Mathematische Grundlagen der Informatik III, WS 2002/03 Aufgabenblatt 11

Mathematische Grundlagen der Informatik III, WS 2002/03 Aufgabenblatt 11

Aufgabe 1.

a) Gegeben sei das homogene Differentialgleichungssystem y'=Aymit

2 1 0

0 2 1

0 0 2

A

−

= −

− .

Man berechne die Fundamentallösung Φ =( )t exp( )tA und verifiziere die Gleichung '( )t A ( )t

Φ = Φ .

b) Gegeben sei das homogene Differentialgleichungssystem y'= Aymit

3 1 4 2

2 3 2 4

2 1 3 2

1 2 1 3

A

− −

− −

= − −

− −

. Man berechne eine Lösung ϕ( )t mit

1 (0) 0

1 0 ϕ =

− .

Hinweis: Das charakteristische Polynom vonAist

(

^λ−1

) (

^{2 λ+1}

)

². Man muß den Vektor 1 2 3 aufspalten in eine Summe von Vektoren v_i, die in den verallgemeinerten Eigenräumen der zu Agehörigen Eigenwerte liegen. Für jedes v_ilässt sich exp( )tA v_iberechnen.

Aufgabe 2

Gegeben sei das inhomogene Differentialgleichungssystem ^{1 1}

2 2

' 2 1 exp(3 )

' 1 4 1

y y t

y = y +

− Man finde eine Lösung ϕ( )t mit 1

(0) 2 ϕ = .

Lösungsweg (vgl. Vorlesung): Man löse zunächst das homogene System mit den

Anfangsbedingungen ₁ 1 ₂ 0

(0) , (0)

0 1

ϕ = ϕ = , also ₁ 1 ₂ 0

( ) exp( ) , ( ) exp( )

0 1

t tA t tA

ϕ = ϕ =

und setze die beiden Lösungen ϕ ϕ₁, ₂ zu einer Fundamentallösung

(

^{1 2}

)

1 0

( ) exp( ) exp( ) ,

0 1

t tA tA ϕ ϕ

Φ = = = zusammen. Sodann finde man eine spezielle

Lösung des inhomogenen Systems mit Hilfe des in der Vorlesung gezeigten Ansatzes ( )t ( ) ( )t u t

ψ = Φ , welcher eine explizite Integralformel für u t( )liefert. Man berechne dann ψ(0)und addiere eine geeignete Lösung des homogenen Systems, um eine Lösung des inhomogenen Systems mit der oben geforderten Anfangsbedingung zu erhalten.