Mathematische Grundlagen der Informatik III, WS 2002/03 Aufgabenblatt 8

Mathematische Grundlagen der Informatik III, WS 2002/03 Aufgabenblatt 8

Aufgabe 1.

Sei : ^{3 2 2} 1

x

F y x y

z

= ∈ + = eine Zylinderfläche.

a) Finden Sie eine Parametrisierung ϕ: ² → ³mit ^{Imϕ ϕ:=}

( )

^{2 =Fund}

x 2 x

: Rang D 2

y ϕ y

∀ ∈ = .

b) Für p∈ ³ist ^{Tp 3:=}

{ }

^{p × 3}der Tangentialraum in p mit der in der Vorlesung

beschriebenen Vektorraumstruktur. Mit e p_i( ) : ( , )= p e_i erhält man die kanonische Basis von

3

Tp . Wiederum mit e bezeichnet man nun das Basis-Vektorfeld im_i ³, also die Abbildung

3

3 3 3 3 3

p p

T T

∈

→ = = × , welches jedem Punkt p den Vektor e p_i( )zuordnet. Jedes Vektorfeld ^X∈

( )

³ lässt sich also als Linearkombination X =λe₁+µe₂ +κe₃ schreiben, wobei λ µ κ, , Funktionen sind; in jedem Einzelpunkt p hat man

3

1 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _p

X p =λ p e p +µ p e p +κ p e p ∈T . Mittels des Skalarprodukts auf ³lässt sich für zwei Vektoren X p Y p( ), ( )∈T_p ³feststellen, ob sie aufeinander senkrecht stehen.

Man sagt, zwei Vektorfelder X,Y stehen senkrecht aufeinander, wenn dies für alle beteiligten Vektoren X p Y p( ), ( )gilt.

Ist ⁰

0

, x

p F p

ϕ y

∈ = , so ist der Tangentialraum T F_p definiert als der 2-dimensionale Unter-

raum von T_p ³, der von den Vektoren ^{1 0} ₁ ^{2 0} ₂ ^{3 0} ₃

0 0 0

( ) ( ) ( )

x x x

e p e p e p

y y y

x x x

ϕ

ϕ ϕ ∂

∂ +∂ +

∂ ∂ ∂ und

0 0 3 0

1 2

1 2 3

0 0 0

( ) ( ) ( )

x x x

e p e p e p

y y y

y y y

ϕ ϕ ^∂ϕ

∂ +∂ +

∂ ∂ ∂ aufgespannt wird.

Man finde nun drei Vektorfelder ^{X Y Z, , ∈}

( )

³ , die in jedem Punkt aufeinander senkrecht stehen und für die außerdem gilt: ∀ ∈p F X p Y p: ( ), ( )∈T F_p . (Offenbar durchdringt dann das Vektorfeld Z die Zylinderfläche senkrecht.)

Hinweis: die Aufgabe ist sehr einfach (keine Ironie!) Es geht lediglich darum, sich durch die Begriffe hindurchzukämpfen.

Aufgabe 2.

a) Man finde eine Parametrisierung des Kreises C mit Radius 1, der im ³ in einer Ebene liegt, die den Punkt

0 0 1

enthält und die auf dem Vektor 1 1 1

senkrecht steht. Gesucht ist also z.B. eine Abbildung ^{c: 0, 2}

[

^π

]

^{→ 3mit Im( )c =Cund ∀ ∈t}

[

^{0, 2π}

]

^{: '( )c t ≠0.}

b) Es sei eine Einsform gegeben durch ω =xdx+ydy+zdz. Das Kurvenintegral

Cω ^{ist mit} Hilfe der obigen Parametrisierung definiert durch

( )

2 2

1 1 1 1 1 1

0 0

( ( ))( '( ))c t c t dt c t c t( ) '( ) c t c t( ) '( ) c t c t( ) '( ) dt

π π

ω = + + .

Man zeige, dass 0

Cω = .

Aufgabe 3.

Sei ^e1=

(

^{1, 0, 0 ,}

)

^{e2 =}

(

^{0,1, 0 ,}

)

^{e3 =}

(

^{0, 0,1}

)

die kanonische Basis des

( )

^{3 *}. Ein Element von

( ) ( )

^{* *}

1 3 3

Λ := ist also lediglich ein Zeilenvektor

(

^{λ λ λ1, 2, 3}

)

. Das äußere Produkt λ µ∧ zweier solcher Vektoren ^{λ µ, ∈Λ1}

( )

^{3 *}ist definiert als diejenige alternierende Bilinearform

3 3

ϕ: × → , für die gilt: ^{( , ) 1}

(

^{( ) ( ) ( ) ( )}

)

x y 2 x y y x

ϕ = λ µ −λ µ .

Man rechne jetzt für ^λ=

(

^{λ λ λ1, 2, 3}

)

^{=λ1e1+λ2e2+λ3e3, µ =}

(

^{µ µ µ1, 2, 3}

)

^{=µ1e1+µ2e2+µ3e3}

nach, dass λ µ∧ =(λ µ λ µ_{1 2}− _{2 1})e¹∧ −e² (λ µ λ µ_{1 3}− _{3 1})e¹∧ +e³ (λ µ λ µ_{2 3}− _{3 2})e²∧e³, indem man zeigt, dass auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Bilinearform steht. (Man zeigt, dass zwei Bilinearformen ϕ ψ, auf ³gleich sind, indem man zeigt: ∀x y, ∈ ³: ( , )ϕ x y =ψ( , )x y )