Mathematische Grundlagen der Informatik III, WS 2002/03 Aufgabenblatt 1

Mathematische Grundlagen der Informatik III, WS 2002/03 Aufgabenblatt 1

Es geht um die Begriffe „Differenzierbarkeit in einem Punkt“ und „Ableitung“ in einer und mehreren Veränderlichen, sowie um Berechnung partieller Ableitungen und deren

Zusammenfassung zur „totalen“ Ableitung.

Aufgabe 1.

Gegeben sei die Abbildung f : → , f x( )=x². Man zeige durch direktes Ausrechnen des Grenzwerts, dass

2

( ) (2)

'(2) lim 4

2

x

f x f

f ^→ x

= − =

− . Hinweis: Man muß also für eine beliebige Folge reeller Zahlen (x_n)→2, x_n ≠2zeigen, dass ( ) (2)

lim 4

2

n

n n

f x f

→∞ x

− =

− .

Aufgabe 2.

Sei f : → an der Stelle x₀: 3= differenzierbar. Es gibt also eine Zahl a∈ nämlich die Ableitung von f an der Stelle x₀: 3= , so dass gilt:

( ) (3)

0 0 : | 3 |

3 f x f

x x a

ε δ δ x⁻ ε

∀ > ∃ > ∀ ∈ − < → − <

− .

Folgern Sie hieraus, dass f an der Stelle x₀: 3= stetig ist. (Dazu muß man die ,ε δ −Definition der Stetigkeit kennen.)

Aufgabe 3.

Sei f : ² → gegeben durch f x x( ,_{1 2})=x₁²+x₂². Sei ⁰ 0 : 0

x = . Zeigen Sie, dass f in x0differenzierbar und daß^{Df x}

( )

0 0 x : x f x( ) x

ε δ δ ε

∀ > ∃ > ∀ ∈ < → < .

Aufgabe 4.

Sei f : ³ → gegeben durch f x x x( ,_{1 2}, ₃)=x x_{1 2}+x x_{2 3}. Berechnen Sie für den Punkt

0

1 : 2 3

x = durch direkte Berechnung der partiellen Ableitungen ( ⁰)

i

f x x

∂

∂ die Ableitung

0 0 0 0

2 2 3

( ) f ( ), f ( ), f ( )

Df x x x x

x x x

∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ .