7.1.Frühes Universum in Newtonscher Kosmologie

Fr¨ uhes Universum in Newton’scher Kosmologie

Tobias Lautenschlager

27. Juni 2007

Inhaltsverzeichnis

1 Annahmen 2

1.1 Das kosmologische Prinzip . . . 2

1.2 Die Bewegung von Galaxien . . . 2

2 Struktur des Universums 3 2.1 Der Hubble Fluß . . . 3

2.2 Die kosmologische Rotverschiebung . . . 4

2.3 Olbert’sches Paradoxon . . . 6

3 Die Friedmann Gleichung 6 3.1 Herleitung . . . 6

3.2 Notwendiges aus der Allgemeine Relativit¨atstheorie . . . 7

3.3 Einf¨uhrung der kosmologischen Parameter . . . 7

4 L¨osungen f¨ur ebenes Universum 8 4.1 ΩΛ= 0 . . . 9

4.2 ΩΛ>0 . . . 9

4.3 ΩΛ<0 . . . 10

5 Zustand des Universums 11 5.1 Heutige Parameter . . . 11

5.2 Weltalter . . . 12

5.3 Welthorizont . . . 13

5.4 Der Urknall . . . 13

6 Das Horizontproblem 13

1 Annahmen

1.1 Das kosmologische Prinzip

Nach dem kosmologischen Prinzip ist das Universumhomogenundisoptrop. Da die Materie lokal zum Beispiel in unserer Galaxie nicht gleichverteilt ist, betrachtet man nur ausreichend große L¨angenskalen, in denen diese Bedingung erf¨ullt ist. Diese Bereiche haben eine Ausdehnung von ca. 100 Millionen Licht- jahren.

Abbildung 1: Weltall in unserer Umgebung [4]

Bild 1.1 zeigt unsere Umgebung im Weltall. Auf dieser Skala kann man sicher nicht von Homogenit¨at sprechen. Wir betrachten hier also noch gr¨oßere Skalen.

Durch die Homogenit¨at gibt es auch keinen”Rand“ des Universums, da Punkte am Rand ja wieder ausgezeichnet w¨aren. Durch das kosmologische Prinzip ist das Universum unendlich groß oder periodisch.

1.2 Die Bewegung von Galaxien

Wir nehmen nun an, daß die Galaxien keine Eigenbewegung ausf¨uhren, d.h.

es besteht keine Wechselwirkung zwischen ihnen. Die Koordinatexⁱ an der sich

eine Galaxie befindet ist also konstant. Die zeitliche Bewegung der Galaxie h¨angt nur von einem SkalenfaktorR(t) ab. Die Position einer Galaxie kann also mit

~r(t) =R(t)~x (1)

angegeben werden. Diese Koordinaten nennt man auch mitbewegte Koor- dinaten. Die Metrik, die die Eigenschaften aus Abschnitt 1.1 erf¨ullt ist die Robertson-Walker Metrik. Wir verwenden bei Rechnungen immer Gaußkoordi- naten (x^µ= (ct, r, θ, φ)).

2 Struktur des Universums

2.1 Der Hubble Fluß

Die Geschwindigkeiten Strahlung emittierender Objekte relativ zu einem Beob- achter kann mit Hilfe der Rotverschiebung gemessen werden. Man beobachtet eine Rotverschiebung fast aller Objekte relativ zur Erde. Auch ist die Geschwin- digkeit mit der sie sich entfernen umso gr¨oßer, je gr¨oßer der Abstand ist.

Dadurch ist das kosmologische Prinzip (1.1) nicht verletzt, da diese Beobach- tung f¨ur alle Punkte im Raum gilt.

Edwin Hubble fand den linearen Zusammenhang zwischen der Radialgeschwin- digkeitv und dem AbstandDeiner Galaxie.

v=H0D (2)

H0 bezeichnet die Hubble Konstante zum Zeitpunkt t0. Diese Abk¨urzung ver- wenden wir auch bei anderen Gr¨oßen, insbesondere beim Skalenfaktor R.

Abbildung 2: Auftragung der Geschwindigkeit gegen die Entfernung von 1355 Galaxien [3]

Verkn¨upft man dieses Gesetz mit der Annahme in Kapitel 1.2 erh¨alt man H0= cR(t˙ 0)

R(t0) mit R˙ := dR

d(ct) (3)

Die Hubblekonstante kann sich also mit der Zeit ¨andern. Messungen ergaben einen Wert von (68,7^+3,4_−4,7)_s^km

·M pc f¨ur die heutige Hubblekonstante.

Der Kehrwert der Hubblekonstanten hat die Dimension einer Zeit. Den Kehrwert nennt man Hubblezeit und diese betr¨agt ca. 13 Milliarden Jahre.

2.2 Die kosmologische Rotverschiebung

Wir wollen nun die Rotverschiebung in Abh¨angigkeit des Abstands bestimmen.

Eine elektromagnetische Welle wird von einer Galaxie zum Zeitpunktt1ausge- sandt und an einem anderen Punkt zum Zeitpunkt t0 empfangen. Wegen der Homogenit¨at und Isotropie des Raumes betrachten wir nur die Radialkomponen- te der Koordinaten. Das invariante Wegelement einer Lichttrajektorie zwischen χ(t1) = 0 und χ(t0) =χlautet dann

ds²=c²dt²−dr² mit r(t) =R(t)χ (4)

ds²=c²dt²−R(t)²dχ²= 0→dχ= cdt

R(t) (5)

Zwei aufeinanderfolgende Wellenberge legen den gleichen Weg χ zur¨uck, daχ die radiale Koordinate ohne Zeitabh¨angigkeit ist.

χ= Z t0

t1

cdt R(t)=

Z t0+δt0

t1+δt1

cdt

R(t) (6)

Daraus folgt

0 =

Z t0+δt0

t0

cdt R(t)−

Z t1+δt1

t1

cdt

R(t) (7)

F¨ur sichtbares Licht liegt der Abstand zwischen zwei Wellenbergen bei 10⁻¹⁵s, daher kann man R(t) in dieser Zeit als konstant annehmen. Nach Integration von (7) erhalten wir

0 = cδt0

R(t0)− cδt1

R(t1) (8)

Dr¨uckt man obiges Ergebnis durch die Frequenzν (δt= ¹_ν) aus:

R(t1)ν1=R(t0)ν0 (9)

Analysiert man nun das Spektrum von Galaxien, findet man Gruppen von Spek- trallinien, die man bekannten Atom¨uberg¨ange zuordnet. Die Linien sind jedoch alle verschoben. Wir definieren nun den Rotverschiebungsparameterz:

z=λ0

λ1 −1 = ν1

ν0 −1 = R(t0)

R(t1)−1 (10)

Wie h¨angt nun die Rotverschiebung mit dem Abstand einer Galaxie zusammen?

Dazu entwickeln wir R(t) in eine Taylorreihe umt0. R(t) = R(t0) +cR(t˙ 0)(t−t0) +1

2c²R(t¨ 0)(t−t0)²+. . .

= R(t0)

"

1 +cR(t˙ 0)

R(t0)(t−t0) +1 2

c²R(t¨ 0)

R(t0) (t−t0)²+. . .

#

= R(t0)

1 +H0(t−t0)−1

2q0H₀²(t−t0)²+. . .

(11) Hier wurde die Hubble Konstante (3) und der Verz¨ogerungsparameterq0 ein- gef¨uhrt.

q0=−R(t¨ 0)R(t0)

R(t˙ 0)² (12)

Dieser Parameter beschreibt die Rate, mit der sich die Expansion des Univer- sums verlangsamt. Somit ergibt sich, wenn man (11) mitt=t1in (10) einsetzt f¨ur den Rotverschiebungsparameter

z≈H0(t0−t1) + (1 +q0

2)H₀²(t0−t1)² (13)

Wir wollen jedoch wissen, wiezvom AbstandDabh¨angt. Der heutige Abstand zwischen Emissions- und Absorptionsort ist

D=D(t0) =R(t0)χ≈c(t0−t1) +H0c

2 (t0−t1)² (14) χ erhalten wir aus (6):

χ= Z t0

t1

cdt

R(t0)[1−H0(t−t0) +. . .]≈c(t0−t1)

R(t0) +H0c(t0−t1)²

2R(t0) (15) Nun haben wir die Rotverschiebung in Abh¨angigkeit des Abstands gefunden.

z≈ H0

c D+(1 +q0)H0²

2c² D² (16)

Es ist also m¨oglich, daß die Rotverschiebung unendlich wird, wir also dieses Licht nicht mehr detektieren k¨onnen. Es existiert ein Horizont ¨uber den wir nicht hinaussehen k¨onnen. Um diesen Horizont bestimmen zu k¨onnen, muss man jedoch ein Modell f¨ur den kosmologischen Skalenfaktor haben.

2.3 Olbert’sches Paradoxon

Im euklidischen Raum bedeutet Homogenit¨at, daß der Raum unendlich ist, und uberall die gleiche Sterndichte hat.¨

Die Anzahl der Sterne in einer Kugelschale mit DickedRum die Erde ist ρ·4πR²dR

Die Anzahl der Sterne ist also direktoroportional zu R². Die Intensit¨at eines Sterns nimmt aber mit R⁻² ab. Uns erreicht also aus jeder Kugelschale die gleiche Energieflussdichte. Bei einem unendlichen Universum m¨ussten wir in jeder Richtung einen Stern sehen, also der Himmel in der Nacht hell sein.

Eine L¨osung des Paradoxons ist die Absorption von Licht durch interstellares Gas, aber dieses Gas w¨urde sich solange aufheizen, bis es die gleiche Menge abstrahlt wie es absorbiert. Hat aber der Kosmos ein endliches Weltalter gibt es einen Welthorizont (2.2) der zu einer endlichen Anzahl sichtbarer Sterne f¨uhrt und das Paradoxon l¨ost.

3 Die Friedmann Gleichung

Wir leiten nun die Friedmanngleichung in Newton‘scher N¨aherung her und un- tersuchen diese. Wir verwenden dabei die Annahmen unter Abschnitt 1.

3.1 Herleitung

Um die Friedmanngleichung zu bestimmen berechnen wir das Gravitationspo- tential und die kinetische Energie eines Teilchens. Wegen des kosmologischen Prinzips (1.1) ist das Teilchen beliebig w¨ahlbar. Von einem ebenfalls frei w¨ahl- barem Zentrum besitzt das Teilchen die Entfernung r. Das Teilchen erf¨ahrt laut

dem Birkhoff’schen Theorem nur die Anziehungskraft der Masse innerhalb der Kugel mit Radius r.

F =GM m r² = 4

3πGρrm (17)

Das Teilchen besitzt also die potentielle Energie V V =−GM m

r =−1

34πGρr²m (18)

Die kinetische Energie wird durch die Bewegung der Galaxien erzeugt.

T =1

2mr˙² mit r˙=dr

dt (19)

Die Gesamtenergie U ist konstant, muss aber nicht den selben Wert f¨ur jedes r haben.

U =T+V = 1

2mr˙²−1

34πGρr²m (20)

Wir f¨uhren jetzt die mitbewegten Koordinaten (1) ein und erhalten U =1

2mR˙²χ²−1

34πGρR²χ²m (21)

Anstelle der zeitlichen Ableitung nachtschreiben wir wieder die Ableitung nach (ct).

cR˙ R

!2

= 8πG 3 ρ−kc²

R² mit kc²=− 2U

mχ² (22)

Dies ist die Friedmanngleichung, die wir nur etwas umgeschrieben und um die kosmologische Konstante Λ erweitern werden.

3.2 Notwendiges aus der Allgemeine Relativit¨ atstheorie

In der Allgemeinen Relativit¨atstheorie folgt die Friedmanngleichung wenn man die Robertson-Walker Metrik als L¨osungsansatz f¨ur die Einsteinschen Feldglei- chungen benutzt.

Als Einstein seine Feldgleichung aufstellte, war er von einem statischen Univer- sum ¨uberzeugt. Allerdings kann ein materieerf¨ulltes Universum ohne die Kon- stante nicht statisch sein, und so

”erfand“ Einstein die kosmologische Konstan- te. Aktuelle Weltmodelle gehen von einer nichtverschwindenden kosmologischen Konstante aus, und interpretieren sie als Energiedichte des Vakuums.

Die Variable k beschreibt die Kr¨ummung des Universums.

3.3 Einf¨ uhrung der kosmologischen Parameter

Mit Kosmologischer Konstante Λ (Abschnitt 3.2) lautet die Friedmanngleichung (22)

cR˙ R

!²

= 8πG 3 ρ−kc²

R² +Λc²

3 (23)

Wir f¨uhren nun die dimensionslosen Variablen x(τ) = R(t)

R(t0) und τ=H0t (24) und die kosmologischen Parameter

Ωm = ρmat(t0)

ρkr(t0) (25)

ΩΛ = Λc² 3H0²

(26) Ωk = − kc²

R²₀H₀² (27)

ein. Die Teilchenzahl ¨andert sich nicht, also ist ρmat(t)R³(t) f¨ur alle Zeiten konstant.

d dt

R R0

Ro

R ²

= 8πG

3 ρ−kc² R² +Λc²

3 H₀² H₀² dx

dτ H0Ro

R ²

= 8πG

3 ρ−kc²

R² + ΩΛH₀² dx

dτ ²

= 8πG

3 ρ R²R

H₀²R²₀R − kc²

H₀²R²₀ + ΩΛx² dx

dτ ²

= 8πG

3 ρ0

R0

H₀²R + Ωk+ ΩΛx² dx

dτ ²

= ρ0

ρkr(t0) 1

x+ Ωk+ ΩΛx² Wir erhalten schließlich

dx dτ

²

=Ωm

x + ΩΛx²+ Ωk (28)

Heute (t=t0) gilt

x(t0) = 1 ^dx_dτ|t=t0= _H¹₀

cR˙0

R0

= 1 (29) Eingesetzt in (28) erhalten wir

1 = Ωm+ ΩΛ+ Ωk (30)

4 L¨ osungen f¨ ur ebenes Universum

In einem ebenen Universum verschwindet die Kr¨ummung des Raumes. Die Fried- mann Gleichung (28) lautet also

dx dτ

2

= Ωm

x + ΩΛx² (31)

4.1 Ω

= 0

Dies vereinfacht Gleichung (31) sehr.

dx dτ

2

= Ωm

x dx

dτ =

rΩm

√ x

xdx = p Ωmdτ 2

3x³² = p Ωmτ Als L¨osung erhalten wir schließlich:

x(τ) = 9

4Ωm

¹3

τ²³ (32)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x(τ)

τ Ωk=0, Ω_Λ=0

Abbildung 3: Zeitabh¨angigkeit des kosmischen Skalenfaktors ohne Raum- kr¨ummung und verschwindender kosmologischer Konstante

Dieses L¨osung nennt man Einstein-de Sitter-Universum, es zeichnet sich durch eine unendliche, langsamer werdende Expansion aus.

4.2 Ω

> 0

Um den Fall mit positivem ΩΛ zu berechnen f¨uhren wir folgende Substitution durch:

u≡ 2ΩΛ

Ωm

x³→u˙ = 6ΩΛ

Ωm

x²x˙ (33)

Setzt man dies in die Differentialgleichung (31) ein, erh¨alt man

˙

u² = 36Ω²_Λx² Ω²_m

18Ωm

x + ΩΛx²

= 9ΩΛ 2u+u²

→ du dτ = 3p

ΩΛ

pu²+u

Z τ

0

dτ3p ΩΛ =

Z u

0

du^′ 1

√u^′2+ 2u^′ 3p

ΩΛτ = ln 2p

u²+ 2u+ 2u+ 2

−ln (2)

= lnp

u²+ 2u+u+ 1

= arccosh(u+ 1)

Uns somit lautet der dimensionslose kosmische Skalenfaktor x(τ) =

Ωm

2ΩΛ

hcosh(3p

ΩΛτ)−1i¹3

(34)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x(τ)

τ Ω_k=0, Ω_Λ>0

Abbildung 4: Zeitabh¨angigkeit des kosmischen Skalenfaktors ohne Raum- kr¨ummung mit positiver kosmologischer Konstante

4.3 Ω

< 0

Bei einer negativen kosmologischen Konstanten w¨ahlen wir eine andere Substi- tution:

u≡ −2ΩΛ

Ωm

x³ (35)

Nach Einsetzen in die Gleichung (31) erhalten wir du

dτ = 3p

−ΩΛ

p2u−u² 3p

−ΩΛτ = Z u

0

du′

√2u′ −u′²

= −arcsin(−u+ 1) +arcsin(1) =−arcsin(−u+ 1) +π 2

= −arccos(−u+ 1)

Daraus folgt

u = 1−cos(3p

−ΩΛτ) x(τ) =

−Ωm

2ΩΛ

h1−cos(3p

−ΩΛτ)i¹3

(36)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x(τ)

τ Ωk=0, ΩΛ<0

Abbildung 5: Zeitabh¨angigkeit des kosmischen Skalenfaktors ohne Raum- kr¨ummung mit negativer kosmologischer Konstante

5 Zustand des Universums

5.1 Heutige Parameter

Durch Messungen erhalten wir drei unabh¨angige kosmologische Parameter:

(Ωm,ΩΛ,Ωk) = (0.3,0.7,0) (37) Daher beschreiben wir die Ausdehnung des Universums durch die L¨osung der Friedmanngleichung aus Abschnitt 4.2.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x(τ)

τ Ωk=0, Ω_Λ>0

Abbildung 6: Zeitabh¨angigkeit des kosmischen Skalenfaktors ohne Raum- kr¨ummung mit negativer kosmologischer Konstante

Heute wird das Universum durch den ΩΛ-Term in der Friedmanngleichung (31) dominiert. Dies sieht man an der positiven Kr¨ummung am Punkt x=1.

In der folgenden Betrachtung beziehen wir uns immer auf das, durch diese Pa- rameter festgelegte, Universum.

5.2 Weltalter

Das Weltalter k¨onnen wir nun direkt aus (34) berechnen, indem wir X gleich 0 setzen.

1 = Ωm

2ΩΛ

hcosh(3p

ΩΛτ)−1i¹3

(38)

→τ = 1 3√

ΩΛ

arcosh 2ΩΛ

Ωm

+ 1

(39) Damit erhalten wir f¨ur das Weltalter:

t= 1 H0

τ= 0,96·T_Hubble (40)

Dies stimmt zuf¨alligerweise fast mit der unter 2.1 berechneten Hubblezeit ¨ube- rein.

5.3 Welthorizont

F¨urτ→0 geht auchx(τ)→0. Licht, das und heute erreicht, kann also maximal von der Zeitt1= 0 bist0 unterwegs sein. Damit kann auch die Lichtquelle nur eine maximale DistanzD0 entfernt sein. Es gibt also einen Horizont, ¨uber den wir nicht hinaussehen k¨onnen.

D0 = R0

Z t0

0

dχ=R0

Z t0

0

cdt

R(t) (41)

= c

H0

Z τ0

0

dτ

x(τ) = 4·10¹⁰Lj (42) Berechnen wir nun die Geschwindigkeit einer Galaxie, die sich am Welthorizont bewegt:

v(D0) = cR˙0χ=cR˙0

Z t0

0

cdt

R(t) (43)

= H0D0= 3,2c (44)

Dieses Ergebnis ist kein Widerspruch zur speziellen Relativit¨atstheorie, da die Lichtgeschwindigkeit nur in einem Inertialsystem eine Obergrenze ist. Der Stern und wir befinden uns aber nicht im gleichen Inertialsystem.

Die Minkowski Metrik kann nur lokal an unsere Metrik angen¨ahert werden.

5.4 Der Urknall

Es gibt keinen Punkt an dem der Urknall stattfand. Man m¨usste sonst wie bei ei- ner Explosion aus der Bewegung der Teilchen auf das Zentrum schließen k¨onnen, das ist aber nicht m¨oglich. Jeder Punkt im Universum ist gleichbedeutend. In unserem Modell mit verschwindender Kr¨ummung gehen wir davon aus, daß das Universum schon immer unendlich ausgedehnt war. Es expandierte auch nicht in einen bestehenden Raum, sondern der Urknall erzeugte erst Raum und Zeit.

6 Das Horizontproblem

Mit Hilfe des dimensionslosen Skalenfaktorsx, k¨onnen wir unseren Welthorizont zu einer fr¨uheren Zeittzur¨uckskalieren.

D(t) =D0x=R(t) Z t0

0

cdt

R(t) (45)

Vergleichen wir dies mit dem Bereich des Universums, der zu diesem Zeitpunkt kausal mit uns verbunden war:

Dkaus(t) =R(t) Z t

0

cdt^′ R(t^′)

Dieser Horizont ist kleiner, das heißt, der f¨ur uns sichtbare Bereich des Weltalls besteht aus Bereichen, die fr¨uher nicht kausal miteinander verbunden waren.

Dies steht im Widerspruch zum statistischen Gleichgewicht der kosmischen Hin- tergrundstrahlung, das einen kausalen Zusammenhang voraussetzt.

Literatur

[1] Torsten Fließbach. Allgemeine Relativit¨atstheorie. Spektrum, 2006.

[2] Wolfgang Gebhardt. Kosmologie II.

[3] Andrew Liddle. An Introduction to Modern Cosmology. Wiley, 1998.

[4] Richard Powell. An Atlas of The Universe. http://www.

atlasoftheuniverse.com/.