Antialiasing

der Führung, Verzeichnung des Objektives, inhomogene Ausleuchtung ...) wurden bei dieser Abschätzung jedoch vernachlässigt.

5.1.5 Ausrichtung der Messrichtung des Interferometers senkrecht zur Verfahrrichtung

Das TMS-Modell (Gl. 2.1) beinhaltet die Näherung tan (b_i) ≈ b_i. Dies ist gleichbedeutend damit, dass die Messrichtung des kompakten Interferometers senkrecht zur Verfahrrichtung sein muss. Um dies zu gewährleisten, wurde der aus dem Interferometer austretende Mess-strahl mit einem Pentagonprisma um 90° umgelenkt (Abb. 5.9). Der um 90° umgelenkte

Abbildung 5.9: Justage des Interferometers senkrecht zur Verfahrrichtung.

Messstrahl konnte dann mit einer CCD beobachtet werden. Der Nullpunkt des Goniometers, also der Winkel, in welchem das Interferometer senkrecht zur Verfahrrichtung steht, wurde dann wieder über die Bewegung des Laserstrahls auf einer CCD bestimmt.

getestet. Für die experimentelle Verifikation wurde aus Kostengründen anstatt mehrerer si-nusförmiger Topographien ein einzelner Chirpprüfling gefertigt. Chirpprüflinge werden viel-fach zur Charakterisierung der lateralen Auflösung von Messgeräten eingesetzt [60, 84]. Diese Prüflinge bestehen aus mehreren, in ihren Extrempunkten aneinandergereihten Sinuswellen, wobei die Wellenlänge der Sinuswellen sukzessive verringert wird. Der hier verwendete Prüf-ling wurde von der Arbeitsgruppe Fertigungstechnologie - Ultrapräzisionsbearbeitung in der PTB hergestellt. Das Profil wurde dabei in einem Diamantdrehprozess in eine Nickelschicht auf einem Kupfersubstrat eingebracht. Die Sinuswellen haben eine Amplitude von 100 nm.

Die größte Wellenlänge des Chirp beträgt 2.5 mm und startet bei einer Entfernung von 16 mm vom Zentrum des Prüflings. Zunächst wird die Wellenlänge in 2%-Schritten relativ zur vorhergehenden Wellenlänge bis herunter auf 1 mm reduziert. Um in dem höherfrequen-ten Bereich eine bessere spektrale Auflösung zu bekommen, wurden die Wellenlängen von 1 mm bis herunter auf 19µm nur noch um einen relativen Faktor von 2·10⁻⁴ reduziert. Somit ergibt sich für den Chirpprüfling der in Abb. 5.10 gezeigte Verlauf für die Wellenlänge in

20 40 60 80 100

500 1000 1500 2000 2500

Position in mm

Wellenlänge in µm

Abbildung 5.10: Wellenlänge des Chirpprüflings als Funktion des Abstandes zum Zentrum.

Abhängigkeit vom Abstand zum Zentrum. Die dargestellte Funktion ist umkehrbar, daher kann jeder Prüflingsposition eine lokale Wellenlänge zugeordnet werden. Diese Zuordnung wird in den Abbildungen der Messergebnisse genutzt, um die Positionen von Wellenlängen von besonderer Bedeutung hervorzuheben. Da sich die Wellenlänge des Prüflings nach außen hin immer weiter verkleinert, kann in Abhängigkeit des Messszenarios eine Grenze angegeben werden, außerhalb der Aliasing zu erwarten ist. Diese Grenze wird zur besseren Orientierung in den folgenden Abbildungen durch eine vertikale rote Linie markiert. Bei dem verwende-ten Kompaktinterferometer mittelt ein Pixel die Topographie über eine Breite, die nahezu dem Pixelabstand entspricht. Dies führt zu einer Tiefpassfilterung für Wellenlängen klei-ner als der Pixelabstand. Daher ist das Aliasingverhalten für diesen Sensortyp weniger stark ausgeprägt, wie z.B. im Vergleich zu Arrays aus kapazitiven Sensoren [62, 63] oder Weißlicht-sensoren [61]. Das vorhandene Kompaktinterferometer kann jedoch genutzt werden, um das Aliasingverhalten solcher Sensoren zu simulieren. Dazu wird im weiteren Verlauf von dem Kompaktinterferometer nur jedes siebzehnte Pixel zur Auswertung mit dem TMS-Verfahren herangezogen. Auf diese Weise erhält man einen Liniensensor mit M = 8 Abstandssensoren mit einem Abstand vond_pix= 17·19µm = 323µm. Als Rekonstruktionsabstand wurde hier der Pixelabstand verwendet (d_s=d_pix= 323µm). Die kleinste rekonstruierbare Wellenlänge

beträgt infolgedessen 646µm. Kürzere Wellenlängen sollten für einen Verfahrabstand von dstep =dpix gemäß Abschnitt 3.2 zu starkem Aliasing führen, da die Topographie in diesem Fall mehrfach an immer denselben Stellen, also nur spärlich abgetastet wird. Für den Fall d_step = _M^M₊₁d_pix = ⁸₉d_pix wird die Topographie gleichmäßig und dicht abgetastet, so dass die kürzeren Wellenlängen in der rekonstruierten Topographie unterdrückt werden sollten.

Auf diese Weise wird im Außenbereich des Chirpprüflings nur dessen langwellige Grundform rekonstruiert. Werden alle Pixel des Kompaktinterferometers genutzt, kann die Topographie auch mit einer weitaus höheren lateralen Auflösung rekonstruiert werden [48, 49] (Abschnit-te 3.3.1, 4.5.1, 5.3.1). Diese Messung dient im wei(Abschnit-teren Verlauf als Referenzmessung zu den Messungen mit niedriger lateraler Auflösung.

Die rekonstruierten Profilschnitte in Abb. 5.11 zeigen die drei oben genannten

Messun-0 50 100 150 200

−1500

−1000

−500 0

Position in mm

Topographie in nm

high resolution dstep = d

pix

dstep = M/(M+1) d

pix

Abbildung 5.11: Rekonstruierte Gesamttopographien des Chirpprüflings als Funktion des Abstandes zum linken Topographierand. Zu zwei der drei Profilschnitte wurde ein Offset hinzu addiert, damit sich die Topographien nicht in der Darstellung überlappen.

gen des Chirpprüflings. Der Rekonstruktionsabstand für die lateral hoch aufgelöste Messung (high resolution) beträgt ds = 21µm. Die Designfunktion des Prüflings enthält keine Orts-frequenzen oberhalb der Nyquist-Frequenz der hoch aufgelösten Messung. Daher kann davon ausgegangen werden, dass diese Messung frei von Aliasing ist. Aus diesem Grund dient diese Messung als Referenzmessung. Die Grundform des Prüflings ist nicht perfekt eben, sondern weist einen PV-Wert von etwa 1.2µm auf. Diese durch die Produktion bedingte langwellige Formabweichung des Prüflings ist jedoch für die Aliasingeigenschaften der Messmethoden nicht relevant, da sie nur auf sehr kleinen Ortsfrequenzen beruht. Dessen ungeachtet ist be-reits in dieser Abbildung Aliasing für die spärlich abgetastete Topographie (d_step=d_pix) im Vergleich zu der dicht abgetasteten Topographie (d_step = _M^M₊₁d_pix) gut zu erkennen. Um das Aliasingverhalten der beiden Messmethoden detaillierter vergleichen zu können, wurde von allen drei Profilschnitten dasselbe Polynom vierten Gerades abgezogen und die beiden niedrig aufgelösten Messungen dann durch Addition einer Gerade zu der hoch aufgelösten

Topographie ausgerichtet. In Abb. 5.12 ist der so berechnete rechte Rand des

Chirpprüf-195 200 205 210 215 220

−100

−50 0 50 100

Position in mm

Topographie in nm

high resolution d_step=d_pix

Abbildung 5.12: Auftreten von Aliasing für eine nur spärlich abgetastete Topographie.

lings für die hoch aufgelöste Referenzmessung und für die spärlich abgetastete Topographie gezeigt. Rechts von der roten Linie sind die Topographiewellenlängen kleiner als der halbe Rekonstruktionsabstand. Anstatt in der Mitte der hoch aufgelösten orangenen Topographie zu verlaufen und somit die langwellige Grundform des Chirpprüflings wiederzugeben, springt die rekonstruierte Topographie infolge des Aliasings stark herauf und herunter. Würde der Prüfling mit einer solchen systematisch verfälschten Topographie im Produktionsprozess nachbearbeitet werden, hätte dies große Formabweichungen zur Folge.

Liegen die Messpositionen auf dem Prüfling durch die Wahl vond_step= _M^M₊₁d_pix gleichmä-ßig dicht, so kann das Aliasing stark reduziert werden, wie Abb. 5.13 zeigt. Die rekonstruierte

195 200 205 210 215 220

−100

−50 0 50 100

Position in mm

Topographie in nm

high resolution dstep = M/(M+1) d

pix

Abbildung 5.13: Unterdrückung von Aliasing für eine dicht abgetastete Topographie.

Topographie entspricht hier annähernd der langwelligen Grundform des Prüflings, verläuft also dort, wo die Sinuswellen des Chirpprüflings ihre Nulldurchgänge haben. Das verbleiben-de Aliasing ist vor allem auf Rauschen verbleiben-der Messwerte zurückzuführen.

Voraussetzung für die Unterdrückung von Aliasingeffekten ist eine möglichst rechteckige Transferfunktion des in Gl. 3.3 verwendeten Interpolationsschemas. Alle Messungen wurden hier mit einem Interpolationsgrad vono= 41 durchgeführt. Da das verbleibende Aliasing in Abb. 5.13 auf Rauschen der Messwerte des Sensorarrays zurückzuführen ist, bietet es sich an, zur Überprüfung der Transferfunktion alle Pixel des Sensorarrays mit in die Auswertung einzubeziehen. Der Rekonstruktionsabstand wird jedoch bei = 323µm belassen. Für eine rechteckige Transferfunktion ist ein scharfer Übergang von den Sinuswellen des Chirpprüf-lings auf die langwellige Mittellinie des PrüfChirpprüf-lings zu erwarten. Dies ist auch der Fall, wie Abb. 5.14 zeigt. Die kürzeren Wellenlängen des Prüflings werden hier sehr gut unterdrückt.

195 200 205 210 215 220

−100

−50 0 50 100

Position in mm

Topographie in nm

high resolution all

Abbildung 5.14: Rekonstruierte Topographie des Chirpprüflings unter Verwendung aller Pi-xel des Interferometers zur Veranschaulichung der Transferfunktion des TMS-Verfahrens.

An den Sprüngen des Prüflings an den Positionen 213 mm und 217.5 mm lässt sich gut er-kennen, dass der rekonstruierte Profilschnitt der langwelligen Grundform des Prüflings folgt.

Bei Abb. 5.14 ist zu beachten, dass hier nicht von einer Unterdrückung von Aliasing Effekten gesprochen werden kann, denn die Topographie wurde unter Verwendung aller Pixel rekon-struiert. Es wäre daher auch möglich, die Topographie zunächst mit einer hohen lateralen Auflösung zu rekonstruieren, wie es bei der orangenen, hoch auflösenden Topographie in den vorhergehenden Abbildungen getan wurde und anschließend die hohen Ortsfrequenzen her-auszufiltern. Wie bereits erwähnt, ist dieses Vorgehen bei dem für die Abbildungen 5.11- 5.13 genutzten Liniensensor nicht möglich, da mit dem TMS-Verfahren der Rekonstruktionsab-stand nicht kleiner als der halbe PixelabRekonstruktionsab-stand gewählt werden kann.