Aufgabe P13.1 - Weiß Modell

P21 Statistische Physik WS 17/18 Prof. Jan Plefka Ubungsserie 13 ¨

Abgabe der Haus¨ ubungen am 31.01.2018 Pr¨ asenz¨ ubungen

Aufgabe P13.1 - Weiß Modell

Das Weiß-Modell stellt eine Spielart des Ising-Modells dar, in dem jeder der N Spins mit jedem anderen gleich stark wechselwirkt:

H = − 1 2

J N

N

X

l,l

=1

σ _l σ _l

− h

N

X

l=1

σ _l , σ _l = ±1 ,

d.h. die Reichweite der Wechselwirkung ist unendlich. Dieses Modell l¨ aßt sich im thermodyna- mischen Limes N → ∞ exakt l¨ osen:

a) Zeigen Sie, dass sich die Hamiltonfunktion als Polynom zweiter Ordnung in m = P N l=1 σ _l schreiben l¨ aßt.

b) Wenden Sie die “Hubbard-Stratanovich” Transformation

e

2

2N

=

Z ∞

−∞

dy r N a

2π e ⁻

2 2

+a xy

an, um den Exponenten in der Zustandssumme in der Variablen m zu linearisieren.

c) F¨ uhren Sie nun die Summe ¨ uber die Ising Spins σ _l = ±1 aus und l¨ osen Sie das Integral mithilfe der Sattelpunktsmethode im Grenzfall N → ∞.

d) Bestimmen Sie die Magnetisierung M := lim

N→∞

1 β N

∂ ln Z _N

∂h = hmi N

und zeigen Sie, dass M = y ₀ gilt, wobei y ₀ die L¨ osung der transzendenten Gleichung y 0 = tanh(β J y 0 + β h)

ist. Wir werden in der Vorlesung zeigen, dass dieses Ergebnis identisch zu einer Mean-Field (Molekularfeld) N¨ aherung des Ising Modells mit endlicher Reichweite ist.

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Haus¨ ubungen

Aufgabe H13.1 - Magnetische Suszeptibilit¨ at und W¨ armekapazit¨ at des Isingmodells in Mean Field N¨ aherung [3P]

i) Zeigen Sie, ausgehend von den Resultaten der Vorlesung f¨ ur das Isingmodell in der Mean Field N¨ aherung, dass f¨ ur die magnetische Suszeptibilit¨ at χ f¨ ur T ∼ T _c im Grenzfall ver- schwindenden ¨ außeren Feldes h gilt

h→0 lim χ = lim

h→0

∂m

∂h

T

= ( ₁

κ(T −T

) T > T _c

1

2 κ(T

−T ) T < T _c .

Hierbei ist zu beachten, dass es f¨ ur T < T _c zu der Bildung einer inhomogenen Phase mit Dom¨ anenstruktur kommt, wie in der Vorlesung besprochen. D.h. f¨ ur die Magnetisierung m im Grenzwert h → 0 gibt es je nach Phase unterschiedliche L¨ osungen.

ii) Zeigen Sie weiterhin, dass die W¨ armekapazit¨ at bei h = 0 und T ∼ T _c die Form

c _h=0 = −N kT ∂ ² f

∂T ² h=0

=

( 0 T > T _c

3 2 N k _T ^T

c

T < T _c ,

annimmt. Gehen Sie hierzu von einer Entwicklung der relevanten Gr¨ oßen nach den kleinen Parametern aus.

Aufgabe H13.2 - L¨ osung des 1-D Isingmodells mit offenen Randbedingungen [1P]

Wir betrachten das 1D Isingmodell mit Hamiltonian

H = −

N −1

X

i=1

J i σ i σ i+1

und offenen Randbedingungen. Beachten Sie, dass wir lokale Kppplungen J _i eingef¨ uhrt haben.

Berechnen Sie die Zustandssumme Z _N !

Hinweis: Zeigen Sie die Existenz der Rekursionsrelation Z _N+1 = 2 Z _N cosh[J _N /kT ].

Bitte denken Sie an die Anmeldung zur Modulabschlusspr¨ ufung!

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