Antialiasing

In Abschnitt 3.2 (Seite 25) wurde gezeigt, dass Aliasing durch eine an den Sensor angepasste Wahl des Verfahrabstandes in Verbindung mit dem erweiterten TMS-Verfahren vermieden werden kann. Aliasing beruht auf Ortswellenlängen kleiner als der Rekonstruktionsabstand d_s. Für diese kurzen Wellenlängen ist die Tiefpassfilterung, welche durch die Breite der Pixel verursacht wird, nicht mehr zu vernachlässigen. Daher wurde für die nachkommend darge-stellten Simulationsergebnisse eine Pixelbreite von 95 % des Pixelabstandes berücksichtigt, wie in Abschnitt 4.1 erläutert. Als Testfunktionen dienten hier wiederum sinusförmige Topo-graphien mit einer Amplitude von 100 nm und Wellenlängen zwischen 2.4 cm und 23.75µm.

Durch die erwähnte Tiefpasseigenschaft des simulierten Kompaktinterferometers werden die Aliasingeffekte bereits zum Teil unterdrückt. Die Simulationsergebnisse sollen jedoch für jede

Art von multiplem Abstandssensor Gültigkeit haben. Aus diesem Grund wurde für die Aus-wertung nur jedes zehnte Pixel genutzt. Damit ergibt sich ein Mehrfachabstandssensor mit M = 10 Sensoren und einem effektiven Pixelabstand von dpix = 189µm. Als Rekonstrukti-onsabstand wurde für diese Untersuchungen immerd_s=d_pix= 189µm gesetzt, unabhängig wie groß der Verfahrabstand gewählt wurde. Die Ergebnisse der Simulationen zum Alia-sing des TMS-Verfahrens bzw. dessen Unterdrückung (AntialiaAlia-sing) werden zum Teil im Frequenzraum dargestellt. Dazu wurde der Betrag der Fouriertransformierten der rekonstru-ierten Topographie (f_measure) über der Frequenz der simulierten Topographie (f_topo) auf-getragen. Beide Frequenzen werden der Übersichtlichkeit halber relativ zur Nyquisfrequenz f_{N yq} = ₂¹_ds angegeben. Diese Graphen sind daher dreidimesionale Graphen, bei denen die Intensität eines Punktes den Betrag der Fouriertramsformierten angibt. Ein dunkler Punkt bedeutet daher, dass die rekonstruierte Topographie einen der Intensität entsprechenden Frequenzanteil enthielt. Da für die Simulationen monofrequente Sinustopographien verwen-det wurden, besteht das Spektrum nahezu aus einem einzigen Peak bei der Frequenz der simulierten Topographie (fürftopo ≤fN yq) bzw. bei der Frequenz der Aliastopographie (für f_topo > f_{N yq}). Dieser Graph gibt jedoch nur Auskunft über die Ortsfrequenz der rekonstru-ierten Topographie. Ziel der Messung ist es, alle Sinustopographien mit f_topo ≤f_{N yq} exakt zu rekonstruieren und alle Sinustopographien mit ftopo > fN yq als Nulltopographie zu re-konstruieren. Aus diesem Grund wird zur Bestimmung der rms-Rekonstruktionsabweichung für Sinustopographien, deren Ortsfrequenzen kleiner als die Nyquist-Frequenz ist, die si-mulierte Topographie zum Vergleich verwendet und für höherfrequente Sinustopographien eine Nulltopographie. Wurde die Topographie nicht unterabgetastet (f_topo < f_{N yq}), so gilt f_measure = f_topo, wie es auch in der linken Hälfte von Abb. 4.18 zu sehen ist. Der

Ver-2 4 6 8 10 12 14 16

0 20 40 60 80 100

f_topo/f_Nyq

rms−Abweichung in nm

Abbildung 4.18: Aliasing für den Fallds=dstep(spärlich abgetastete Topographie). Auf der linken Seite ist der Betrag der fouriertransformierten rekonstruierten To-pographie über der Frequenz der simulierten ToTo-pographie aufgetragen. Auf der rechten Seite ist die rms-Rekonstruktionsabweichung der rekonstruier-ten Topographie dargestellt.

fahrabstand betrug für diese Abbildungdstep=dpix, die Topographie wurde daher spärlich abgetastet, da immer wieder an denselben Topographiestellen gemessen wurde. Für diesen Fall ist das Aliasing maximal. Im Idealfall, also ohne Auftreten von Aliasing, sollte rechts

von ^f_f^topo_{N yq} = 1 nur noch ein Peak bei f_measure = 0 auftreten. Stattdessen geht die Frequenz der rekonstruierten Topographie zunächst wieder auf Null zurück, um dann wieder linear anzusteigen und so fort. Das Aliasing ist hier noch von der Transferfunktion eines einzelnen Pixels überlagert. Die Transferfunktion hat ihre erste Nullstelle bei einer Wellenlänge, die der effektiven Breite eines simulierten Pixels entspricht, also beiλ= 0.95∗18.9µm = 17.96µm (^f_f^topo_{N yq} = ₀²⁰_.95 = 21.05). Demzufolge verringert sich auch die Intensität der Peaks in der linken Hälfte von Abb. 4.18 je größer die Frequenz der Topographie wird. Die rms-Werte liegen für die spärliche Topographieabtastung für Ortsfrequenzen kleiner als die Nyquist-Frequenz im einstelligen Nanometerbereich (Abb. 4.18, rechts). Für Ortsfrequenzen, nur knapp über der Nyquist-Frequenz, beträgt die rms-Abweichung nahezu ^{100 nm√}₂ = 70.7 nm, wie es auch zu erwarten war, da hier die hohen Ortsfrequenzen nicht unterdrückt werden. Der Abfall der Kurve für höhere Ortsfrequenzen beruht auf der bereits erwähnten Transferfunktion, verur-sacht durch die Breite eines Einzelsensors. Die Ortswellenlängenλ= ^d_N^s;N = 1,2,3, .. (bzw.

ftopo

fN yq = 2N;N = 1,2,3, ..) führen zu keinem Aliasing, da diese Ortswellenlängen immer an Stellen konstanter Höhe abgetastet und rekonstruiert werden. Jedoch lässt die rechte Seite von Abb. 4.18 auch erkennen, das Ortsfrequenzen in der Nähe dieser Punkte zu größeren rms-Abweichungen führen können, als es reines Aliasing erwarten lassen würde, denn im Fal-le reinen Aliasings wäre die rms-Abweichung auf maximal 70.7 nm beschränkt. Die Ursache für diese großen Abweichungen liegt im Zusammenspiel des Rekonstruktionsverfahrens mit dem äquidistanten Sensordesign. Wie in Abb. 3.9 (Seite 32) bereits dargestellt, können To-pographien mit diesen Ortsfrequenzen nicht von Führungsabweichungen gleicher Frequenz unterschieden werden. Daher führen dieses Topographien zu falsch geschätzten Offsetwerten für die Linearführung und damit letztendlich auch zu falschen Topographiewerten.

Wird bei sonst unveränderten Simulationsparametern für den Verfahrabstand d_step =

M

M+1dpix = ¹⁰₁₁dpix gewählt, so führt dies zu einer dicht abgetasteten Topographie wie in Abschnitt 3.2 erläutert. Dies führt zu den in Abb. 4.19 dargestellten Ergebnissen. Auf der

2 4 6 8 10 12 14 16

0 20 40 60 80 100

ftopo/f

Nyq

rms−Abweichung in nm

Abbildung 4.19: Aliasing für den Falld_step= _M^M₊₁d_pix (dicht abgetastete Topographie). Auf der linken Seite ist der Betrag der fouriertransformierten rekonstruierten Topographie über der Frequenz der simulierten Topographie aufgetragen.

Auf der rechten Seite ist die rms-Abweichung der rekonstruierten Topogra-phie dargestellt.

linken Seite der Abbildung sieht man zunächst wie zuvor, dass Topographien mit Ortsfre-quenzen unterhalb der Nyquist-Frequenz ungestört rekonstruiert werden können. Die Intensi-täten des Spektrums für Topographiefrequenzen oberhalb der Nyquist-Frequenz jedoch sind deutlich geringer, verglichen mit der vorigen Abbildung. Lediglich für Ortsfrequenzen, de-ren Aliasfrequenz nahe Null liegt, sind noch merkliche Intensitäten zu erkennen. Betrachtet man nun die rechte Seite der Abbildung, so erkennt man zunächst, dass sich für nahezu alle Ortsfrequenzen die rms-Werte für die rekonstruierte Topographie im Vergleich zu Abb. 4.18 verbessert haben. Für Ortsfrequenzen, die nur ein wenig oberhalb der Nyquist-Frequenz liegen, haben sich die rms-Werte um etwa eine Größenordnung verbessert. Ortsfrequen-zen nahe den Stellen ^f_f^topo_{N yq} = 2N;N = 1,2,3, .. führen auch hier wie bereits in Abb. 4.18 zu schlechten Rekonstruktionsergebnissen, für diese Frequenzen kann das Aliasing daher nicht unterdrückt werden. Nichtsdestotrotz konnte durch diese Simulationen gezeigt werden, dass Aliasing in Zusammenhang mit dem erweiterten TMS-Algortihmus deutlich reduziert werden kann. Wie Abb. 4.19 zeigt, gilt dies jedoch nicht für Frequenzen nahe den Stellen

ftopo

fN yq = 2N;N = 1,2,3, ...

Grundlage für die Unterdrückung der hohen Ortsfrequenzen ist die Transferfunktion des im erweiterten TMS-Verfahren integrierten Interpolationsschemas (Abb. 3.2, Seite 23). Um den Einfluss der Transferfunktion von den problematischen Stellen, wie sie in Abb. 4.19 hervor-traten, zu separieren, wurde für einen Verfahrabstand vond_step= ¹⁰₁₁189µm eine Simulation mit allen Pixeln des kompakten Interferometers, wie es in Abschnitt 4.1 beschrieben wur-de, durchgeführt. Die Unterdrückung von Aliasing ist hier noch ausgeprägter als zuvor, wie Abb. 4.20 zeigt. Auf der linken Seite sind im Spektrum nur noch Intensitäten für ^f_f^topo_{N yq} <1

2 4 6 8 10 12 14 16

0 20 40 60 80 100

ftopo/f

Nyq

rms−Abweichung in nm

Abbildung 4.20: Aliasing für den Falldstep= _M^M₊₁dpix(dicht abgetastete Topographie) unter Verwendung aller Interferometerpixel. Auf der linken Seite ist der Betrag der fouriertransformierten rekonstruierten Topographie über der Frequenz der simulierten Topographie aufgetragen. Auf der rechten Seite ist die rms-Abweichung der rekonstruierten Topographie dargestellt.

deutlich zu erkennen. Dies wird auch von den rms-Werten auf der rechten Seite der Abbil-dung bestätigt. Die problematischen Ortsfrequenzen sind hier nur noch als singuläre Fälle vorhanden. Der Einfluss der Transferfunktion ist an der Stelle ^f_f^topo_{N yq} = 1 zu erkennen. Je bes-ser die Transferfunktion, also je rechteckiger sie ist, um so schmaler wird der Peak an diebes-ser Stelle. Die Simulationen wurden hier für einen Interpolationsgrad von o= 41 durchgeführt.

Eine weitere Steigerung des Interpolationsgrades hat, wie bereit zuvor erwähnt, aufgrund der Positionierunsicherheit bzw. der Unsicherheit der Positionsmessung so gut wie keinen Einfluss mehr auf das Rekonstruktionsergebnis.