Analysis 1 12. Tutorium

Analysis 1 12. Tutorium

Prof. Dr. B. Kümmerer Fachbereich Mathematik

W. Reußwig, K. Schwieger 26. Januar 2011

Aufgabe 1 Eine Charakterisierung von Häufungspunkten

Sei(X,d)ein metrischer Raum. Zeigen Sie: Für eine Folge(x_n)n inX sind äquivalent:

a) Der Punkt x∈ M ist ein Häufungspunkt der Folge(x_n)n∈N. b) (∀ε >0)(∀n∈N)(∃m∈N, m>n):d(x_m,x)< ε.

Aufgabe 2 Limes Superior und Limes Inferior

Sei(x_n)n∈N eine beschränkte reelle Folge. Zeigen Sie, dasslim sup_n→∞x_n der größte Häufungs- punkt undlim inf_n→∞x_n der kleinste Häufungspunkt der Folge ist.

Aufgabe 3 Konstruktion vonR

Wir wollen in dieser Aufgabe einige Details der Konstruktion der reellen Zahlen aus den ratio- nalen Zahlen ausarbeiten. Welche und wie ausführlich Sie die hier geforderten Beweise führen, bleibt Ihnen überlassen.

Wir betrachten die Menge C aller Cauchyfolgen(a_n)n mit Werten in Q. Zeigen Sie analog zu den Beweisen für konvergente Folgen:

a) Jede Cauchyfolge ist beschränkt.

b) Für zwei Cauchyfolgen(a_n)nund(b_n)n ist auch die Summe(a_n+b_n)n eine Cauchyfolge.

c) Für zwei Cauchyfolgen(a_n)nund(b_n)n ist auch das Produkt(a_n·b_n)neine Cauchyfolge.

d) Sei(a_n)n eine Cauchyfolge, für dienichtlim_na_n=0gilt.

1. Es gibt eine KonstanteC >0, so dass entwedera_n≥Cfür fast allen∈Nodera_n≤ −C für fast allen∈Ngilt.

Insbesondere sind fast alle Folgenglieder von Null verschieden mit a_n

≥C.

2. Die Folge(1/a_n)n ist eine Cauchyfolge.

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Insgesammt haben wir gezeigt, dass die MengeC einen Ring bildet. Dieser Ring ist kommutativ mit Eins, allerdings kein Körper. (Warum?) Außerdem können wir jede rationale Zahl q ∈ Q mit der konstanten Folgen (q)n ∈ C identifizieren. In diesem Sinne enthält C den Körper der rationalen Zahlen.

Wir nennen zwei rationale Cauchyfolgen(a_n)nund(b_n)n äquivalent, fallslim_n(a_n−b_n) =0gilt.

Wir schreiben in diesem Fall auch(a_n)n∼(b_n)n. Zeigen Sie:

e) ∼ist eine Äquivalenzrelaion.

Wir bezeichnen mitK:=C/∼ die Menge aller Äquivalenzklassen bzgl. ∼. Für die Äqui- valenzklasse eines Elementes(a_n)n∈ C schreiben wir[(a_n)n].

f) Die folgenden Operationen sind auf dem QuotientenK=C/∼wohldefiniert:

[(a_n)n] + [(b_n)n]:= [(a_n+b_n)n], [(a_n)n]·[(b_n)n]:= [(a_n·b_n)].

Wir haben damit gezeigt, dass auch K einen kommutativen Ring mit Eins bildet. Auch dieser Ring enthält den Körper der rationalen Zahlen, indem wirq∈Qmit der Klasse der konstanten Folge[(q)n]∈Kidentifizieren.

Die Konstruktion ist jetzt abgeschlossen. Es bleibt zu zeigen, dass K tatsächlich eine Menge reeller Zahlen ist.

g) Welche konkreten Aussagen müssen Sie jetzt noch zeigen.

h) Führen Sie den Beweis mit Hilfe Ihrer Aufzeichnungen aus der Vorlesung zu Ende.

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