Theoretische Physik I 2. Übung - Lösung
Wintersemester 18/19
6 Lineare Repulsion (Präsenzaufgabe) (1+3+2+3+1)
Ein Körper der Masse m unterliegt der ortsabhängigen Kraft F ~ (~ r) = +k~ r ,
wobei k eine positive Konstante ist.
a) Skizzieren Sie das Kraftfeld F ~ (~ r).
b) Welcher Bahn ~ r(t) folgt der Körper, wenn er sich zum Zeitpunkt t = 0 bei ~ r 0 befindet und dort die Geschwindigkeit ~ v 0 hat?
c) Zeigen Sie, dass diese Bahn in einer festen Ebene liegt und bestimmen Sie diese.
d) Betrachten Sie nun speziell die Bahn für ~ r 0 = a ~ e x und ~ v 0 = ωb ~ e y , wobei a und b beliebig gewählte Längen sind und ω := p
k/m. Zeigen Sie, dass diese Bahn der Hyperbel
x 2 a 2 − y 2
b 2 = 1 folgt. Skizze bitte!
e) Wenn t 7→ ~ r(t) die Bahn zu Anfangsort ~ r 0 und -geschwindigkeit ~ v 0 bei t = 0 ist, ist dann t 7→ ~ r(−t) die Bahn zu Anfangsort ~ r 0 und -geschwindigkeit −~ v 0 ?
Lösung:
a)
b) Bewegungsgleichung: m ~ r(t) = ¨ k~ r
Durch den Exponentialansatz ~ r(t) = e λt ~a erhält man die Gleichung mλ 2 e λt ~a = ke λt ~a.
Daraus folgt λ = ±ω := ± q
k
m . Es folgt damit ~ r(t) = e ωt ~a + + e −ωt ~a − . Die Anfangsbe- dingungen liefern ~a + +~a − = ~ r 0 und ω(~a + −~a − ) = ~ v 0 . Daraus folgt ~a ± = 1 2 (~ r 0 ±1/ω~ v 0 ).
Damit lautet die Lösung der Bewegungsgleichung
~ r(t) = 1
2 e ωt + e −ωt
~ r 0 + 1
2 e ωt − e −ωt 1 ω ~ v 0
= cosh(ωt)~ r 0 + sinh(ωt) 1 ω ~ v 0 .
c) Die Lösung liegt offensichtlich in der durch ~ r 0 und ~ v 0 aufgespannten Ebene.
d) Die Bahn ist gegeben durch
~ r(t) = cosh(ωt)a~ e x + sinh(ωt)b~ e y
=
a cosh(ωt) b sinh(ωt).
Es folgt
x 2 a 2 − y 2
b 2 = cosh(ωt) 2 − sinh(ωt) 2 = 1.
1 2 3 4
x a
- 4
- 2
0
2
4
y
b
e) Sei ~ s(t) := ~ r(−t). Dann gilt ~ s(t) = ˙ − ~ r(−t) ˙ und ~ ¨ s(t) = ¨ ~ r(−t). Damit löst ~ s(t) ebenfalls die Bewegungsgleichung und es gilt ~ s(0) = ~ r(0) = ~ r 0 und ~ s(0) = ˙ − ~ r(0) = ˙ −~ v 0 .
7 Bewegung in zwei Dimensionen (10)
Ein Körper der Masse m bewegt sich in der Ebene unter der ortsabhängigen Kraft
F ~ x
y
= − kx
4ky
,
wobei k eine positive Konstante ist. Bestimmen Sie die Bahn ~ r(t) des Körpers für An- fangsbedingungen ~ r(0) = a ~ e x und ~ r(0) = 2bω ~ ˙ e y (a und b sind wieder beliebig gewählte Längen und ω := p
k/m). Skizzieren Sie die Bahn.
Lösung:
Die Bewegungsgleichung lautet
m x ¨
¨ y
=
−kx
−4ky
.
Diese wird durch x(t) = e iωt x + + e −iωt x − und y(t) = e 2iωt y + + e −2iωt y − gelöst. Die Anfangsbedingungen liefern a = x + + x − , 0 = ω(x + − x − ) und 0 = y + + y − , 2ωb = 2ω(y + − y − ). Daraus folgt x + = x − = a/2 und y + = −y − = b/2. Die Bahn lautet somit
~ r(t) =
a cos(ωt) b sin(2ωt)
.
- 1.0 - 0.5 0.5 1.0
x a
- 1.0 - 0.5 0.5 1.0 y b
Abbildung 0.2: Skizze der Bahn ~ r(t).
8 Schwerpunkt (4+3+3)
Der Schwerpunkt eines Systems aus N Massepunkten ist gegeben durch
R ~ = 1 M
N
X
i
m i ~ r i mit Gesamtmasse M =
N
X
i
m i
a) Zeigen Sie, dass der Schwerpunkt eines Systems aus zwei Massepunkten die Ver- bindungsstrecke der beiden Massenpunkte im umgekehrten Verhältnis ihrer Massen teilt.
b) R ~ I und R ~ II seien die Ortsvektoren der Schwerpunkte zweier Systeme I und II mit N I Massenpunkten der Gesamtmasse M I , und N II Massenpunkten der Gesamtmasse M II . Zeigen Sie, dass dann der Schwerpunkt des Verbundsystems I + II durch
R ~ = M I R ~ I + M II R ~ II M I + M II
gegeben ist.
c) 10 Massepunkte seien angeordnet wie in der Abbildung gezeigt.
Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Systems für m 1 = m 2 = ... = m 10 = m. Wie verschiebt sich der Schwerpunkt für m 1 = ... = m 4 = m und m 5 = ... = m 10 = 2m?
Lösung:
a)
R ~ = 1
m 1 + m 2 (m 1 r ~ 1 + m 2 r ~ 2 )
⇒ | r ~ 1 − R| ~
| r ~ 2 − R| ~ = | m m
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