3 Die Exponentialfunktion

1 Grundlegende trigonometrische Funktionen

Die bekanntesten trigonometrischen Funktionen sind Sinus, Cosinus und Tangens. Ihre Definition wollen wir uns im Folgenden anschauen:

Definition 1.1. Sinus:Der Sinus vonφ,sin(φ)geschrieben, ist definiert als die y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis, dessen Verbindungsstrecke zum Ursprung mit der x-Achse den Winkel φ (im Bogenmaß gemessen!) einschließt.

In dieser (anschaulichen) Definition ist der Sinus zunächst nur für Werte zwischen0 und 2π definiert. Wir erhalten eine Funktion auf ganz R, wenn wir obige Definition 2π−periodisch fortsetzen.

Bemerkung 1.2. • Letzteres ergibt Sinn, da - wenn wir einmal ganz um den Einheitskreis laufen (uns also um 2πfortbewegen) - wieder denselben Winkel mit derx−Achse einschließen.

• Für Winkel φ mit 0 < φ < ^π₂ kann sin(φ) auch interpretiert werden als das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit einem Innenwinkel der Größeφ.

Definition 1.3. Cosinus Der Cosinus von φ,cos(φ) geschrieben, wird analog zum Sinus definiert mit dem Unter- schied, dass wir nun die entsprechende x-Koordinate betrachten. Er wird ebenfalls 2π-periodisch nach ganzR fortge- setzt.

Siehe nachstehendes Bild für eine erste Anschauung vonsinundcos(links zur Definition, rechts der Graph vonsin undcos):

Sinus und Cosinus sind elementare Funktionen, sowohl für die Physik als auch für die Mathematik. Nahezu überall, wo Winkel auftauchen, aber auch z.B., wenn Schwingungen untersucht werden, werden sie (oder verwandte Funktionen, s.u. für Näheres) benötigt.

Für Potenzen trigonometrischer Funktionen gibt es eine leicht modifizierte Schreibweise im Vergleich zu anderen Funktionen:

Bemerkung 1.4. sin²(φ) := sin(φ)², cos²(φ) := cos(φ)², usw..

Sinus und Cosinus hängen sehr eng zusammen. Einer dieser Zusammenhänge ist fogender:

sin(φ) = cos φ−π

2

, cos(φ) = cos φ+π

2

.

Der zweite wichtige Zusammenhang zwischen Sinus und Cosinus ist im Endeffekt eine Folgerung aus dem Satz des Pythagoras, nämlich

Lemma 1.5. Für alle φ∈Rgilt:

sin²(φ) + cos²(φ) = 1

Wichtig zu kennen, sind die Nullstellen von Sinus und Cosinus, sowie die Stellen, an denen sie ihr Maximum und Minimum annehmen. All das lässt sich aus der anschaulichen Definition wie wir sie zuvor gegeben haben, recht einfach ablesen (im Seminar wird etwas näher darauf eingegangen):

sin(φ) = 0⇔ φ=k·πfür eink∈Z, cos(φ) = 0⇔ φ= π

2 +k·πfür eink∈Z, sin(φ)maximal ⇔ φ=π

2 + 2k·πfür eink∈Z, cos(φ)maximal ⇔ φ= 2k·πfür eink∈Z,

sin(φ)minimal ⇔ φ=π

2 −2k·πfür eink∈Z, cos(φ)minimal ⇔ φ=π+ 2k·πfür eink∈Z Ebenfalls von Bedeutung ist der Tangens:

Definition 1.6. tan(φ) :=_cos(φ)^sin(φ).

Allerdings muss man hierbei beachten, dass er an den Stellen nicht definiert ist, an denen der Cosinus 0 wird (sonst müssten wir ja durch 0 teilen), d.h. er ist für alle ungeraden Vielfachen vonπnicht definiert! Betrachte für die Anschauung den Graphen der Tangens-Funktion:

2 Umkehrfunktionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen

2.1 Arcus Sinus, Arcus Cosinus

Wie wir bereits gesehen haben, sind sin,cos, periodische Funktionen, d.h. jeder Bildpunkt wird mehr als einmal getroffen (sogar abzählbar unendlich oft, um genau zu sein). Darum kann es auch keine Umkehrabbildung der jeweiligen Funktion geben, die am Ende wieder ganzRtrifft.

Dieses Problem wird dadurch umgangen, dass man für eine mögliche Umkehrfunktion jeweils den Bildbereich ent- sprechend anpasst: So sehen wir z.B., dass die Einschränkung vonsin auf [−π/2, π/2]bijektiv (d.h. 1:1) auf [−1,1]

abgebildet wird, ergo existiert eine Umkehrfunktion des Sinus von [−1,1] → [−π, π]. Für den Cosinus kann man selbiges Spiel ebenfalls durchführen (allerdings mit[0, π] anstelle von[−π/2, π/2], da Sinus und Cosinus ja wie oben

erwähnt umπ/2 verschoben sind). Diese Umkehrfunktion des Sinus bezeichnet man mitarcsin, diejenige des Cosinus mitarccos(das ’arc’ steht für ’arcus’).

2.2 Arcus Tangens

Beim Tangens schaut es leicht anders mit der Umkehrfunktion aus als bei Sinus und Cosinus: Der Tangens bildet nämlich das Intervall(−π/2, π/2)bijektiv auf ganzRab, womit eine Umkehrfunktion (da auch der Tangens periodisch ist, können wir auch andere Umkehrfunktionen finden!) von R nach (−π/2, π/2) abbildet. Diese wird mit arctan bezeichnet.

3 Die Exponentialfunktion

Die Eulerzahl e ≈ 2,71828 spielt in jeglichen Naturwissenschaften eine wichtige Rolle, da mit ihr und der - gleich definierten - Exponentialfunktion viele Vorgänge in der Natur beschrieben werden können, wie z.B. radioaktiver Zerfall.

Pro forma sei hier eine (der vielen äquivalenten) Definitionen vonegegeben:

Definition 3.1.

e:=

∞

X

n=0

1 n!

Darauf basierend ist die Definition der Exponentialfunktionexpnicht mehr schwierig:

Definition 3.2.

exp : R→R>0, x7→exp(x) :=e^x

Die grundlegenden Rechenregeln für die Exponentialfunktion ergeben sich direkt aus denen für Potenzen.

Dass exp R bijektiv auf R>0 abbildet, soll an dieser Stelle nicht explizit gezeigt werden, jedoch stellen wir zwei Dinge fest:

• expwird niemals 0

• expbesitzt eine Umkehrfunktion, die vonR>0nach Rabbildet.

Definition 3.3. Diese Umkehrfunktion heißt natürlicher Logarithmus und wird mit ln bezeichnet, oftmals auch nur log.

Es gelten folgende Rechenregeln für den Logarithmus (Übungsaufgabe):

ln(x·y) = ln(x) + ln(y) ∀, x, y∈R>0, ln(x^y) =y·ln(x) ∀x∈R>0, y∈R

Wichtig zu kennen sind nicht nur die Definitionen von expund ln, sondern auch, wie die beiden Funktionsgraphen grob aussehen (linksexp, rechts ln):

4 Hyperbelfunktionen

Mit der Exponentialfunktion ausgerüstet, können wir uns nun den Hyperbelfunktionen widmen; sie sind wie folgt definiert:

Definition 4.1. • Der Sinus hyperbolicus,sinhgenannt, ist die Abbildung sinh :R→R, x7→ e^x−e^−x

2 .

• Der Conus hyperbolicus,coshgenannt, ist die Abbildung

cosh :R→R, x7→e^x+e^−x

2 .

• Der Tangens hyperbolicus,tanhgenannt, ist die Abbildung tanh :R→R, x7→ sinh(x)

cosh(x).

Man beachte, dasstanhin analoger Weise zutandefiniert ist (als Quotient aus Sinus und Cosinus (bzw. jeweils die hyperbolische Variante davon)) und dass der Tangens wie zuvor gesehen, nicht auf ganz Rdefiniert ist, jedoch ist es der Tangens hyperbolicus (Übungsaufgabe)!

Die Graphen der Hyperbelfunktionen in einer Umgebung von 0 sind in einem untenstehenden Bild eingezeichnet.

Für die Hyperbelfunktionen gilt eine zu Lemma 1.5 analoge Aussage:

Lemma 4.2. Für alle x∈R gilt:

cosh²(x)−sinh²(x) = 1

Beweis. Übungsaufgabe. Diese Formel ist es, die nun auch den Namensursprung der Hyperbelfunktionen liefert: Es parametrisierenx= cosh(t), y= sinh(t)die Einheitshyperbelx²−y²= 1.

4.1 Geometrische Interpretation der Hyperbelfunktionen

Was die Hyperbelfunktionen geometrisch tun, kann sehr schön zusammengefasst werden: Sei A die Fläche, die von einer Ursprungsgeraden und ihrem Spiegelbild an derx-Achse sowie der Hyperbel eingeschlossen wird.

Dann ist sinh(A) die (positive) y-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Hyperbel und cosh(A) die dazugehörigex-Koordinate;tanh(A)ist diey-Koordinate der Geraden beix= 1, d. h. die Steigung der Geraden.

4.2 Area Hyperbelfunktionen

In Analogon zu den Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen, bezeichnet man die der hyperbolischen Funktionen mit arsinh,arcosh bzw. mit artanh. Über die Definitionsbereiche muss man sich auch hier Gedanken machen, da zumindest der cosh eine gerade Funktion ist, alsocosh(−x) = cosh(x), womit eine Umkehrfunktion von coshsicher nicht ganzRtreffen kann!

Wir greifen etwas vorweg und geben die jeweiligen Umkehrfunktionen samt Definitionsbereichen an:

Lemma 4.3. • Der Area Sinus Hyperbolicusist definiert als arsinh:R→R, x7→ln(x+p

x²+ 1)

• Der Area Cosinus Hyperbolicusist definiert als

arcosh:R≥1→R≥0, x7→ln(x+p x²−1)

• Der Area Tangens Hyperbolicusist definiert als

artanh: (−1,1)→R, x7→ 1 2ln

1 +x 1−x

5 Partialbruchzerlegung gebrochen-rationaler Funktionen

Von den Definitionen spezieller Funktionen losgelöst, widmen wir uns nun dem Umgang mit gebrochen-rationalen Funktionen, d.h. Funktionen, die geschrieben werden können als der Quotient zweier Polynome, z.B.

f(x) = x³+ 5 x²−7x+ 12

wäre eine solche.

Wir sagen, eine gebrochen-rationale Funktionf(x) = ^p(x)_q(x) (ohne Einschränkung seidegp <degq, ansonsten führe Polynomdivision durch) besitzt eine Partialbruchzerlegung, wenn wirf schreiben können als Summe von Funktionen der Form

a (x−x0)^k,

wobeia, x₀∈R(eigentlich∈C, aber die komplexen Zahlen wollen wir hier nicht einführen, das sprengt den Rahmen) undk∈N.

Natürlich stellt sich die Frage, wozu das benötigt wird. Die Antwort darauf ist recht einfach: Eine in allgemeiner Form vorliegende gebrochen-rationale Funktion ist nicht unbedingt sehr schön zu handhaben, z.B. können wir sie oftmals nicht auf Anhieb integrieren (s. Kurs von Levin für eine Einführung ins Integrieren), jedoch einfache Funktionen

a

(x−x0)^k wie oben schon. Finden wir also eine Partialbruchzerlegung, so können wir die (komplizierte) gebrochen- rationale Funktion sehr einfach integrieren und dadurch eventuell Aufgaben lösen!

Es wäre schön, wenn es für jede gebrochen-rationale Funktion eine Partialbruchzerlegung gäbe und erfreulicherweise gibt es die auch (zumindest über den komplexen Zahlen; arbeiten wir über den reellen Zahlen nur, müssen die Nullstellen des Nennerpolynoms allesamt rational sein!):

Satz 5.1. Sei f(x) = ^p(x)_q(x) mitdegp < degq eine gebrochen-rationale Funktion, wobei das Nennerpolynom wie folgt in Linearfaktoren zerfalle:

q(x) = (x−x₁)^k1·...·(x−x_r)^kr Dann existierena_1,1, ..., a_1,k1, ..., a_r,1, ..., a_r,kr ∈C(bzw.∈R), sodass

f(x) =

r

X

j=1 k_j

X

l=1

aj,l

(x−x_j)^l, womit alsof eine Partialbruchzerlegung besitzt.

Beweis. Frimelei, die im Endeffekt über reverse engineering und anschließendem Koeffizientenvergleich läuft. Wer ambitioniert ist und nicht schlafen kann, darf das gerne mal versuchen ;)

Beispiel 5.2. Sei f(x) = _x3−5x^x2+5x−1_2+7x−3 gegeben. Wir wollen die Partialbruchzerlegung berechnen und stellen dafür zunächst fest, dass das Nennerpolynom wie folgt zerfällt:

x³−5x²+ 7x−3 = (x−1)²(x−3) D.h. nach obigem Satz muss es nunA, B, C ∈Rgeben, sodass

f(x) = A

x−1 + B

(x−1)² + C x−3.

Betreiben wir reverse engineering, d.h. fangen von hinten an und arbeiten uns nach vorne durch, dann schreiben wir letzteren Ausdruck so, dass wir nur noch einen Bruch dastehen haben und müssen dann nur noch einen Koeffizienten- vergleich durchführen:

A

x−1 + B

(x−1)² + C

x−3 = A(x−1)(x−3) +B(x−3) +C(x−1)² x³−5x²+ 7x−3

=(A+C)x²(−4A+B−2C)x+ (3A−3B+C) x³−5x²+ 7x−3 .

Damit diesf(x)ergibt, müssen nun die Koeffizienten im Zähler übereinstimmen, was auf folgendes Gleichungssystem führt:

A+C= 1, −4A+B−2C= 5, 3A−3B+C=−1 Die eindeutige Lösung dieses LGS ist

A=−19

4 , B=−5

2, C= 23 4 , womit die gesucht Partailbruchzerlegung vonf gefunden wäre.

6 Vektoren

Vektoren sind sowohl in Mathematik als auch in der Physik elementare Objekte. Sie beschreiben nämlich Parallelver- schiebungen.

Definition 6.1. Der Vektor

→

AB beschreibt die Parallelverschiebung, die den PunktAauf den Punkt B abbildet.

Definition 6.2. Der Ortsvektor

→

OA beschreibt die Parallelverschiebung, die den Ursprung O auf den Punkt A abbildet.

Die Definition des Ortsvektors erlaubt es uns, Vektoren konkreter zu fassen: Wir identifizieren nämlich ab sofort den OrtsvektorOAmit den Koordinaten vonA, d.h. wir schreiben

→

OA=





 a₁

... a_n





,

wenn(a₁, ..., a_n)^t die Koordinaten vonAseien.

Führen wir zwei Parallelverschiebungen nacheinander aus, so ist das Resultat wiederum eine Parallelverschiebung.

Die Parallelverschiebung, dieOaufB abbildet, ist damit die gleiche wie die, die zunächstOauf Aund dannAaufB verschiebt, d.h.

→

OA+

→

AB=

→

OB Dies führt uns unter obiger Identifikation auf folgende Regel:

→

AB=





 b1

... b_n





−





 a1

... a_n







Definition 6.3. Dadurch motiviert definieren wir die Vektoradditionwie folgt:





 a₁

... a_n





+





 b₁

... b_n





:=





 a₁+b₁

... a_n+b_n







Möchten wir nun einen (Orts-)VektorOA^→ um ein skalares Vielfachesλ∈Rstrecken, dann landen wir (intuitiv) bei

→

OB, wobeiB sich dadurch ergibt, dass wir die Koordinaten vonAallesamt mitλmultiplizieren.

Definition 6.4. Dieses Konzept nennen wir skalare Multiplikationund geht formal wie folgt: Seien ein Vektor v= (v1, ..., vn)^t und ein Skalarλ∈R gegeben. Dann definieren wir

λ·v:=





 λ·v₁

... λ·vn







.

Neben der skalaren Multiplikation gibt es noch andere ’Produkte’ von Vektoren:

Definition 6.5. Seien zwei Vektorena= (a1, ..., an)^t, b= (b1, ..., bn)^tgegeben. Dann definieren wir das Skalarpro- duktvonaund b via:

a·b:=a1b1+...+anbn

Mittels des Skalarprodukts lässt sich nun dieeuklidische Norm(oder Länge) eines Vektors definieren:

Definition 6.6. Ista ein Vektor, so wird die euklidische Normvona definiert als

||a||:=√ a·a=

q

a²₁+...+a²_n.

Das Skalarprodukt wird sehr oft benötigt und erhält seine Wichtigkeit u.a. darüber, dass es geometrisch (bis auf ein Vorzeichen) den Flächeninhalt des von den Vektoren aund b aufgespannten Parallelogramms ergibt, woraus mittels etwas Trigonometrie direkt auf die Größe des vonaundb eingeschlossenen Winkels geschlossen werden kann!

Speziell für den Fall n = 3 ist oftmals noch ein weiteres Produkt von Vektoren von Interesse, nämlich das sog.

Kreuzprodukt:

Definition 6.7. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a = (a₁, a₂, a₃)^t, b = (b₁, b₂, b₃)^t ist wiederum vektorwertig und ist definiert als

a×b:=





a₂b₃−a₃b₂ a₃b₁−a₁b₃ a₁b₂−a₂b₁





Quellen

[1]https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus [2]https://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_und_Kotangens [3]https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbelfunktion [4]https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung

Aufgaben

Aufgabe 1:Man lese aus der Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis folgende Identitäten ab:

(a) sin(−x) =−sin(x) ∀x∈R (b) cos(−x) = cos(x) ∀x∈R

(c) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) ∀x∈R

Aufgabe 2:Man zeige die trigonometrische Version des Satzes von Pythagoras:

sin²(x) + cos²(x) = 1 ∀x∈R

Aufgabe 3:Man beweise die im Skript/Kurs behaupteten Aussagen über Nullstellen, Maxima und Minima von Sinus bzw. Cosinus.

Tipp: Man verwende die Definition am Einheitskreis, sowie die2π-Periodizität.

Aufgabe 4:Zeige, dass für allex∈Rgilt:

(a) sinh(x) + cosh(x) =e^x (b) cosh(x)−sinh(x) =e^−x

(c) tanh(x) = √^sinh(x)

1+sinh²(x)

Aufgabe 5:(Für alle, die sich mit Differenzieren bereits auskennen) Berechne

(a) _dx^d sinh(x) (b) _dx^d cosh(x)

Ermittle außerdem den Lösungsraum der DGL

d²f dx² =f

und drücke eine Basis des Lösungsraums mittels hyperbolischen Funktionen aus.

Aufgabe 6: (Für alle, die bereits integrieren können) Zeige die Aussage darüber, wie der von einer Ursprungsge- rade und der Einheitsparabel eingeschlossene Fächeninhalt mit den Hyperbelfunktionen zusammenhängt, aus dem Skript/dem Kurs via Integration!

Aufgabe 7:Berechne die Partialbruchzerlegung von folgenden gebrochen-rationalen Funktionen:

(a) f(x) = _x2^2x₋₁

(b) g(x) = (x+2)(x−1)(x+3)^x2−5x+4

(c) h(x) = _(1−x)^xnn+1 für jedesn∈N.

Aufgabe 8:Berechne (a)



 3 2

−5



−3·



 0

−1 7





(b)



 7 1 15



·





−6 14

−4





(c) ||a|| mita=



 4 2

−3





(d)





−4 0 6



×



 4 3 0



