§ 4 Komplexe Mannigfaltigkeiten Sei

§ 4 Komplexe Mannigfaltigkeiten

Sei X ein hausdorffscher topologischer Raum. Wir halten X f¨ ur zu groß, wenn es in X eine diskrete Teilmenge mit der Kardinalit¨ at des Kontinuums gibt. Deshalb fordern wir, dass X eine abz¨ ahlbare Basis f¨ ur die Topologie besitzt. Man sagt dann auch, dass X das zweite Abz¨ ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt. Offensichtlich trifft das auf den C

zu. Ein metrischer Raum besitzt genau dann eine abz¨ ahlbare Basis, wenn er eine abz¨ ahlbare dichte Teilmenge enth¨ alt.

Ein Hausdorff-Raum X heißt lokal-kompakt, wenn jeder Punkt x ∈ X eine kom- pakte Umgebung besitzt. Ist X kompakt, so ist X nat¨ urlich auch lokal-kompakt.

Ist X umgekehrt lokal-kompakt, aber nicht kompakt, so kann X durch Hin- zuf¨ ugen eines einzigen Punktes kompakt gemacht werden (Alexandrovs

” Ein- Punkt-Kompaktifizierung“). Jeder Hausdorff-Raum, der lokal hom¨ oomorph zu ei- ner offenen Teilmenge des C

ist, ist lokal-kompakt.

Definition. Eine offene ¨ Uberdeckung V = {V

: ν ∈ N } eines Hausdorff- Raumes X heißt eine Verfeinerung der ¨ Uberdeckung U = {U

: ι ∈ I} von X, falls es eine Abbildung τ : N → I (die Verfeinerungsabbildung gibt, mit

V

⊂ U

f¨ ur jedes ν ∈ N.

Die Verfeinerungsabbildung ist nicht eindeutig bestimmt, aber wir k¨ onnen eine ein f¨ ur allemal festhalten.

Eine ¨ Uberdeckung V = {V

: ν ∈ N } heißt lokal-endlich, wenn jeder Punkt x ∈ X eine Umgebung U = U (x) besitzt, so dass U nur endlich viele V

trifft.

Definition. Ein Hausdorff-Raum X heißt parakompakt, wenn es zu jeder offenen Uberdeckung ¨ U von X eine lokal-endliche offene Verfeinerung V gibt.

Jeder kompakte Raum ist parakompakt. Und jeder lokal-kompakte Raum mit abz¨ ahlbarer Basis ist ebenfalls parakompakt.

F¨ ur den Augenblick nehmen wir nur an, dass X ein Hausdorff-Raum ist.

Definition. Ein n-dimensionales komplexes Koordinatensystem (U, ϕ) f¨ ur X be- steht aus einer offenen Menge U ⊂ X und einer topologischen Abbildung ϕ von U auf eine offene Menge B ⊂ C

.

Ist p ∈ X ein Punkt, dann nennt man jedes Koordinatensystem (U, ϕ) f¨ ur X mit p ∈ U ein Koordinatensystem in p. Die Eintr¨ age z

in z = ϕ(p) nennt man die komplexen Koordinaten von p (bez¨ uglich (U, ϕ)).

Ist f eine komplexe Funktion auf U , so k¨ onnen wir f als Funktion der komplexen Koordinaten z

, . . . , z

auffassen, durch

(z

, . . . , z

) 7→ f ◦ ϕ

(z

, . . . , z

).

Zwei (n-dimensionale) komplexe Koordinatensysteme (U, ϕ) und (V, ψ) f¨ ur X nennt man (holomorph) vertr¨ aglich, falls entweder U ∩ V = ∅ ist, oder

ϕ ◦ ψ

: ψ(U ∩ V ) → ϕ(U ∩ V ) biholomorph.

U

V

ϕ ψ

ϕ ◦ ψ

B

B

Die Mengen B

:= ψ(U ∩V ) und B

:= ϕ(U ∩V ) sind offen im C

. Sind z

(bzw. w

) die komplexen Koordinaten bez¨ uglich ϕ (bzw. ψ), dann bedeutet die holomorphe Vertr¨ aglichkeit der Koordinatensysteme, dass die Funktionen z

= z

(w

, . . . , w

) und w

= w

(z

, . . . , z

) holomorph sind.

Eine ¨ Uberdeckung von X durch paarweise vertr¨ agliche n-dimensionale komplexe Koordinatensysteme nennt man einen n-dimensionalen komplexen Atlas f¨ ur X.

Zwei solche Atlanten A

und A

heißen ¨ aquivalent, falls je zwei Koordinatensy- steme (U, ϕ) ∈ A

und (V, ψ) ∈ A

vertr¨ aglich sind. Eine ¨ Aquivalenzklasse von (n-dimensionalen) komplexen Atlanten f¨ ur X nennt man eine n-dimensionale kom- plexe Struktur auf X. Sie enth¨ alt einen maximalen Atlas, der die Vereinigung aller Atlanten in der ¨ Aquivalenzklasse ist.

Definition. Eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorffraum X mit abz¨ ahlbarer Basis, versehen mit einer n-dimensionalen komplexen Struktur.

Jede komplexe Mannigfaltigkeit ist lokal-kompakt und parakompakt.

Beispiele.

1. Der C

ist eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Die komplexe Struktur ist gegeben durch das Koordinatensystem ( C

, id).

2. Ist X eine beliebige n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, dann ist jede

nicht leere offene Teilmenge B ⊂ X wieder eine n-dimensionale komplexe

Mannigfdaltigkeit. F¨ ur p ∈ B gibt es ein Koordinatensystem (U, ϕ) f¨ ur X

in p. Dann ist (U ∩ B, ϕ|

) ein Koordinatensystem f¨ ur B in p. Alle diese

Koordinatensysteme sind holomorph vertr¨ aglich.

3. Sei G ⊂ C

ein Gebiet und X ⊂ G eine k-dimensionale komplexe Unter- mannigfaltigkeit. Nat¨ urlich ist X ein Hausdorff-Raum (in der Relativtopo- logie) mit abz¨ ahlbarer Basis. Zu jedem z

∈ X gibt es offene Umgebungen W = W (z

) ⊂ G und B = B (0) ⊂ C

und eine biholomorphe Abbildung F : W → B , so dass gilt:

F(W ∩ X) = {(w

, . . . , w

) ∈ B : w

= · · · = w

= 0}.

Sei pr

: C

→ C

die Projektion (w

, . . . , w

) 7→ (w

, . . . , w

). Wir setzen U := W ∩ X und ϕ := pr

◦ F : U → C

. Dann ist (U, ϕ) ein k-dimensionales komplexes Koordinatensystem f¨ ur X in z

.

Ist (V, ψ) ein anderes Koordinatensystem, mit ψ = pr

◦ F, so ist e ϕ ◦ ψ

(w

, . . . , w

) = pr

◦ F ◦ F e

(w

, . . . , w

, 0, . . . , 0) holomorph. Auf diese Weise erhalten wir eine komplexe Struktur auf X.

4. Sei schließlich G ein zusammenh¨ angender Hausdorffraum und π : G → C

eine lokal-topologische Abbildung. Dann gibt es zu jedem p ∈ G eine offene Umgebung U = U (p), so dass B := π(U ) offen und ϕ := π|

: U → B topologisch ist. Dann ist (U, ϕ) ein komplexes Koordinatensystem. Ist ψ = π|

ein anderes Koordinatensystem, so gilt ϕ(x) = ψ(x) = π(x) =: z und

ϕ ◦ ψ

(z) = ϕ(x) = z

f¨ ur x ∈ U ∩ V . Deshalb sind die Koordinatensysteme holomorph vertr¨ aglich, und wir erhalten eine komplexe Struktur auf G. Man kann beweisen, dass G eine abz¨ ahlbare Basis besitzt (Grauert, 1955). Also ist G eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Das Paar (G, π) nennt man ein Riemannsches Gebiet uber ¨ C

.

Sei X eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit.

Definition. Eine komplexe Funktion f auf einer offenen Teilmenge B ⊂ X heißt holomorph, falls es zu jedem p ∈ B ein Koordinatensystem (U, ϕ) in p gibt, so dass f ◦ ϕ

: ϕ(U ∩ B) → C holomorph ist.

Sind z

, . . . , z

komplexe Koordinaten bez¨ uglich (U, ϕ), so ist (z

, . . . , z

) 7→ f ◦ ϕ

(z

, . . . , z

)

eine holomorphe Funktion im herk¨ ommlichen Sinne. Ist z

= z

(w

, . . . , w

), wobei w

, . . . , w

die komplexen Koordinaten bez¨ uglich eines Koordinatensystems (V, ψ) sind, so ist auch

f ◦ ψ

(w

, . . . , w

) = f ◦ ϕ

(z

(w

, . . . , w

), . . . , z

(w

, . . . , w

))

holomorph. Also ist die Definition der Holomorphie unabh¨ angig vom Koordinaten- system. Wir bezeichnen die Menge der holomorphen Funktionen auf B mit O(B ).

Sie ist eine C -Algebra mit Eins-Element.

Beispiel.

Sei G ⊂ C

ein Gebiet und X ⊂ G eine k-dimensionale komplexe Unter- mannigfaltigkeit. Wir betrachten ein komplexes Koordinatensystem (U, ϕ) f¨ ur X, wo U der Durchschnitt von X mit einer offenen Menge W ⊂ G und ϕ = pr

◦ F ist, mit einer biholomorphen Abbildung F : W → B ⊂ C

, so dass F(U ) = {w ∈ B : w

= · · · = w

= 0} ist. Ist f eine holomorphe Funktion auf G, so ist

f |

◦ ϕ

(w

, . . . , w

) = f ◦ F

(w

, . . . , w

, 0, . . . , 0)

holomorph. Daher ist f|

eine holomorphe Funktion auf der komplexen Man- nigfaltigkeit X.

4.1 Identit¨ atssatz. Sei X zusammenh¨ angend. Sind f, g zwei holomorphe Funk- tionen auf X, die auf einer nicht leeren offenen Teilmenge U ⊂ X ¨ ubereinstimmen, so ist f = g.

Beweis: Sei W = {x ∈ X : f (x) = g(x)}. Dann ist U ⊂ W , also

◦

W 6= ∅ . Wir nehmen an, dass es einen Randpunkt x

von

◦

W in X gibt. Sei (U, ϕ) ein Koordinatensystem in x

mit ϕ(x

) = 0. Dann m¨ ussen alle Ableitungen von f ◦ ϕ

und g ◦ ϕ

in 0 ubereinstimmen. Folglich sind die Potenzreihen dieser Funktionen ¨ im Nullpunkt gleich. Aber dann ist f = g auf einer ganzen Umgebung von x

, und das ist ein Widerspruch.

Wenn es einen Punkt x ∈ M := X \ W

g¨ abe, der kein innerer Punkt von M ist, dann w¨ are x ein Randpunkt von

◦

W . Das zeigt, dass M offen sein muss. Da X zusammenh¨ angend ist, muss M leer sein.

4.2 Maximumprinzip. Sei X zusammenh¨ angend, f ∈ O(X) und x

∈ X ein Punkt, in dem |f| ein lokales Maximum annimmt. Dann ist f konstant.

Beweis: Die Funktionen f und g := f(x

) sind beide auf X holomorph. Ist (U, ϕ) ein Koordinatensystem in x

und B := ϕ(U ), so ist f

:= f ◦ ϕ

holomorph auf B, und |f

| hat ein lokales Maximum in z

:= ϕ(x

). Daher gibt es eine offene Umgebung B

= B

(z

) ⊂ B, so dass f

auf B

konstant und f auf U

:= ϕ

(B

) konstant ist. Also ist f|

= g|

, und nach dem Identit¨ atssatz ist f = g, also f konstant.

4.3 Folgerung. Ist X kompakt und zusammenh¨ angend, so ist jede holomorphe

Funktion auf X konstant.

Beweis: Die stetige Funktion |f| nimmt ihr Maximum in einem Punkt von X an. Dann folgt die Behauptung aus dem Maximumprinzip.

4.4 Folgerung. Es gibt keine kompakte komplexe Untermannigfaltigkeit positiver Dimension im C

.

Beweis: Sei X ⊂ C

eine kompakte zusammenh¨ angende Untermannigfaltigkeit.

Dann m¨ ussen die Koordinatenfunctionen z

|

konstant sein, f¨ ur ν = 1, . . . , n. Das bedeutet, dass X ein einzelner Punkt. Ist X nicht zusammenh¨ angend, so ist X eine endliche Menge.

Sei nun F : X → Y eine stetige Abbildung zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten.

Definition. Die Abbildung F heißt holomorph, falls es zu jedem p ∈ X ein Koordinatensystem (U, ϕ) f¨ ur X in p und ein Koordinatensystem (V, ψ) f¨ ur Y in F (p) mit F (U ) ⊂ V gibt, so dass

ψ ◦ F ◦ ϕ

: ϕ(U ) → ψ(V ) eine holomorphe Abbildung ist.

4.5 Satz. Die Abbildung F : X → Y ist genau dann holomorph, wenn f¨ ur jede offene Teilmenge V ⊂ Y und jedes f ∈ O(V ) gilt: f ◦ F ∈ O(F

(U )).

Der Beweis ist eine leichte ¨ Ubung. Eine holomorphe Funktion f : X → C ist offensichtlich eine holomorphe Abbildung.

Wenn wir in unseren Definitionen den K¨ orper C durch R und das Wort “holomorph“

durch “differenzierbar“ ersetzen, so erhalten wir die Kategorie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten und differenzierbarer Abbildungen. Aus jeder n-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit wird eine 2n-dimensionale differenzierbare Mannigfal- tigkeit, wenn man die komplexe Struktur

” vergisst“.

Definition. Eine biholomorphe Abbildung F : X → Y ist eine topologische Abbildung, so dass F und F

holomorph sind. Wenn es eine biholomorphe Ab- bildung zwischen X und Y gibt, dann nennt man die Mannigfaltigkeiten isomorph oder biholomorph ¨ aquivalent, und wir schreiben: X ∼ = Y .

Bemerkung. Ist X eine komplexe Mannigfaltigkeit und (U, ϕ) ein komplexes

Koordinatensystem mit ϕ(U ) = B ⊂ C

, dann ist ϕ : U → B eine biholomorphe

Abbildung.

Sind X

, . . . , X

komplexe Mannigfaltigkeiten der Dimension n

, . . . , n

, dann tr¨ agt X = X

× · · · × X

die Produkttopologie. Offensichtlich ist X ein Hausdorff- Raum mit abz¨ ahlbarer Basis.

Sind komplexe Koordinatensysteme (U

, ϕ

) f¨ ur X

gegeben, f¨ ur i = 1, . . . , m, so wird ein Koordinatensystem (U, ϕ) f¨ ur X definiert, durch

ϕ(x

, . . . , x

) := (ϕ

(x

), . . . , ϕ

(x

)) ∈ C

= C

.

Man rechnet leicht nach, dass man so einen n-dimensionalen komplexen Atlas und eine komplexe Struktur auf X erh¨ alt. Die Projektionen p

: X → X

sind holomor- phe Abbildungen, f¨ ur i = 1, . . . , m.

Einfachstes Beispiel ist der C

= C × · · · × C

| {z }

ntimes

.

Sei X eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit.

Definition. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt analytisch, wenn es zu jedem Punkt p ∈ X eine (zusammenh¨ angende) offene Umgebung U = U (p) und endlich viele holomorphe Funktionen f

, . . . , f

auf U gibt, so dass gilt:

U ∩ A = {q ∈ U : f

(q) = 0 f¨ ur i = 1, . . . , m}.

Wir nennen A eine analytische Hyperfl¨ ache, wenn man immer mit einer einzigen Funktion auskommt.

Aus der Definition folgt, dass A eine abgeschlossene Teilmenge von X ist. Lokal ist eine analytische Menge in X das gleiche wie eine analytische Menge in einer offenen Menge B ⊂ C

. Daher k¨ onnen viele Eigenschaften analytischer Mengen im C

auf solche in Mannigfaltigkeiten ¨ ubertragen werden.

4.6 Satz. Ist X zusammenh¨ angend und A ⊂ X analytisch, so ist entweder A = X oder A nirgends dicht und X \ A zusammenh¨ angend.

Beweis: Wir nehmen an, dass A 6= X ist. Ist A irgendwo dicht in X, so enth¨ alt A innere Punkte (denn A ist in X abgeschlossen). Da X zusammenh¨ angend ist, besitzt das Innere von A einen Randpunkt p ∈ X \ A (das folgt wie im Beweis des Identit¨ atssatzes). Wir betrachten eine zusammenh¨ angende Umgebung U = U (p), so dass A ∩ U = {q ∈ U : f

(q) = · · · = f

(q) = 0} ist. Dann enth¨ alt U eine offene Teilmenge V (die aus inneren Punkten von A besteht), wo f

, . . . , f

identisch verschwinden. Nach dem Identit¨ atssatz verschwinden sie auf ganz U , und p kann kein Randpunkt des Inneren von A sein. Das ist ein Widerspruch und A kann nirgends dicht sein.

Ist X \ A nicht zusammenh¨ angend, so kann man diese Menge in zwei nicht leere

offene Teilmengen U

, U

zerlegen. Die Funktion f : X \ A → C mit f(x) ≡ 0 auf

U

und f (x) ≡ 1 auf U

ist holomorph und beschr¨ ankt. Nach dem Riemann’schen

Hebbarkeitssatz (der lokal angewandt werden kann) gibt es eine holomorphe Funk-

tion f b auf X, die außerhalb von A mit f ubereinstimmt. Da ¨ f b nur die Werte 0 und 1

annimmt, ist f lokal konstant. Aber auf der zusammenh¨ angenden Mannigfaltigkeit X ist jede lokal konstante Funktion konstant. Das ist ein Widerspruch.

Die holomorphen Funktionen f

, . . . , f

seien auf einer offenen Teilmenge U ⊂ X definiert. Außerdem sei p ∈ U ein Punkt und (V, ψ) ein komplexes Koordinatensy- stem f¨ ur X in p. Die Abbildung f = (f

, . . . , f

) : U → C

ist holomorph, und wir definieren

J

(p; ψ) :=

∂ (f

◦ ψ

)

∂z

(ψ(p))

i = 1, . . . , m j = 1, . . . , n

.

Das ist so etwas wie die Jacobi-Matrix von f in p, aber diese Matrix h¨ angt vom Koordinatensystem ψ ab. Wegen

∂(f

◦ ψ

)

∂z

(ψ(p)) = ∂((f

◦ ϕ

) ◦ (ϕ ◦ ψ

))

∂z

(ψ(p))

=

n

X

k=1

∂(f

◦ ϕ

)

∂w

(ϕ(p)) ∂(w

◦ ϕ ◦ ψ

)

∂z

(ψ(p)), gilt:

J

(p; ψ) = J

(p; ϕ) · J

(ψ(p)).

Das zeigt:

rg

(f

, . . . , f

) := rg J

(p; ψ) ist von dem gew¨ ahlten Koordinatensystem unabh¨ angig.

Definition. Eine analytische Menge A ⊂ X heißt regul¨ ar (von Codimension d) in einem Punkt p ∈ A, wenn es eine offene Umgebung U = U (p) ⊂ X und holomorphe Funktionen f

, . . . , f

auf U gibt, so dass gilt:

1. A ∩ U = {q ∈ U : f

(q) = · · · = f

(q) = 0}.

2. rg

(f

, . . . , f

) = d.

Die Zahl n − d nennt man die Dimension von A in p.

Ist A in jedem Punkt regul¨ ar, so ist A eine komplexe Untermannigfaltigkeit.

4.7 Satz. Eine analytische Menge A ist genau dann regul¨ ar von der Codimension d in p ∈ A, wenn es ein komplexes Koordinatensystem (U, ϕ) f¨ ur X in p gibt, so dass gilt: ϕ(U ) = B ⊂ C

und ϕ(U ∩ A) = {w ∈ B : w

= · · · = w

= 0}.

Beweis: Sei (U, ψ) ein beliebiges Koordinatensystem in p und W := ψ(U ), so ist

A e := ψ(A ∩U ) eine analytische Teilmenge von W , die regul¨ ar von der Codimension

d in z

:= ψ(p) ist, und es gibt eine biholomorphe Abbildung f von W auf eine

offene Umgebung B = B(0) ⊂ C

mit f (z

) = 0 und f ( A) = e {w : w

= · · · =

w

= 0}. Wir setzen ϕ := f ◦ ψ.

Beispiel.

Sei F : X → Y eine holomorphe Abbildung von einer n-dimensionalen Man- nigfaltigkeit in eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann betrachten wir

G

:= {(x, y) ∈ X × Y : y = F (x)}, den Graphen von F .

Sei p

∈ X ein Punkt und q

:= F (p

) ∈ Y . Wir w¨ ahlen Koordinatensysteme (U, ϕ) f¨ ur X in p

und (V, ψ) f¨ ur Y in q

, mit F (U) ⊂ V . Dann ist (U ×V, ϕ×ψ) ein Koordinatensystem f¨ ur X × Y in (p

, q

) ∈ G

. Schreiben wir ψ ◦ F = (f

, . . . , f

), so erhalten wir

G

∩ (U × V ) = {(ϕ × ψ)

(z, w) : f

◦ ϕ

(z) − w

= 0 f¨ ur i = 1, . . . , m}.

Also wird G

lokal durch die Funktionen g

(p, q) := f

(p)− w

◦ ψ(q) definiert, f¨ ur i = 1, . . . , m. Wegen rg

(g

, . . . , g

) = m ist G

eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit.

Die Diagonale ∆

⊂ X × X ist ein Spezialfall, gegeben als Graph der Iden- tit¨ at: ∆

= {(x, x

) ∈ X × X : x = x

}.

Beispiele:

A) Tori.

Sei {ω

, . . . , ω

} eine reelle Basis des C

. Dann ist Γ := Z ω

+ · · · + Z ω

eine diskrete Untergruppe der additiven Gruppe C

. Man spricht auch von einem Gitter.

Zwei Punkte z, w ∈ C

heißen ¨ aquivalent (bzgl. Γ), falls z − w ∈ Γ ist. Die Menge T

:= C

/Γ aller ¨ Aquivalenzklassen nennt man einen n-dimensionalen komplexen Torus. π

: C

→ T

sei die kanonische Restklassen-Abbildung. Eine Menge U ⊂ T

heißt offen, falls π

(U ) eine offene Teilmenge des C

ist.

4.8 Satz. Die so eingef¨ uhrten

” offenen Mengen“ in T

bilden eine Hausdorff- Topologie. Es handelt sich um die

” feinste“ Topologie, f¨ ur die π

stetig wird.

Beweis: Die Eigenschaften einer Topologie sind leicht nachzurechnen. Damit π

stetig wird, muss π

(U ) f¨ ur jede offene Menge U ⊂ T

offen in C

sein. Es bleibt die Hausdorff-Eigenschaft zu zeigen:

Zun¨ achst stellen wir fest: Ist U ⊂ C

offen, so ist auch

π

π

(U ) = {z : ∃ w ∈ U mit z − w ∈ Γ} = [

ω∈Γ

(ω + U )

offen. Also ist π

(U ) offen in T

.

Gegeben seien nun zwei Punkte x

= π

(z

) 6= π

(z

) = x

. Dann gibt es ein w ∈ Γ und reelle Zahlen 0 ≤ t

< 1, die nicht alle verschwinden, so dass gilt:

z

− z

=

2n

X

ν=1

t

ω

+ w.

O.B.d.A. sei t

6= 0. Dann gibt es ein ε > 0, so dass 2ε < t

< 1 − 2ε und U := {u =

2n

X

ν=1

u

ω

: |u

| < ε f¨ ur alle ν }

eine offene Umgebung des Nullpunktes im C

ist. So erh¨ alt man Umgebungen U

:= z

+ U von z

und U

:= z

+ U von z

im C

. Wir nehmen an, es ist π

(U

) ∩π

(U

) 6= ∅ . Dann gibt es Punkte z

= z

+u

∈ U

und z

= z

+ u

∈ U

mit z

− z

∈ Γ und u

, u

∈ U , und es folgt:

z

− z

= (z

− z

) + (z

− z

) − (z

− z

)

= (z

− z

) + u

− u

,

also

X

ν=1

t

ω

+ (u

− u

) ∈ Γ.

Das ist aber unm¨ oglich, denn der Koeffizient t

+ u

− u

bei ω

liegt in (ε, 1 − ε), der auf der rechten Seite muss aber ganzzahlig sein.

Also ist π

(U

) ∩ π

(U

) = ∅ .

Wir haben auch gesehen, dass π

eine offene Abbildung ist. Weil T

das Bild der kompakten Menge

P := {z =

2n

X

ν=1

t

ω

: 0 ≤ t

≤ 1 f¨ ur alle ν}

ist, folgt, dass T

kompakt ist.

Die Abbildung

t

ω

+ · · · + t

ω

7→ (e

, . . . , e

) induziert einen Hom¨ oomorphismus T

→ S

× · · · × S

| {z }

2nmal

. Wir f¨ uhren jetzt komplexe Koordinaten ein. F¨ ur z

∈ C

sei

P

:= {z = z

+

2n

X

ν=1

t

ω

: |t

| < 1

2 f¨ ur alle ν } und U

:= π

(P

).

Dann ist π

|

0

: P

→ U

ein Hom¨ oomorphismus und damit ϕ

:= (π

|

0

)

: P

→ U

eine komplexe Karte.

Ist w = ϕ

◦ ϕ

(z), so ist π

(w) = π

(z), und es gibt ganze Zahlen k

(z), so dass f¨ ur ν = 1, . . . , 2n gilt:

w = z +

2n

X

ν=1

k

(z)ω

.

Da w stetig von z abh¨ angt, sind die Funktionen k

lokal-konstant. Also ist ϕ

◦ ϕ

sogar holomorph, und wir erhalten auf diesem Wege eine komplexe Struktur auf T

. Damit ist T

eine n-dimensionale (kompakte) komplexe Mannigfaltigkeit, und aus der Definition der Karten folgt, dass π

eine holomorphe Abbildung ist.

B) Projektive R¨ aume.

In X := C

\ {0} betrachten wir die ¨ Aquivalenzrelation z ∼ w : ⇐⇒ ∃ λ ∈ C

mit w = λz.

Die ¨ Aquivalenzklasse von z ist die Menge L

= C z \ {0}, die komplexe Gerade durch z und 0 ohne Nullpunkt.

Definition. Die Menge P

:= ( C

\ {0})/ ∼ der ¨ Aquivalenzklassen nennt man den n-dimensionalen komplex-projektiven Raum.

π : C

\ {0} → P

sei die kanonische Projektion, mit π(z) := L

. Sind zwei Punkte z = (z

, . . . , z

), w = (w

, . . . , w

) gegeben, so gilt:

π(z) = π(w) ⇐⇒ ∃ λ ∈ C

mit w

= λz

f¨ ur i = 0, . . . , n

⇐⇒ w

w

= z

z

f¨ ur alle i, j f¨ ur die die Br¨ uche definiert sind.

Also bestimmt π(z) zwar nicht die Eintr¨ age z

, wohl aber die Verh¨ altnisse z

: z

. Deshalb bezeichnen wir den Punkt x = π(z

, . . . , z

) mit (z

: . . . : z

) und nennen die Zahlen z

, . . . , z

die homogenen Koordinaten von x. Sind z

, . . . , z

homogene Koordinaten von x, so auch λz

, . . . , λz

f¨ ur jedes λ ∈ C

.

Ist W ⊂ X = C

\ {0} offen, so ist π

(π(W )) = S

λ∈C^∗

λ · W ebenfalls offen in X. Wir sagen, eine Menge U ⊂ P

ist offen, falls π

(U ) offen in X ist.

Auf diese Weise versehen wir den P

mit der feinsten Topologie, f¨ ur die π stetig wird. Offensichtlich ist π auch offen. Wir zeigen, dass P

ein Hausdorff-Raum ist.

Dazu seien z, w ∈ X gegeben, mit L

6= L

. Dann sind z

:= z

kzk und w

:= w kwk

verschiedene Punkte von S

= {x ∈ R

= C

: kxk = 1}. Also k¨ onnen

wir ein ε > 0 finden, so dass B

(z

) ∩ B

(w

) = ∅ ist. Aber dann sind U :=

π(B

(z

)) und V := π(B

(w

)) disjunkte offene Umgebungen von π(z) bzw. π(w).

Da π|

: S

→ P

surjektiv ist, folgt auch sogleich, dass der P

kompakt ist.

Als n¨ achstes suchen wir nach komplexen Karten. Die Mengen

U b

:= {z = (z

, . . . , z

) ∈ C

\ {0} : z

6= 0}, i = 0, . . . , n,

sind offen, und die Mengen U

:= π( U b

) bilden eine offene ¨ Uberdeckung des P

. Außerdem ist jeweils

W

:= {z = (z

, . . . , z

) ∈ C

: z

= 1}

eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von U b

. Offensichtlich ist π(W

) = U

, und π|

: W

→ U

ist sogar bijektiv, mit

(π|

)

(z

: . . . : z

) = z

z

, . . . , z

z

, 1, z

z

, . . . , z

z

.

Definieren wir α

: U b

→ C

durch

α

(z

, . . . , z

) := 1

z

(z

, . . . , z b

, . . . , z

),

so ist das eine holomorphe Abbildung, die W

sogar biholomorph auf den C

ab- bildet, mit

(α

|

)

(w

, . . . , w

) = (w

, . . . , w

, 1, w

, . . . , w

).

Lokale Koordinaten auf U

erhalten wir nun durch die topologische Abbildung ϕ

:= α

◦ (π|

)

: U

→ C

mit

ϕ

(z

: . . . : z

) = z

z

, . . . , z b

z

, . . . , z

z

. Ein Kartenwechsel ist (etwa f¨ ur i < j) gegeben durch

ϕ

◦ ϕ

(w

, . . . , w

) = ϕ

◦ π ◦ (α

|

)

(w

, . . . , w

)

= ϕ

(w

, . . . , w

, 1, w

, . . . , w

)

= w

w

, . . . , w d

w

, . . . , w

w

, 1

w

, . . . , w

w

. Das ist eine rationale (und damit holomorphe) Abbildung. Also sind die Karten holomorph vertr¨ aglich.

Die Kartenumgebung

U

= {(z

: . . . : z

) ∈ P

: z

6= 0} = {(1 : t

: . . . : t

) : (t

, . . . , t

) ∈ C

}

ist auf kanonische Weise biholomorph ¨ aquivalent zum C

. Wir nennen U

einen affinen Teil des P

. Wenn wir U

aus dem P

entfernen, erhalten wir die sogenannte (projektive) Hyperebene im Unendlichen

H

= {(z

: . . . : z

) ∈ P

: z

= 0}

= {(0 : t

: . . . : t

) : (t

, . . . , t

) ∈ C

\ {0} }.

Sie hat die Struktur eines (n − 1)-dimensionalen komplex-projektiven Raumes.

Setzen wir diesen Prozess fort, so erhalten wir

P

= C

∪ P

, P

= C

∪ P

,

.. .

P

= C

∪ P

.

Wir m¨ ussen nur noch P

= {(z

: z

) : (z

, z

) ∈ C

\ {0} } studieren. Aber das ist die Vereinigung von C = {(1 : t) : t ∈ C } mit ∞ := (0 : 1), wenn wir t = z

/z

setzen. In einer Umgebung von ∞ haben wir die komplexen Koordinaten z

/z

= 1/t. Also ist P

= C = C ∪ {∞} die bereits bekannte Riemann’sche Zahlenkugel.

Die Hyperebene H

ist eine regul¨ are analytische analytische Menge der Codimen- sion 1, gegeben durch

H

∩ U

= n

(z

: . . . : z

) ∈ U

: z

z

= 0 o

. Daher ist U

dicht im P

.

Im ¨ Ubrigen funktioniert alles genauso, wenn man den affinen Teil U

und die Hy-

perebene H

:= {π(z) ∈ P

: z

= 0} benutzt.