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Zeigen Sie: Es existiert eine Konstante c &gt

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J. M¨uller / P. Beise Wintersemester 2009/2010 11.11.2009

3. ¨Ubung Funktionalanalysis und partielle Differenzialgleichungen Abgabe: Bis Dienstag, 17.11.2009 um 8:30 Uhr im Kasten 12

H7: Es seien (S, d) ein kompakter metrischer Raum und k · k eine Norm auf C(S) so, dass gilt:

(i) C(S),k · k

ist ein Banachraum.

(ii) F¨ur alle t∈S ist C(S)3f 7→f(t)∈K stetig.

Zeigen Sie: Es existiert eine Konstante c > 0 mit

kfk≤ckfk f ∈C(S) .

H8: a) Es sei (X, d) ein vollst¨andiger metrischer Raum. Beweisen Sie: Abz¨ahlbare Schnitte dichter Gδ-Mengen sind wieder dichte Gδ-Mengen.

b) Zeigen Sie: Ist S0 ⊂S={z ∈C:|z|= 1} abz¨ahlbar, so ist AS0 :=

f ∈C(S) : sup

n∈N

(snf)(z)

=∞ f¨ur allez ∈S0 eine dichte Gδ-Menge in C(S).

c) Zeigen Sie auch noch: F¨ur allef ∈C(S) ist {z ∈S : sup

n∈N

(snf)(z)

=∞}

eine Gδ-Menge inS. (Hinweis: B.3.2.2)

H9: a) Geben Sie eine Folge (An) dichter Mengen in (R,| · |) an mit T

n∈N

An =∅.

b) ¨Uberlegen Sie sich, dass dichte Gδ-Mengen in (R,| · |) ¨uberabz¨ahlbar sind.

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