5 Messungen
5.4 Schätzung zusätzlicher Parameter
das Zwanzigfache der Amplitude der Sinuswellen des Chirpprüflings. Die Wellenlänge dieser Topographie entspricht dem Pixelabstand σ2. Die Ursache hierfür lässt sich am einfachsten über die Transferfunktionen erklären. Wie in Abschnitt 3.3.3 gezeigt, ist das TMS-Verfahren ein erweitertes Shearingverfahren, weshalb es auch identische Transferfunktionen hat. Für Topographiewellenlängen, welche N λ =σ1 (N = 1,2,3, ...) bzw. N λ = σ2 (N = 1,2,3, ...) erfüllen, ist die zum Pixelabstand σ1 bzw.σ2 zugehörige Transferfunktion Null bzw. in der Nähe sehr klein. Würde man die rekonstruierte Topographie bestimmen, indem man das Spektrum der Messwerte durch die Transferfunktion dividiert, würde selbst kleinstes Rau-schen der Messwerte zu großen Amplituden der entsprechenden Wellenlängen führen. Die Probleme der Nullstellen der Transferfunktion bleiben jedoch erhalten, unabhängig davon, ob die Rekonstruktion im Frequenz- oder wie im Falle des TMS-Verfahrens im Ortsraum erfolgt, da sich der Informationsgehalt der Messwerte nicht verändert hat. Wird die Po-sition des dritten Pixels so gewählt, dass die durch die beiden Pixelabstände σ1 und σ2 gegebenen Transferfunktionen keine gemeinsamen Nullstellen für Frequenzen unterhalb der Nyquist-FrequenzfN yq= 21ds haben, so können alle Ortsfrequenzen der Topographie bis zur Nyquist-Frequenz rekonstruiert werden. Die Abbildung 5.18 zeigt die rekonstruierten Topo-graphien für ein Pixelabstandsverhältnis von σσ21 = 1.24. Der Vergleich mit Abb. 5.17 zeigt deutlich, dass hier keine Instabilitäten mehr auftreten und die Topographie mit deutlich hö-herer lateraler Auflösung rekonstruiert werden kann. Das gewählte Pixelabstandsverhältnis von σσ21 = 1.24 liegt nahe an dem Wert σσ21 = 1.25, für welchen die beiden Transferfunktionen eine gemeinsame Nullstelle hätten. Jedoch liegt diese gemeinsame Nullstelle nicht mehr im dargestellten Bereich des Prüflings.
5.4.1 Effektiver Pixelabstand
Die zusätzliche Schätzung des effektiven Pixelabstandes wurde an zwei Topographien getes-tet. Zum einen an einer flachen Topographie mit einem PV-Wert von nur 300 nm (Abb. 5.19, links). Die Topographie enthält zusätzlich hohe Ortsfrequenzen, wie bereits an der rekon-struierten Topographie (dstep = 190µm, ds = 190µm) zu erkennen ist. Wie anhand von Simulationen in Abschnitt 4.6 bereits gezeigt, führen diese hohen Ortsfrequenzen zu Neben-minima für das Birge-Verhältnis, wie sie auch hier auftreten (Abb. 5.19 rechts). Auffällig an dem Verlauf des Birge-Verhältnisses ist die lokale Symmetrie zu dem durch die vertikale rote Linie gekennzeichneten Ergebnis des Kippexperimentes. Diese Symmetrie konnte in zahlrei-chen Wiederholungen bestätigt werden. Die genaue Ursache ist unklar, ein Zusammenhang mit der Verzeichnung der Interferometeroptik kann nicht ausgeschlossen werden. Verglichen mit den Simulationsergebnissen ist das Birge-Verhältnis in der Nähe des mit dem Kippex-periment ermittelten Wertes glatt. Die lokalen Merkmale des Prüflings erlauben also bereits hier eine gute Bestimmung des effektiven Pixelabstandes. Fügt man der Messung zusätzliche künstliche Verkippungen hinzu, wie in Abschnitt 4.6 erläutert, so verschwinden die Neben-minima (Abb. 5.20). Die Experimente bestätigen somit die Ergebnisse der Simulationen.
18 18.5 19 19.5
2 4 6 8 10 12 14
Pixelabstand in µm
Birge
18.98 18.99 19.00 19.01 19.02 1.43
1.432 1.434 1.436 1.438 1.44 1.442 1.444 1.446
Pixelabstand in µm
Birge
Abbildung 5.20: Birge-Verhältnis in grober (links) und feiner (rechts) Auflösung in Abhän-gigkeit des Pixelabstandes für eine flache Topographie mit hohen Ortsfre-quenzen mit zusätzlichen Verkippungen. Die roten vertikalen Linien markie-ren die Ergebnisse des Kippexperimentes vor und nach der TMS-Messung.
Der Vergleich mit den Ergebnissen des Kippexperimentes vor und nach der TMS-Messung (Abb. 5.20, rechts) zeigt eine hohe Übereinstimmung der Ergebnisse.
Die Schätzung von zusätzlichen Parametern ist auf Topographiemerkmale angewiesen. Der Chirpprüfling, wie er bereits zum Test des Aliasingverhaltens genutzt wurde (Abschnitt 5.2), weist eine stark strukturierte Oberfläche auf. Aus diesem Grund ist zu erwarten, dass sich für den Chirpprüfling zusätzliche Parameter besonders gut schätzen lassen. Die Parameter für das Experiment wurden so gewählt, dass die Strukturen auf dem Prüfling von jedem Pixel gesehen werden und alle Ortswellenlängen des Prüflings rekonstruiert werden können (dstep = 19µm, ds = 19µm). Das Birge-Verhältnis ist in diesem Fall auch ohne zusätzli-che Verkippungswinkel glatt und weist keine Nebenminima auf, wie Abb. 5.21 zeigt. Das Minimum des Birge-Verhältnisses liegt hier zwischen den mit dem Kippexperiment vor und nach der Messung ermittelten Werten für den effektiven Pixelabstand. Die TMS-Messung
18.7 18.8 18.9 19 19.1 19.2 19.3 1.5
2 2.5 3
Pixelabstand in µm
Birge
19.03 19.035 19.04 19.045 19.05
1.44 1.4405 1.441 1.4415 1.442
Pixelabstand in µm
Birge
Abbildung 5.21: Birge-Verhältnis in grober (links) und in feiner (rechts) Auflösung in Ab-hängigkeit des Pixelabstandes für den Chirpprüfling. Die roten vertikalen Linien markieren die Ergebnisse des Kippexperimentes vor und nach der TMS-Messung.
lag zeitlich zwischen den beiden Kippexperimenten. Es ist nicht auszuschließen, dass sich der effektive Pixelabstand des Interferometers durch Temperaturänderungen im Verlauf des Experimentes geändert hat. Daher kann der korrekte effektive Pixelabstand nur durch die Minimierung des Birge-Verhältnisses ermittelt werden.
5.4.2 Verzeichnung
Eine Verzeichnung des Abbildungssystems führt zu nichtäquidistanten effektiven Pixelposi-tionen auf dem Prüfling. Das Kippexperiment erlaubt aufgrund des eingeschränkten Mess-bereiches des verwendeten Autokollimators einen maximalen Verkippungswinkel von 1000 arcsec. Bei diesem maximalen Winkel führt eine Positionsänderung eines Pixels am Rand der Interferometerapertur um 1µm zu einer Änderung des Messwertes um lediglich 5 nm.
Das mittlere Rauschen des Interferometers beträgt 5 nm, nimmt jedoch an den Rändern der Apertur zu. Das Kippexperiment ist daher nicht geeignet, die Verzeichnung des Inter-ferometers zu bestimmen, sondern kann lediglich dazu dienen, den mittleren Pixelabstand zu ermitteln. In Abschnitt 4.2.2 (Seite 42) wurde gezeigt, dass die Verzeichnung nach dem effektiven Pixelabstand die wesentliche Unsicherheitsquelle für das Rekonstruktionsergebnis ist. Wie in Abschnitt 4.6.2 gezeigt, ist es prinzipiell auch möglich, Verzeichnungsparameter durch Minimierung des χ2 zu bestimmen. Um dies anhand von Messungen zu überprüfen, wurde die Verzeichnung des Interferometers in Form eines Polynoms parametrisiert.
p(x) =p(r) =ar+br2+cr3 (5.3) mit r=q(x−xM)2
Dabei istxdie Nummer des Pixels undrgibt dessen Abstand zur optischen Achse an. Für die vier Parametera, b, c, xM kann nicht mehr die gesamte Abhängigkeit des Birge-Verhältnisses aufgezeigt werden. Für den verwendeten Chirpprüfling ergab sich jedoch für den effektiven Pixelabstand (Parameter ain Gl. 5.3) auch ohne zusätzliche Verkippungswinkel ein glatter Verlauf des Birge-Verhältnisses ohne Nebenminima (Abb. 5.21). Aus diesem Grund wurde das Minimum des Birge-Verhältnisses für die vier Verzeichnungsparameter mittels
nicht-linearer Optimierung unter Verwendung des Levenberg-Marquardt-Algorithmus bestimmt.
Als Startwerte wurden
−−−→pdist0
a0 b0 c0 xM0
=
19000 nm 0 nm 0 nm69.5
(5.4)
verwendet, es wurden also zunächst äquidistante Pixel angenommen. Für die vier Parameter erhält man nach der Optimierung die Werte
−−−−→
pdistopt
aopt bopt
copt xMopt
=
19034.6 nm 1.67 nm
−0.03 nm 65.1
. (5.5)
Grafisch ist das Ergebnis dieser Optimierung in Abb. 5.22 gezeigt. Dargestellt ist die Position
20 40 60 80 100 120 140
−0.15
−0.1
−0.05 0 0.05
Pixelnummer Pixelposition in dpix mean
10 20 30 40 50 60 70
−300
−250
−200
−150
−100
−50 0 50 100 150
r in d
pixmean
Pixelabstand − dpix mean in nm
Abbildung 5.22: Ermittelte Pixelpositionen unter Berücksichtigung einer Verzeichnungsfunk-tion abzüglich der Best-Fit-Geraden (links). Auf der rechten Seite ist der Abstand benachbarter Pixel als Funktion des Abstandes r zur opti-schen Achse dargestellt. Mit dpixmean wird hier der mittlere Pixelabstand bezeichnet.
der Pixel in Abhängigkeit von der Pixelnummer und abzüglich der Best-Fit-Geraden. Ein Pixel am linken Rand der Apertur weicht demnach durch die Verzeichnung um 0.05 Pixel (950 nm absolut) von seiner Position im Falle von äquidistanten Pixeln ab, ein Pixel am rechten Rand um -0.15 Pixel (2.85µm absolut). Dies entspricht einer relativen Abweichung von 7·10−4 (links) bzw. 2·10−3 (rechts). Entsprechend den Simulationen in Abschnitt 4.2.2 (Seite 42) würde diese für die dort zur Simulation genutzte Topographie (PV-Wert: 50µm) zu einer Rekonstruktionsabweichung im einstelligen Nanometerbereich führen, wenn man für die Auswertung äquidistante Pixel annehmen würde. Wie auf der rechten Seite von Abb. 5.22 gezeigt, nimmt der Pixelabstand zu den Rändern hin ab, das Interferometerobjektiv besitzt daher eine tonnenförmige Verzeichnung.