Tao De / Pan JiaWei

Tao De / Pan JiaWei

Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999

1..Ein Darlehen von 500.000 DMsoll monatlichmit 1%verzinst und in 10 Jahren durch konstante Annuitäten getilgt werden. Wie hoch sind

a) die Monatsraten ? b) die Vierteljahresraten ?

geg: K₀=500.000 DM ges:

A

A

p = 1% (monatlich) n = 10 , m = 12 N = n * m Lsg: a)

1 01 , 1

01 ,

* 0 01 , 1

* 000 .

500 ¹²⁰ ₁₂₀

= −

1

* 1

0

*

−

= ^N _N−

m q

q q K A

=

b)

01 , 0

1 01 ,

* 1 55 , 7173

3−

v = A

1

* 1

−

= − q A q A

n m v

= 21.736,57DM

1

* 1

0

* −

=

−

q

q q

K

A

2.Ein Hypothekendarlehen von 200.000 DMsoll in 25 Jahrendurch konstante Annuitäten getilgt werden. Der Zins beträgt vierteljährlich 2%.Berechnen Sie

a) die Monatsraten . b) die insgesamt zu zahlenden Zinsen

geg: _K

0= 200.000 DM p =2% (viertelj.) n = 25*4 =100 Quartale m = 3

ges: a , Zges

a)

Lsg: Lösung durch Einsetzen der Ersatzrentensformel

:

2 )

* 1 ( 100

1

* 1 0 *

2 )

* 1 ( 100

:

2 )

* 1 ( 100

*

+ −

−

−

= + −

=

+ −

=

m m p

qn n q q K a

m m p

a A umgeformt

m m p

a

A a: unterjährliche Annuität

(hier:Monatsrate ) A: Gesamtannuität

DM 61 , 1536

2)

*2 100 3 2 (

1 02 , 1

02 ,

* 0 02 , 1

* 000 .

200 ¹⁰⁰ ₁₀₀

=

+

= −

b) Z_ges=A_ges-K₀

= n*m*a-K₀

= 100*3*1536,61-200.000

= 260.983 DM

3. Der Zinsfuß eines Darlehens über 100.000 DM,welches monatlichmit 1.198 DM zurückzuzahlen ist , beträgt 8% jährlich. Nach wieviel Jahren ist Darlehen getilgt?

geg: K₀=100.000 DM p = 8%

a_m=1.198 DM m = 12

ges: n

Lsg:

2 )

* 1 ( 100

1

* 1

2 )

* 1 ( 100

0

+ −

−

−

= + −

=

m m p

q q q K a

m m p

a A

n n

Jahren n

n

n n

n n

08 10 , 1 ln

159 , 2 ln

159 , 2 08 , 1

08 , 1

* 8000 ) 1 08 , 1 (

* 12 , 14903

2)

*11 100 12 8 (

1 08 , 1

08 ,

* 0 08 , 1

* 000 . 100 1198

=

=

=

=

− +

= −

4. Eine Schuld von 200.000 DMwird mit konstanten halbjährlichenAnnuitäten von 15.877,60 DM in 10 Jahrengetilgt . Wie hoch ist der Jahreszinsfuß ?

geg: K₀=200.000DM a_h =15.877,60DM n = 10

m = 2

ges:

p

2

* 1 ) 1 ( 2

1

* 1

* 000 . 200 60

, 877 . 15

2

* 1 ) 1 (

1

* 1

10 10 0

− +

−

−

=

− − +

−

−

=

q

q q q q m

m

q q q K a

n n

Lsg:

1 100 p

q = +

Lösung durch Probieren :

Lösung 15.877,60

10%

1,10

zu groß 17.182,93

12%

1,12

zu klein 14.610,73

1,08 8%

Ergebnis a

p q

Der Jahreszinsfuß ist 10%

5. Die Verzinsung für ein Darlehen über 100.000 DMerfolgt halbjählich . Das Darlehen soll in 6 Jahrenmit Hilfe von monatlichen Annuitäten von 1.939,47 DMgetilgt werden .Berechnen Sie den Semsterzinssatz.

geg: K₀=100.000DM a_m =1.939,47DM n = 6*2= 12 Semester m = 6

ges:

p

2

*5 ) 1 ( 6

1

* 1

* 000 . 100 47 , 939 . 1

2

* 1 ) 1 (

1

* 1

*

12 12 0

− +

−

−

=

− − +

−

−

=

q q q q q m

m

q q q K a

n n

Lsg:

Lösung durch Probieren (Vgl.4 )

p

= 6%

6. Wie hoch sind die gesamten Zinsaufwedungen einer Schuld von 200.000 DM,die durchhalbjährlicheAnnuitäten von 14.000 DMbei einem Jahreszinsfuß von 7%

getilgt wird ?

ges:

Z

geg:

Lsg:

K₀=200.000 DM a_h =14.000 DM m = 2

p= 7 %

2)

*1 07 , 0 2 (

1 07 , 1

07 ,

* 0 07 , 1

* 000 . 200 000

. 14

2 )

* 1 ( 100

1

* 1

0

+

= − + −

−

−

=

n n

n n

m m p

q q q K a

Jahre n

n n

07 10 , 1 ln

966 , 1 ln

07 , 1

* 000 . 14 ) 1 07 , 1 (

* 490 . 28

=

=

=

−

A

= a

*n*m

= 14.000*10*2

= 280.000 DM Z

=A

-K

= 280.000DM-200.000DM

= 80.000 DM

7. Ein Teilzhalungskredit über 10.000 DMsoll in 38 Monaten getilgt werden . Monatlichmüssen 300 DMzurückbezahlt werden . Bei der Kreditauszahlung fällt eine Bearbeitungsgebühr in 800 DMan .Berechnen Sie den effektiven Jahreszins bei monatlicher Verzinsung .

geg: ges:

p

Lsg:

K₀=10.000 DM K_B= 800 DM K_soll

a_m =300 DM

n = 38 Monate, m = 12

1

* 1

* 9200 300

1

* 1

*

38 38

−

= −

−

= −

q q q

q q q K

a

Lösung durch Probieren : q =1,0115 zurückzahlende Kreditsumme: K_soll=K₀-K_B

p_m=1,15%

( )

% 71 , 14 ) 1 0115

, 1 (

* 100

1 ) 1

(

* 100

12

− =

=

− +

=

eff

m m eff

p

p

p

8. Ein Unternehmer benötigt genau 100.000 DMfür eine Investition .Diesen Betrag möchte er durch ein Bankdarlehen decken , welches zu folgenden Konditinen angeboten wird : Zins 6,1%p.a ; Auszahlung 91,5%; Laufzeit 10 Jharen

a) Wie hoch sind die konstanten Annuitäten ? b) Welchen Effektivzins bezahlt der Unternehmer ? c) Wie hoch sind die Gesamtaufwendungen für den Kredit ? geg: K₀=100.000 DM ges:

p = 6.1%

n = 10

A, P_eff, A_ges

Lsg: a)

DM A

A

q q q K

A

39 , 919 . 14

1 061 , 1

061 ,

* 0 061 , 1

% * 5 . 91

000 . 100

1

* 1

*

10 10

0

=

= −

−

= −

b)

1

* 1

* 000 . 100 39 , 919 . 14

1

* 1

*

10 10 0

−

= −

−

= −

q q q q

q q K

A

Lösung durch Probieren : q =1,08 p_eff = 8 % c) Gesamtaufwendungen :

A_ges= n*A

=10*14.919,39 DM

=149.193, 90 DM

9. Ein Annuitätenschuld von 50.000 DMist monatlich mit 490,38 DM zurückzuzahlen . Die jährliche Verzinsung beträgt 5% .

a) Berechnen Sie die Laufzeit .

b) Wie groß ist Restschuld nach 5 Jahren und 3 Monaten ?

Lsg:

geg: K₀=50.000 DM ges:

a_m= 490,38 DM p = 5%

m = 12

n , R_5,3

a)

DM A

A

m m p

a A

41 , 019 . 6

2 )

* 11 100 12 5 (

* 38 , 490

2 )

* 1 ( 100

*

=

+

=

+ −

=

Lösung durch Einsetzen der Ersatzrentensformel :

Tilgung im ersten Jahr : T₁= A - Z₁

=6.019,41-50.000*0,05

=3.519,41 DM Tilgungsdauer :

Jahre n

q T n A

05 11 , 1 ln

41 , 519 . 3 ln 41 , 019 . 6 ln

ln ln

ln

− =

=

= −

b) Im diesen Fall :

Der Restschuld am Ende eines Zahlungsperiode,die nicht mit dem Ende eines Jahres Zusammenfällt .

Anwendung der Formel von gemischten Verzinsung bei der Rentenrechnung !

Die Rechnungsformel läutet :

⎪ ⎪

⎭

⎪⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

+ − +

− +

− + −

− +

=

−

−

−

2 )

* 1 ( 100

*

100 )

* 1 ( 1 *

* 1 2 )

* 1 ( 100

*

100 )

* 1 (

*

*

1 1

0 , 1

l m p

m l

p m

l q

q m m p

a

p m q l

K R

k k

l k

mit k = 6 , l = 3 (Monate), m = 12

Einsetzen der gegebene Zahlen in der Formel :

DM R

R

65 , 457 . 29 10 , 154 . 35 75 , 611 . 64

2 )

* 2 05 , 0 12 ( 12 * ) 3 05 , 0 12 * 1 3 05 ( , 0

1 05 ,

* 1 2

* 11 05 , 0 12 (

* 38 , 490 ) 05 , 0 12 * 1 3 (

* 05 , 1

* 000 . 50

3 , 5

5 5 3

, 5

=

−

=

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ + − + + +

− +

=

10. Ein Kredit über 20.000 DMwird zu 10%Jahreszinsen bei halbjährlicher Verzinsung gewährt . Nach 5 Jahren sollen die Schuld sowie die angefallenen Zinsen zurückbezahlt werden . Jedoch muß am Ende eines jeden Jahres eineVerwaltungsgebühr von 0,5%der Kreditsumme an den Kreditgeber überwiesen werden . Außerdem wird ein Disagiovon 3%erhoben .Wie hoch ist die Effektivverzinsung des Kredits ?

geg: K₀= 20.000 DM p = 10 % n = 5 , m = 2 K_ist= K₀* 3%

ges: p_eff

Lsg: Nach 5 Jahren zurückzahlende Beträge : (Schuld +Zinsen)

DM K

K

m K p

K_n ^nm

89 , 577 . 32

100 )

* 2 1 10 (

* 000 . 20

100 ) 1 *

(

*

5

2

* 5 5

* 0

=

+

=

+

=

Mit Berücksichtigung der Verwaltungsgebüren : K_v= K₀*n*0,5%

= 20.000*5*0,05

= 500 DM Gesamte Rückzahlung :

K_g=K₅+K_v

=32.577,89+500

=33.077,89 DM

% 26 , 11 100

* ) 97 1 , 0

* 000 . 20

89 , 077 . ( 33

100

* ) 1 (

100

* ) 1 (

5 5

0

=

−

=

−

=

−

=

eff

ist g eff

n n

eff

p

K p K

K p K

Effektivverzinsung des Kredits :

11. Nach 8 Jahren beträgt die Restschuld eines Annuitätenkredits mit einer Laufzeit von 10Jahren , der zu 8% verzinst und jährlich getilgt wird , noch 2657,60 DM .

a) Erstellen Sie den Tilgungsplan der letzten beiden Jahre .

b) Wie hoch sind die insgesamt für den Kredit zu zahlenden Zinsen ? geg: R₈= 2.657,60 DM

n = 10 , p = 8 %

ges: Z_ges

Lsg: a) Restschuld nach 8 Jahren bzw.am Anfang des 9-ten Jahr :

*

1

8 10 0

8 −

= −

q q K q

R Mit der Annuitätsformel

:

1

* 1

*

0

−

= −

q q q K A

(1)

(2)

(2) nach K₀aufgelöst , in (1) einsetzen :

folgt :

DM A

A q q q

q R A

30 , 490 . 1

) 08 , 1 08 , 1 ( 08 * , 0

* 08 , 60 1 , 567 . 2

) (

) * 1 (

*

10 8

10

8 10 8 10

=

−

=

− −

=

Tilgung im 9-ten Jahr :

DM T

q q T A

70 , 277 . 1 08 , 1 08 * , 1

30 , 490 . 1

*

8 9 10

8 9 10

=

=

=

Z

= A-T

= 1.490,30-1.277,70

Zinsen im 9-ten Jahr :

Restschuld nach 9 Jahren bzw.am Anfang des 10-ten Jahr : R₉ = A – T₉

=1.379,90 DM Tilgung im 10-ten Jahr :

T₁₀ = R₉ = 1.379,90 DM Zinsen im 10-ten Jahr :

Z₁₀= A – T₁₀ = 110,34 DM

1.490,30 1.379,90

110,40 1.379,90

10

1.490,30 1.277,70

212,60 2.657,60

9

Annuität Tilgung

Zinsen Restschuld

Jahr

Tilgungsplan der letzten beiden Jahre :

b) Schuld des Annuitätenkredits :

DM K

q q K A

03 , 000 . 9 10

* 08 , 1

) 1 08 , 1 (

* 30 , 490 . 1

) 1 10 (

* ) 1 (

*

10 10 0

10 10 0

− =

=

−

= −

Gesamte Zinsbelastung :

Z_ges= n*A – K₀

= 10*1.490,30-10.000,03

= 4.902,97 DM

12. Ein Annuitätendarlehen über 300.000 DM (bei jährlicher Tilgung) wurde Ende 1990 einem Zinssatz von 9% p.a. bei einer Bank aufgenommen .Die Laufzeit (Zinsbindungsdauer) betrug 8Jahre . Weil 3 Jahre später das Zinsniveau auf 7% p.a. gesunken ist ,möchte der Darlehensnehmer die Restchuld jetzt zurückzahlen (ablösen) .Die Bank macht die Ablösung des Darlehens davon abhängig , ob der Kunde bereit ist ,als Ersatz für den entstehenden Schaden eine V o r f ä l l i g k e i t s e n t s c h ä d i g u n g z u z a h l e n . S i e b e r e c h n e t d i e Vorfälligkeitsentschädigung nach der sogenanten Bankenformel : Der Restschuld am Vorfälligkeitstermin wird mit der Restlaufzeit und der prozentualen Zinsdifferenz zwischen Vertrags- und Wiederanlagezins multipliziert . a) Wie hoch ist der finanzielle Schaden ,welcher der Bank ohne Berücksichtigung von Kreditsbearbeitungskosten tatsächlich entsteht ? b) Ermitteln Sie die Höhe der Vorfälligkeitsentschädigungnach der Bankformel a) Analyse : finanzielle Schaden entstehen durch die Differenz zwischen

der nach geplanter Laufzeit (n = 8) zurückzahlende Gesamtaufwendung und der Summe von 2 Gesamtaufwendungen ,deren Laufzeiten(n₁=3,n₂

=5)und Zinsfüße(p₁= 9% , p₂= 7% ) unterschiedlich sind.

a) Der Tilgungsplan mit Laufzeit n = 8 Jahre , p₁= 9 % :

0,00 49.726,89

54.202,31 4.475,42

49.726,89 8

49.726,89 95.347,90

54.202,31 8.581,31

45.621,00 7

95.347,90 137.202,03

54.202,31 12.348,18

41.854,13 6

137.202,03 175.600,31

54.202,31 15.804,03

38.398,29 5

175.600,31 210.828,10

54.202,31 18.974,53

35.227,78 4

210.828,10 243.147,17

54.202,31 21.883,24

32.319,07 3

243.147,17 272.797.69

54.202,31 24.551,79

29.650,52 2

272.797,69 300.000,00

54.202,31 27.000,00

27.202,31 1

Restschuld am Ende des Jahres Restschuld

zu Beginn des Jahres Annuität

Zinsen Tilgungs-

rate Jahr

Der Tilgungsplan mit Laufzeit n ₁= 3 Jahre , p₁= 9 % :

162.606,94 73.435,04

89.171,90 Summe

210.828,10 243.147,17

54.202,31 21.883,24

32.319,07 3

243.147,17 272.797,69

54.202,31 24.551,79

29.650,52 2

272.797,69 300.000,00

54.202,31 27.000,00

27.202,31 1

Restschuld am Ende des Jahres Restschuld zu

Beginn des Jahres Annuität

Zinsen Tilgungs-

rate Jahr

Der Restschuld nach 3 Jahren sind weiter in nächsten 5 Jahren mit p₂= 7% zurückzuzahlen :

Der Tilgungsplan mit Laufzeit n₂ = 5 Jahre , p₂ = 7 % :

257.095,06 46.266,96

210.828,10 Summe

0,00 48.055,15

51.419,01 3.363,86

48.055,15 8

48.055,15 92.966,51

51.419,01 6.507,66

44.911,36 7

92.966,51 134.939,74

51.419,01 9.445,78

41.973,23 6

134.939,74 174.167,06

51.419,01 12.191,69

39.227,32 5

174.167,06 212.828,10

51.419,01 14.757,97

36.661,04 4

Restschuld am Ende des Jahres Restschuld

zu Beginn des Jahres Annuität

Zinsen Tilgungs-

rate Jahr

S_off= A_ges-(A_n1+A_n2)

=433.618,51-(162.606,94+257.095,06)

= 13.916,51 DM

b) Vollfälligkeitsentschädigung ( VFE ) nach Bankformel : VFE = R₃* n₂* (p₁-p₂)

= 210.828,10*5*2%

= 21.082,81 DM