Tilgungsrechnung 2

(1)

12.01.2005 Tilgungsrechnung 2 1

Tilgungsrechnung 2

Bearbeitet von Martin Kubsch

Formelsammlung

Unterjährige Tilgung a)

Anzahl gleich Jahres-, Quartals,- Halbjahres oder Monatsrechnung

b) (mehr Zins- als Tilgungsperioden) Zinsanzahl auf Tilgungsanzahl hochrechnen

,

z

r m

m =

r

z m

m >

1 ) 1

(*) =( + ^m^r^z −

m k

i i i*=^m^r(1+i_k^(*))^m^z −1

(2)

Formelsammlung

c) (ansparen unterjährlicher, einfach verzinster (nachschüssig gezahlter) Raten a zu einer Gesamtannuität entsprechend der Ersatzrente r_e)

r

z m

m <

)]

1 2 (

[ + ⋅ −

⋅

= i m

m a A_e

)]

1 2 (

[

1 1

−

⋅ +

−

⋅ −

⋅

=

i m m

q q q S a

n n

)]

1 2 (

[ + ⋅ −

=

i m m a A

13. Ein Darlehen von 500.000 € soll monatlich mit 1%

verzinst und in 10 Jahren durch konstante Annuitäten getilgt werden. Wie hoch sind

a) die Monatsraten?

geg:

(

Monatsrechnung)

Lsg:

%

*=1 p

1 1

−

⋅ −

⋅

= qn

n q q S a

120 1 01 , 1

01 , 120 0 01 , 1 000 .

500 ⋅ ⋅ −

= a

€ 55 , 173 .

=7 a

=12

= _z

r m

m

(3)

13. Ein Darlehen von 500.000 € soll monatlich mit 1%

verzinst und in 10 Jahren durch konstante Annuitäten getilgt werden. Wie hoch sind

b) die Vierteljahresraten

geg: ges: a

Monatszins in Vierteljahreszins umrechnen 12

4< =

= mz mr

3 1 ) 01 , 1 ( 1 ) 1

( + − = −

= m

iM iQ

0303 ,

=0 iQ

10 1 03034 , 1

0303 , 10 0 )4 0303 , 1 ( 000 .

500 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

= a

€ 57 , 736 .

=

21

a

14. Ein Hypothekendarlehen von 200.000€ soll in 25 Jahren durch konstante Annuitäten getilgt werden. Der Zins beträgt

vierteljährlich 2%. Berechnen Sie a) die Monatsraten,

Geg: 100 Quartale (Zins), 3 Raten je

Quartal

z

r m

m =

12

>

4

=

)]

1 3 ( 2 02 , 3 0 [

100 1 02 , 1

02 , 100 0 02 , 1 000 . 200 )]

1 ( 2 [

1 1

−

⋅ +

⋅ −

⋅

− =

⋅ +

−

⋅ −

⋅

= i m m

qn n q q S a

€ 61 , 536 .

=1 a

(4)

14. Ein Hypothekendarlehen von 200.000€ soll in 25 Jahren durch konstante Annuitäten getilgt werden. Der Zins beträgt

vierteljährlich 2%. Berechnen Sie b) die insgesamt zu zahlenden Zinsen.

000 . 200 61 , 536 . 1 25

12⋅ ⋅ −

=

−

=Ages S Zges

€ 938 .

=260 Zges

15. Der Zinsfuß eines Darlehens über100.000 €, welches monatlich mit 1.198 € zurückzuzahlen ist, beträgt 8%

jährlich. Nach wie viel Jahren ist das Darlehen getilgt?

geg:

ges: n Lsg:

€ 000 .

=100

S a=1.198€ p=8%

)]

1 12 ( 2 08 , 12 0 [

1 08 , 1

08 , 08 0 , 1 000 . 100 )]

1 ( 2 [

1 1

−

⋅ +

⋅ −

⋅

− =

⋅ +

−

⋅ −

⋅

= n n

i m m

qn q qn S a

1 08 , 1

08 , 08 0 , 1 000 . 100 12 , 903 .

14 = ⋅ n⋅ n−

Jahre

n 10

08 , 1 ln

159 , 2

ln =

=

(5)

16. Eine Schuld von 200.000 € wird mit konstanten halbjährlichen Annuitäten von 15.877,60 € in 10 Jahren

getilgt. Wie hoch ist der Jahreszinsfuß?

geg:

ges: p Lsg:

€ 000 .

=200

S a=15.877,60€ n=10Jahre

)]

1 2 (

[

1 1

−

⋅ +

−

⋅ −

⋅

=

i m m

qn n q q S a

) ( 0 238 , 0 079 , 0 238

, 2 921

,

1 ⋅q¹¹− ⋅q¹⁰+ ⋅q+ = =F q ) ( ' 079 , 0 38

, 22 131

,

21 ⋅q¹⁰− ⋅q⁹+ =F q ) ( '' 42

, 201 31

,

211 ⋅q⁹− ⋅q⁸ =F q

Newton – Verfahren

09 ,

1 =1 q

6 , 57 ) ( ''

497 , 1 ) ( '

017 , 0 ) (

1 1 1

=

−

= q F

q F

q F 1

437 , ) 0

( '

) ( '' ) (

2 1

1

1 ⋅ = <

q F

q F q F

Abbruch q

F q q

>

−

⋅

<

=

−

=

− =

−

=

−3 3

3 2

10 1 0001 , 0 ) (

0996 , 208 1 , 2

00387 , 10136 0 , 1

10136 , 497 1 , 1

017 , 09 0 , 1

(6)

Newton – Verfahren

% 10

0996 ,

3 1

=

= p

q q

17. Die Verzinsung für ein Darlehen über 100.000 € erfolgt halbjährlich. Das Darlehen soll in 6 Jahren mit Hilfe von monatlichen Annuitäten von 1.939,47 € getilgt werden. Berechnen

Sie den Semesterzinssatz.

geg:

ges: p*

Lsg:

z

r m

m =12>2= a=1.939,47€ n=6−>12Halbjahre

)]

1 6 2 ( 6 1 [

12 1 12 1 000 . 100 )]

1 2 (

[

1 1

−

− ⋅ +

−

⋅ −

⋅

=

−

⋅ +

−

⋅ −

⋅

= q

q q q

i m m

qn n q q S a

) ( 0 679 , 0 485 , 0 679

, 10 515

,

9 ⋅q¹³− ⋅q¹²+ ⋅q+ = =F q ) ( ' 485 , 0 148

, 128 695

,

123 ⋅q¹²− ⋅q¹¹+ =F q ) ( '' 6282

, 409 . 1 34

, 484 .

1 ⋅q¹¹− ⋅q¹⁰ =F q

(7)

Newton – Verfahren

05 ,

1=1 q

590 , 242 ) ( ''

447 , 3 ) ( '

0477 , 0 ) (

1 1 1

=

−

= q F

q F

q F 1

97 , ) 0

( '

) ( '' ) (

2 1

1

1 ⋅ = <

q F

q F q F

06006 , 224 1 , 6

00184 , 0604 0 , 1

0604 , 2868 1 , 7

0254 , 0634 0 , 1

06384 , 447 1 , 3

0477 , 05 0 , 1

4 3 2

=

−

=

−

=

− =

−

=

q q q

Newton – Verfahren

Abbruch q

F( ₄)=0,000014<1⋅10⁻³−>

% 6

06 ,

4 1

=

= pHJ

q q

(8)

18. Wie hoch sind die gesamten Zinsaufwendungen einer Schuld von 200.000 €, die durch halbjährliche Annuitäten von 14.000 € bei einem Jahreszinsfuß von 7% getilgt wird?

geg:

ges:

Lsg:

z

r m

m =2>1= S =200.000€ a=14.000€ p=7% Zges

)]

1 2 2 (

07 , 2 0 [

1 07 , 1

07 , 07 0 , 1 000 . 200 )]

1 2 (

[

1 1

−

⋅ +

⋅ −

⋅

=

−

⋅ +

−

⋅ −

⋅

= n

n i m

m qn n q q S a

1 07 , 1 07 1 , 1 000 . 14 490 .

28 = ⋅ ⋅ −

n n Jahre

n 10

07 , 1 ln

966 , 1

ln =

=

18. Wie hoch sind die gesamten Zinsaufwendungen einer Schuld von 200.000 €, die durch halbjährliche Annuitäten von 14.000 € bei einem Jahreszinsfuß von 7% getilgt wird?

€ 000 . 80 000 . 200 000

. 280

€ 000 . 280 10

2 000 . 14

=

−

=

⋅

=

ges ges

Z

A

(9)

19. Ein Teilzahlungskredit über 10.000 € soll in 38 Monaten getilgt werden. Monatlich müssen 300 € zurückbezahlt werden. Bei der Kreditauszahlung fällt eine einmalige Gebühr von 800 € an. Berechnen

Sie den effektiven Jahreszins bei monatlicher Verzinsung.

geg:

ges:

Lsg:

=12

= _z

r m

m S =10.000€ n=38Monate a=300€ peff

38 1 38 1 200 . 9 1 1

−

⋅ −

⋅

− =

⋅ −

⋅

=

q q q qn

n q q S a

) ( 0 3 , 0 5

, 9 2

,

9 ⋅q³⁹ − ⋅q³⁸+ = =F q ) ( ' 361

8 ,

358 ⋅q³⁸− ⋅q³⁷ =F q ) ( '' 357

. 13 40

, 634 .

13 ⋅q³⁷ − ⋅q³⁶ =F q

Newton – Verfahren

01 ,

1=1 q

1 526 , ) 0

( '

) ( '' ) (

2 1

1

1 ⋅ = <

q F

q F q F

972 , 591 ) ( ''

0058 , 2 ) ( '

00358 , 0 ) (

1 1 1

=

−

= q F

q F

Abbruch q

F q q

>

−

⋅

<

=

−

=

− =

−

=

−4 3

3 2

10 1 000033 ,

0 ) (

0115 , 1291 1 , 3

00098 , 01178 0 , 1

01178 , 0058 1 , 2

00358 , 01 0 , 1

(10)

Newton – Verfahren

% 71 , 14 1471

, 0

1 ) 0115 , 0 1 ( 1 ) 1 (

% 15 , 1

0115 , 1

12 3

=

>

−

=

− +

=

− +

=

eff eff

m M eff

M

p i

p q q

20. Ein Unternehmer benötigt genau 100.000 € für eine Investition.

Diesen Betrag möchte er durch ein Bankdarlehen decken, welches zu folgenden Konditionen angeboten wird:

Zins 6,1% p.a., Auszahlung 91,5%, Laufzeit 10 Jahre a) Wie hoch sind die konstanten Annuitäten?

10 1 061 , 1

061 , 10 0 061 , 915 1 , 0

000 . 100 1 1

⋅ −

⋅

− =

⋅ −

⋅

= qn

n q q S A

€ 39 , 919 .

=14 A

(11)

20. Ein Unternehmer benötigt genau 100.000 € für eine Investition.

Diesen Betrag möchte er durch ein Bankdarlehen decken, welches zu folgenden Konditionen angeboten wird:

Zins 6,1% p.a., Auszahlung 91,5%, Laufzeit 10 Jahre b) Welchen Effektivzins bezahlt er?

geg:

Lsg:

€ 000 .

=100

S A=14.919,39€ n=10Jahre

10 1 10 1 000 . 100 1 1

−

⋅ −

⋅

− =

⋅ −

⋅

=

q q q qn

n q q S A

) ( 0 1492 , 0 1492

,

1 ¹⁰

11 q F q

q − ⋅ + = =

) ( ' 492

, 11

11⋅q¹⁰− ⋅q⁹ =F q ) ( '' 428

, 103

110⋅q⁹− ⋅q⁸ =F q

Newton – Verfahren

07 ,

1=1 q

1 619 , ) 0

( '

) ( '' ) (

2 1

1

1 ⋅ = <

q F

q F q F

52 , 24 ) ( ''

511 , 0 ) ( '

0066 , 0 ) (

1 1 1

=

−

= q F

q F

Abbruch q

F q q

>

−

⋅

<

=

−

=

− =

−

=

−4 3

3 2

10 1 00009 , 0 ) (

0804 , 8604 1 , 0

00219 , 0829 0 , 1

0829 , 511 1 , 0

0066 , 07 0 , 1

(12)

Newton – Verfahren

c) Wie hoch sind die Gesamtaufwendungen für den Kredit?

% 04 , 8

0804 ,

3 1

=

= p

q q

€ 90 , 193 . 149

10 39 , 919 . 14

=

⋅

=

⋅

=

ges ges

A

n A A

21. Eine Annuitätenschuld von 50.000 € ist monatlich mit 490,38 € zurückzubezahlen. Die jährliche Verzinsung beträgt

5%.

a) Berechnen Sie die Laufzeit geg:

Lsg:

z

r m

m =12>1= S=50.000€ a=490,38€

)]

1 12 2 (

05 , 12 0 [

1 05 , 1

05 , 05 0 , 1 000 . 50 )]

1 2 (

[

1 1

−

⋅ +

⋅ −

⋅

=

−

⋅ +

−

⋅ −

⋅

= n

n i m

m qn n q q S a

1 05 , 1 05 1 , 1 500 . 2 41 , 019 .

6 = ⋅ ⋅ −

n n Jahre

n 11

05 , 1 ln

71 , 1

ln =

=

(13)

5%.

b) Wie hoch ist die Restschuld nach 5 Jahren und 3 Monaten?

2 )}

1 ( 100

100) 1

1 ( 1

2 ) 1 {( 100

100) 1

(

1

1 ,

1

⋅ − +

⋅ +

− ⋅

−

− ⋅

⋅ +

⋅

−

⋅ +

⋅

=

−

l m p

m l p m

l q

q

l m p

p a m q l

S R

k

k l

k

)}

2 2 05 , 12 0 12 ( ) 3 05 , 12 0 1 3 05 ( , 0

1 05 , 1

) 2 11

05 , 12 0 {(

38 , 490 ) 05 , 12 0 1 3 ( 05 , 1 000 . 50

5

5 3

, 5

⋅ +

− ⋅

⋅

⋅ +

⋅

−

⋅ +

⋅

= R

5%.

€ 65 , 457 . 29

10 , 154 . 35 75 , 611 . 64

3 , 5

=

−

= R R

b) Wie hoch ist die Restschuld nach 5 Jahren und 3 Monaten?

(14)

22. Ein Kredit über 20.000 € (3% Disagio)wird zu 10% Jahreszinsen bei halbjährlicher Verzinsung gewährt. Nach 5 Jahren sollen die Schuld sowie die angefallenen Zinsen zurückbezahlt werden. Jedoch muss am Ende eines jeden Jahres eine Gebühr von 0,5% der Kreditsumme an den Kreditgeber überwiesen

werden. Wie hoch ist die Effektivverzinsung?

geg:

Lsg:

Kapitalwertberechnung:

€ 000 .

0 =20

K (3%Disagio) ⁿ⁼⁵^Jahre p=10% m_z =2

€ 89 , 577 . 32

2 ) 1 , 1 0 ( 000 . 20 )

1 (

5

5 2 0

=

+

⋅

= +

⋅

= ^⋅ ^⋅

K

m K i

K_n ⁿ^m

400 . 89 19 , 677 . 32 100 100 100 ) 100

( ) 1 (

5 4

3 2 1

0

− +

+ + +

=

−

⋅

=

∑

=

q q

q q q q

G

q A P t

G

n

t t t

Newton – Verfahren

6 5

4 3 2

45 , 389 . 163 400 300 200 ) 100

(

' q q q q q q

G =− − − − −

7 6

5 4 3

70 , 336 . 980 000 . 2 200 . 1 600 ) 200

(

'' q q q q q q

G = + + + +

86 , 501 . 505 ) ( ''

265 , 915 . 92 ) ( '

3852 , 207 . 1 ) (

1 1 1

=

−

=

= q G

q G

q G 1

07 , ) 0

( '

) ( '' ) (

2 1

1

1 ⋅ = <

q G

q G q G

1 ,

1 =1 q

(15)

Newton – Verfahren

113475 ,

48 1 , 386 . 86

04802 , 113474 0 ,

1

113474 ,

9199 1 , 596 . 86

197 , 11302 39

, 1

11302 , 466 1 , 609 . 86

3337 , 11299 2

, 1

11299 , 265 1 , 915 . 92

3852 , 207 . 1 1 , 1

5 4 3 2

− =

−

=

− =

−

=

− =

−

=

− =

−

=

q q q q

Newton – Verfahren

% 35 , 11

113475 ,

1

10 1 0000044 ,

0 ) (

5

4 5

=

>

−

⋅

<

= ⁻

peff

q q

Abbruch q

G

(16)

23. Nach 8 Jahren beträgt die Restschuld eines Annuitätenkredits mit einer Gesamtlaufzeit von 10 Jahren, der zu 8% verzinst und jährlich getilgt wird noch 2.657,60 €.

a) Erstellen Sie den Tilgungsplan der letzten beiden Jahre.

geg:

Lsg:

Jahre n=10

%

=8

€ p 60 , 657 .

8 =2 R

€ 000 . 10

1 08 , 1

08 , 1 08 , 60 1 , 657 . 2

1

10 8 10

8

1 1

=

−

⋅ −

=

−

⋅ −

= ⁻

−

S

S R

q q S q

R _n

k n k

€ 29 , 490 . 1 10 1

08 , 1

08 , 10 0 08 , 1 000 . 10 1

1

=

⋅ −

⋅

− =

⋅ −

⋅

= qn

n q q S A

Tilgungsplan der letzten beiden Jahre

Jahr Restschuld Zinsen Annuität Tilgung RS Jende

9 2.657,60 212,61 1.490,29 1.277,68 1.379,92

10 1.379,92 110,93 1.490,29 1.379,90 0,02

(17)

b) Wie hoch sind die insgesamt für den Kredit zu zahlenden Zinsen?

€ 90 , 902 . 4

000 . 10 10 29 , 490 . 1

=

−

⋅

=

−

=

ges ges ges

Z

S A Z

24. Ein Annuitätendarlehen über 300.000 € (bei jährlicher Tilgung) wurde Ende 1990 zu einem Zinssatz von 9% p.a. bei

einer Bank aufgenommen. Die Laufzeit betrug 8 Jahre.

Weil 3 Jahre später das Zinsniveau auf 7% p.a. gesunken ist, möchte der Darlehensnehmer die Restschuld jetzt zurückbezahlen (ablösen). Die Bank macht die Ablösung des Darlehens davon abhängig, ob der Kunde bereit ist, als Ersatz für den entstandenen Schaden eine

Vorfälligkeitsentschädigung zu zahlen. Sie berechnet sich nach der sogenannten Bankformel:

Die Restschuld am Vorfälligkeitstermin wird mit der Restlaufzeit und der prozentualen Zinsdifferenz zw.

Vertrags- und Wiederanlagezins multipliziert.

(18)

a) Wie hoch ist der finanzielle Schaden, welcher der Bank ohne Berücksichtigung von Kreditbearbeitungskosten tatsächlich entsteht?

geg:

3 Jahre Annuitätentilgung mit 9% -> Annuität mit neuem Zinssatz von 7%

€ 000 .

=300

S p=9% n=8Jahre p^*=7%

€ 31 , 202 . 54 8 1

09 , 1

09 , 8 0 09 , 1 000 . 300 1

1

=

⋅ −

⋅

− =

⋅ −

⋅

= qn

n q q S A

*

€ 10 , 828 . 210

1 09 , 1

09 , 1 09 , 000 1 . 1 300

3

3 3 8

1 1

S R

q q S q

R _n

k n k

=

−

⋅ −

− =

⋅ −

= ⁻

−

€ 01 , 419 . 51

*

5 1 07 , 1

07 , 5 0 07 , 1 10 , 828 . 210 1

* 1

* *

*

=

⋅ −

⋅

− =

⋅ −

⋅

= A

q n n q q S A

(19)

Jährlicher Verlust für die Bank ist die Differenz der Annuitäten.

Gesamtschaden = Barwert des jährliche Verlustes

€ 30 , 783 . 2

*=

−A A

€ 08 , 412 . 11

07 , 0

1 07 , 1 07 , 1

30 , 783 . 2

0

5 0 5

=

⋅ −

=

= R

q R R_nⁿ

b) Ermitteln Sie die Höhe der Vorfälligkeitsentschädigung nach der Bankformel.

Die Restschuld am Vorfälligkeitstermin wird mit der Restlaufzeit und der prozentualen Zinsdifferenz zw.

Vertrags- und Wiederanlagezins multipliziert.

€ 81 , 082 . 21 ) 07 , 0 09 , 0 ( 5 10 , 828 . 210

*)

Re (

=

−

⋅

=

−

⋅

⋅n p p Entschädigung R_k _st