Hauptseminar im WS 2002/03:Hauptseminar im WS 2002/03:QuantencomputingQuantencomputing

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Hauptseminar im WS 2002/03:

Quantencomputing Quantencomputing

Shors Algorithmus und der Shors Algorithmus und der

Algorithmus von Kitaev Algorithmus von Kitaev

Sebastian Pohle Sebastian Pohle

Fakultät für Informatik - Technische Universität München

Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ^r ^x ^N

isk

u r^r ^k

k

s 2 mod

1 ¹exp

^0

 



 

(2)

23.01.2003 Shors Algorithmus und der Algorithmus von Kitaev - Ha uptseminar Quantum Computing LEA TUM WS 02/03

2

Konzeption

• In letzten Vortrag bereits Shors Algorithmus vorgestellt

• Algorithmus von Kitaev ist eine Verallgemeinerung verschiedener Quantenalgorithmen

• Basierend auf Quantenfouriertransformation

• Vorgehensweise: Von einfachen Verfahren zu komplizierteren Algorithmen

 Detaillierte Beschreibung

 … Zwischenrufe während des Vortrages sind erbeten …

(3)

Gliederung

• 1. Einführung

 Rechenbasis und verwendete Notationen

• 2. Einfache Quantenalgorithmen

 Deutschs XOR-Problem

 Algorithmus von Deutsch und Jozsa

 Algorithmus von Simon

• 3. Fouriertransformation

 DFT (Diskrete Fouriertransformation)

 QFT (Quantenfouriertransformation)

• 4. Phasenabschätzung / Phasenmessung

• 5. Algorithmus von Kitaev

 Faktorisierung

 Bestimmung der Ordnung

 Finden versteckter Untergruppen

 Abelian Stabilizer Problem (ASP)

• 6. Einige Verfahren

 RSA

 Kettenbruchzerlegung

(4)

4

1. Einführung

Rechenbasis und verwendete Notationen

• Kontrollierter Unitärer Operator U (C(U))

• B = {0,1}

• als Qubits { |0>, |1> }

• B

ⁿ

= { |0>, |1> }

t U c t

c  ^c













d c

b a 0 0

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

U

(5)

1. Einführung

Rechenbasis und verwendete Notationen

• Duale Basis { |0‘>, |1‘> }

• Hadamard-Operator

• Rechenoperationen in B

ⁿ

  

⁰ ¹



2 1 1

und 1

2 0

0  1    



 





 

1 1

1 1 2 H 1

H

B y

x y

x y x

B y

x y

x y x

n n

n

















) (

) ,

, (

1 1





(6)

6

2. Einfache Quantenalgorithmen

• Codierung als Quantenalgorithmus bringt folgende Vorteile

 Nur eine Befragung durchgeführt

 Alle Antworten wollen wir gleichzeitig bekommen

 Aufgabe: Wir müssen alle Fragen gleichzeitig stellen…

(7)

2. Einfache Quantenalgorithmen

• Als Ausgangspunkt haben wir eine boolsche Funktion, die eine

boolsche Zeichenkette (= String) auf 0 oder 1 (einen boolschen Wert) abbildet

 als Black-Box betrachtet (bzw. als Orakel)

• Wir wissen über f

 entweder ist f ausgewogen, liefert also genau in der Hälfte der möglichen Fälle 0, in der anderen eine 1

 oder konstant.

• f darstellbar als unitäre Operation } 1 , 0 { }

1 , 0 {

: ⁿ 

f

n n

n

f x x x y x x x y f x x

U : ₁ ₂   ₁ ₂   ( ₁,,

(8)

8

2. Einfache Quantenalgorithmen

2.1 Deutschs XOR-Problem

• Sei zunächst n = 1. Also f : B  B.

• Wir legen an das Eingangsregister die Superposition

• und erhalten

• Es entstehen vier mögliche Ergebnisse. Dies schreiben wir in der dualen Basis.



⁰ ¹



2

1 

  

⁰ ⁰ ⁰ ¹



2 0 1

1 0

2 0

1       

(9)

2. Einfache Quantenalgorithmen

2.1 Deutschs XOR-Problem

• für eine konstante Funktion erhält man:

• für eine ausgewogene Funktion:

• messen 2. Qubit:

 Fall y=0: alle Informationen sind verloren

 Fall y=1: x enthät die Aussage ob f konstant oder ausgeglichen war

   

     

   











 



 





 



 







1 0 0

2 0 1 1

1 1 2 0

1

1 0 0

2 0 0 1

1 0

2 0 1 1

1 0

2 0

1 f f

   

     

   











 



 





 



 







1 1 0

2 0 0 1

1 1 2 0

1

1 1 0

2 0 1 1

1 0

2 0 1 1

1 0

2 0

1 f f

(10)

10

2. Einfache Quantenalgorithmen

2.1 Deutschs XOR-Problem

• Algorithmus liefert nur in 50% der Fälle ein sinnvolles Ergebnis

 Ergebnis ist jedoch immer korrekt

• Schaltkreis

• klassischer Algorithmus gleich schnell

0 x

0

x

0f(x)

U

_f

H 0

H H

(11)

2. Einfache Quantenalgorithmen

2.2 Algorithmus von Deutsch und Jozsa

• Nun sei n beliebig und f : B

ⁿ

 B

• Als Ausgangszustand für y verwenden wir den gemischten Zustand

• Das liefert

• Auffällig: das erste Qubit wird verändert

 

^{ }









Bn

x

f x

f 1

2 1

     

   











 



 0 1 wenn 1

0 wenn

1 1 0

0

: x f x

x f x x

U_f



⁰ ¹



2

1 

 

^{ } _



 



 



 



 



 



 



 



  2

1 1 0

2 1 2

1 0 2

: 1

n

n x B

x f n

B n x

f x x

U

(12)

12

2. Einfache Quantenalgorithmen

2.2 Algorithmus von Deutsch und Jozsa

• Wir müssen nun anhand der Messung von f unterscheiden, ob f konstant oder ausgewogen war.

 Führen wir nun wieder die Hadamard-Transformation durch

 letzterer Zustand steht für ein konstantes f (bis auf Vorzeichen)

 nur der Zustand

steht für eine konstante Funktion (Exponent=0)

 













n n

B n y n

B y

y x n n

y H

y x

H

2 0 1

0 :

2 1 : 1



0 0

 f H_n

(13)

2. Einfache Quantenalgorithmen

2.2 Algorithmus von Deutsch und Jozsa





 



 

 

 ^ ^

z x n

x f z

x z

2 1 0 2

) 1

( ⁽ ⁾

3

0

0 x

y

x

yf(x)

U

_f

H

H^n H^n

1

1 ₂ ₃

1

0 0

n











 



 





} 1 , 0 {

1 2

1 0 2

x n

x





 



 

 



x n

x

f x

2 1 0 2

) 1 ( ⁽ ⁾

2

) ( ,

,

: x y x y f x

U _f  

n z

z n

z x z x n

n n

n

n z z

x x

H 2

, , )

1 , (

, ^, ^, ¹

1 ¹

1



1 ^ ^

 

 ^

 



n z

z x

n z

x

H 2

) 1



( ^

 



(14)

14

2. Einfache Quantenalgorithmen

2.2 Algorithmus von Deutsch und Jozsa

• Auswertung

 Nur Nullen werden gemessen → Funktion war konstant





 



x

x f

n 1 ,konstant ausgewogen ,

) 0 1 2 (

1 ₍ ₎

(15)

2. Einfache Quantenalgorithmen

2.2 Algorithmus von Deutsch und Jozsa

• Klassischer Algorithmus

 Sobald zwei verschiedene

Antworten kommen, wissen wir, das die Funktion ausgewogen war

 Nach 2^n-1 + 1 gleichen Antworten ist klar, dass die Funktion

konstant war

 Außerdem

Irrtumswahrscheinlichkeit im 2.

Fall abschätzbar:

k n

n

k k k

p ^



 



 



 



 



 2 2

2 ¹ /

(16)

16

2. Einfache Quantenalgorithmen

2.3 Algorithmus von Simon

• Nun haben wir als Ausgangspunkt

 Es gibt eine Periode so dass für

 Wiederum kann das Orakel als Block befragt werden

• auch 2-in-1-Funktion genannt

• Aufgabe: Bestimmung der Periode a

n

n Z

Z

f : ₂  ₂ Zn

a ₂

0 

y x 

a y x y

f x

f ( )  ( )   

) ( ,

,

: x y x y f x

U _f  

(17)

2. Einfache Quantenalgorithmen

2.3 Algorithmus von Simon

• Rechenschritte

 Schritt 1. Wir beginnen mit dem Zustand wenden die Hn darauf an und erhalten

 Schritt 2. Uf wird angewendet

 Schritt 3. 2. Reg. messen, 1. Reg. beibehalten

 Schritt 4. H_n auf das 1. Register anwenden

 Schritt 5. Werr für y finden, so dass

 Schritt 6. Schritte wiederholen, bis ausreichens y da sind, um das lineare Gleichungssystem

zu lösen O(n²)

0 0



x x

 _

^x



^^

_

^x ^f

^{ }

^x

   

^ ^

  _



  





    



0 :

0

0 1

1



y B y

y

y x y

x y y

n

N r x

isk u r

U ^r ^k

k

s 2 mod

1 1exp 1 0

 

 _^ _^

 





 ₀

0 x

x

(18)

18

2. Einfache Quantenalgorithmen

2.3 Algorithmus von Simon

• Quantenalgorithmus

0 H^n H^n

0 yf(x)

(19)

2. Einfache Quantenalgorithmen

2.3 Algorithmus von Simon

• Klassischer Algorithmus

 Falls zwei Antworten gleich, so ist die Lösung a gefunden

 Ansonsten muss weiter probiert werden

 Erfolgswahrscheinlichkeit p_k  k² /2ⁿ

(20)

20

3. Fouriertransformation

3.1 Diskrete Fouriertransformation

• Fouriertransformation ist eine unitäre Operation

• Beweis für die DFT

(21)

3. Fouriertransformation

3.2 Quantenfouriertransformation

• direkte Übertragung der DFT auf Quantenzustände

• realisierbar mit Hadamard und Rotationsoperatoren



^



 ¹

0

/

1 ^N 2 j

N ijk j

k x e

y N ^

k N e

j ^N

j

N



^ ijk



 ¹

0

/

1 2_



 



  _i ^k

k e

R ₂ _/₂

0

0 1



    

2 /

. 0 2 .

0 2 .

0 2

1 2

1 0

1 , 0

,

2 1 1

n

j j j i j

j i j

i n

n n

n

n e e

j e j

 





  

  ^



 





 

1 1

1 1 2 H 1

(22)

22

3. Fouriertransformation

3.2 Quantenfouriertransformation

• Rechnung mit Quantenschaltkreis

 erstes Qubit

 nächstes Qubit…

 insgesamt:

 

n

j j j i

n j

i

j j e

n 



 2

. 0 2 2

/ 1

2 .

0 2 2

/ 1

1 2 0

1

1 2 0

1

2 1 1











   

  

n

j j i j

j j i

n j

j i j j i

j j e

e

j j e

e

n n

n



3 .

0 2 .

0 2 2

/ 2

3 2 . 0 . 2

0 2 2

/ 2

1 0

1 2 0

1

1 0

1 2 0

1

2 2

1 2 1



 











⁰ ¹



⁰ ¹

 

⁰ ¹



2

1 ₂ ₀_. ₂ ₀_. ₂ ₀_.

2 /

2 2

1j jn i j jn i jn

j i

n  e ^ ^ e ^ ^  e ^

(23)

3. Fouriertransformation

3.2 Quantenfouriertransformation

• 3-Qubit Quantenfouriertransformation

(24)

24

4. Phasenabschätzung / Phasenmessung

• Quantenschaltkreis für Phasenabschätzung

• zuerst Hadamard-Transformation

(25)

4. Phasenabschätzung / Phasenmessung

• Ergebnis in Fouriertbasis

 Rücktransformation

• Quantenschaltkreis für Phasenabschätzung



⁰ ¹



⁰ ¹

 

⁰ ¹



2

1 ₂ ₀_. ₂ ₀_. ₁ ₂ ₀_. ₁ ₂

2 /

t t

t

t i i

i

n  e ^ ^ e ^ ^^^  e ^ ^^ ^^

(26)

26

5. Algorithmus von Kitaev

• Allgemeines Problem:

 Finden der Periode einer Funktion

 entspricht einer Untergruppenstruktur

 Modul N für allgemeine abelsche Gruppen wählbar

• Beispiel: Natürliche Zahlen modulo N

(27)

5. Algorithmus von Kitaev

5.1 Eigenwertbestimmung

• Ordnungsbestimmung (hier am Beispiel von Shors Algorithmus

 Sei x^r = 1 (mod N)

) (mod N xy

y

U 

N r x

isk

u r ^k

r

k

s 2 mod

1 ¹exp



^0

 



 

N r x

isk u r

U ^r ^k

k

s 2 mod

1 ¹exp ₁

0

 



 _^ _^

 

us

r is



 2 exp

(28)

28

5. Algorithmus von Kitaev

5.1 Eigenwertbestimmung

• Quantenschaltkreis für Shors Algorithmus

(29)

5. Algorithmus von Kitaev

5.2 Anwendugnen

• Weitere Quantenalgorithmen:

 Auffinden versteckter Untergruppen

 Diskreter Logarithmus

 Abelian Stabilizer Problem

(30)

30

6. Einige Verfahren

6.1 RSA

• Vorbereitung:

 Wähle zwei große Primzahlen, p und q

 Berechne Produkt n=pq

 Wähle eine kleine zufällige ungerade Zahl e, die relativ prim zu φ(n)=(p- 1)(q-1) ist

 Berechne d, die multiplikative Inverse zu e modulo φ(n)

 Öffentlicher Schlüssel: P=(e,n)

 Privater Schlüssel S=(d,n)

• Verschlüsselung:

 E(M)=M^e (mod n)

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6. Einige Verfahren

6.1 RSA

• Entschlüsselung:

 E(M) → D(E(M)) = E(M)^d (mod n)

 D(E(M)) = E(M)^d (mod n)

= M^ed (mod n)

= M^1+kφ(n) (mod n)

= M M^kφ(n) (mod n)

= M (mod n)

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32

Vorschlag für Abschlussveranstaltung

• NMR-Quantencomputer

 Faktorisierung der Zahl 15

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Literatur und weitere Quellen

• Nielsen, Chuang - Quantum Computation and Quantum Information

• Werner: Quantencomputer – die neue Generation von Supercomputern

• Jozsa: Quantum Algorithms

• Bornemann: Vorlesung Quantencomputer

 Simulator unter www-m3.ma.tum.de/m3/teaching/QCOMP0102/

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