreten Sensor, jedoch für eine kontinu-ierliche Topographie berechnet. Diese Transferfunktion gilt daher zunächst nur für den Fall, dass der Sensor in infinitesimal kleinen Schritten über den Prüfling geführt wird. In der prak-tischen Anwendung ist dies jedoch nicht möglich. Beim TMS-Verfahren in seiner bisherigen Form wurden Verfahrabstand dstep, Rekonstruktionsabstand dsund Sensorabstand dpixstets
gleich gewählt. Wenn der Sensorabstand kleiner als der Rekonstruktionsabstand war, so wur-den mehrere Sensoren zu virtuellen Abstandssensoren mit einem Abstand entsprechend des Rekonstruktionsabstandes vereint (Abschnitt 4.2.1, Seite 41). Dies führt dazu, dass sich die Messwerte, welche letztendlich in die TMS-Auswertung eingehen, an den Rekonstruktions-stellen häufen. Die Topographie wird in diesem Fall also nur an endlich vielen Stellen und da-mit nur spärlich abgetastet, anstatt annähernd kontinuierlich abgetastet zu werden. Mit dem erweiterten TMS-Verfahren (Abschnitt 3.1, Seite 20) ist es jedoch möglich, auch Messwerte zwischen den Rekonstruktionsstellen korrekt in der Auswertung zu berücksichtigen. Der
Ver-fahrabstand dstep kann beim erweitertem TMS-Verfahren frei gewählt werden. Besteht der
Sensorkopf aus M Abstandssensoren mit dem Abstand dpix, so können die Messpositionen
für dstep= MM+1dpix in gleichmäßigen Abständen über die Topographie, abgesehen von den
Topographierändern, verteilt werden (Abb. 3.4). Die Topographie wird somit gleichmäßiger
Scanrichtung 1 step pix M d d M s d pix s d d
Abbildung 3.4: Unterdrückung von Aliasing durch gleichmäßige Verteilung der Messpo-sitionen (rote Striche) zwischen den RekonstruktionspoMesspo-sitionen (schwarze Striche).
abgetastet und die theoretische Transferfunktion aus Abb. 3.2 bleibt auch für Frequenzen oberhalb der Nyquist-Frequenz gültig. Die Anzahl der notwendigen Messpositionen erhöht sich dabei lediglich um den Faktor M+1
M . Für einen hinreichend großen Interpolationsgrad o
(vgl. Kapitel 4) hat dieses Vorgehen keinen merklichen Einfluss auf den langwelligen Anteil der Topographie (vgl. Abb. 3.2), da hier die Transferfunktion nahezu Eins ist. Dies bedeutet insbesondere bei Verwendung eines kompakten Interferometers als Mehrfachabstandssensor (Pixelbreite entspricht etwa dem Pixelabstand), dass für den Fall ds= dstep> dpix Aliasing
ebenfalls vermieden werden kann, wenn die Messwerte aller Pixel direkt in das Gleichungssys-tem eingehen. Simulationen, die dies bestätigen, sind in Abschnitt 4.4 (Seite 52) aufgeführt, Messwerte hierzu in Abschnitt 5.2 (Seite 75).
3.3 Sampling
3.3.1 Auflösungssteigerung relativ zum Verfahrabstand
Bisher wurde stets davon ausgegangen, dass auch beim erweiterten TMS-Verfahren für den Verfahrabstand dstep derselbe Wert wie für den Rekonstruktionsabstand ds verwendet wird
(abgesehen von Abschnitt 3.2). Für größere Prüflinge wäre es wünschenswert, wenn der Ver-fahrabstand dstep größer als der Rekonstruktionsabstand ds gewählt werden könnte. Dies
würde es ermöglichen, auch große Prüflinge in kurzer Zeit mit einer hohen lateralen Auflö-sung vermessen zu können, vorausgesetzt der Sensor selbst hat eine entsprechende laterale Auflösung (dpix ≤ ds). Bei gewöhnlichen Stitching-Verfahren wird das Gitter der
Mess-position so ausgelegt, dass Offset und Verkippungswinkel mit hinreichender Genauigkeit aus dem Überlappbereich benachbarter Topographien ermittelt werden können [19, 24, 54]. Bei diesen Verfahren beträgt der Überlappbereich meist zwischen 20 und 30 Prozent des Aperturdurchmessers. Demzufolge liegt der Verfahrabstand etwa bei 70 bis 80 Prozent des Sensordurchmessers und ist damit deutlich größer als beim TMS-Verfahren. Da die
Hauptun-sicherheitsquelle des TMS-Verfahrens in dem realisierten Aufbau (vgl. Kapitel 5) nicht im Rauschen der Sensormesswerte, sondern in der Unsicherheit des effektiven Pixelabstandes liegt (siehe Abschnitt 4.2.2 und 4.3.5), ist die Rauschunterdrückung durch die höhere An-zahl an Messwerten in dem Überlappbereich nicht zwingend erforderlich. Im Vergleich zu Stitching-Verfahren ist es jedoch nicht möglich, den Verfahrabstand beliebig zu vergrößern. Zum einen darf der Verfahrabstand beim TMS-Verfahren nicht mehr als die Hälfte des Sens-ordurchmessers betragen, da sonst für die Pixel in der Mitte des Sensors keine redundanten Informationen vorliegen. Dies führt dazu, dass über die zugehörigen systematischen Sensor-fehler dieser Pixel, sowie über die von ihnen gemessenen Topographiewerte keine Aussage gemacht werden kann. Zum anderen ist das Gleichungssystem auch für Verfahrabstände, die kleiner als der halbe Sensordurchmesser und größer als der Rekonstruktionsabstand ds
sind, nicht immer eindeutig lösbar. Ursache hierfür ist die zusätzliche Schätzung der syste-matischen Sensorfehler. Abbildung 3.5 verdeutlicht dieses Problem. Dargestellt ist der Fall
( )
f x
1
x
x
2x
3x
4x
Nx
Abbildung 3.5: Skizze zum Problem großer Verfahrabstände.
dstep = 2dpix = 2ds. Hier messen alle blau markierten Pixel die Topographie an den blau
markierten Stellen, und alle grün markierten Pixel messen die Topographie an den grün markierten Stellen. Der Sensor zerfällt in zwei Gruppen von Pixeln (grün und blau), ebenso zerfallen die Rekonstruktionspunkte der Topographie in eine grüne und eine blaue Grup-pe. Beide Gruppen haben keinerlei gemeinsame Punkte. Dies führt dazu, dass das lineare Gleichungssystem nicht mehr eindeutig lösbar ist. Denn jede der beiden Gruppen stellt für sich zwar ein mit dem TMS-Verfahren lösbares Gleichungssystem dar, man kann also in diesem Fall zwei Lösungen der Topographie berechnen, jedoch haben beide nur eine laterale Auflösung, welche dem Verfahrabstand entspricht. Diese beiden Teillösungen können nicht zu einer Topographie mit höherer Auflösung vereint werden, da beide Teiltopographien nur bis auf eine unbekannte Gerade bekannt sind und keinerlei gemeinsame Punkte haben. Für größere Verfahrabstände erhöht sich lediglich die Anzahl der Teillösungen. Um die Topogra-phie mit höheren lateralen Auflösung rekonstruieren zu können, müssen die verschiedenen Teillösungen so miteinander verzahnt werden, dass das entstehende Gleichungssystem wieder eine eindeutige Lösung hat. Wie in Abschnitt 4.5.1 (Seite 56) anhand von Simulationen und in Abschnitt 5.3.1 (Seite 79) durch Messungen gezeigt werden wird, kann dies bei großen Verfahrabständen dadurch erreicht werden, dass der Sensor in nichtäquidistanten Schritten über den Prüfling geführt wird.
