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(2) 27. Nur Nullfolgen haben konvergente Reihen. Korollar. Ist. Ben. Eine. E. E. an. EE an. dass. so. Wir wenden das Cauchy Kriterium. Beweis. auf. führt auf. für. laut. Reihen an. E. gilt. 0. an. Nullfolge. O konvergierende Folge heißt. gegen. dann. konvergiert. für. für. Dies. nur. hinreichen große n. B. mm. Korollar. Satz. Die. Konvergenz Kriterium. Wenn KNEW su. Beweis. Bsp. für Reihen dann. an O. konvergiert nicht. gilt gilt. 11. für. 1. mit positiven Gliedern. gilt für. n. su. an. v. beschränkt. su. konvergiert. da jede konvergente Folge beschränkt ist da. jede. beschränkte monotone Folge konvergiert. D. Harmonische Reihe. Die Folge Beweis. EI. geometrische Reihe. Für. gegeben. MEIN. 2. n. 1 t. s. 1. durch. t. E. t. gilt It I. 2. I. s. km. t. It. t. 4. E. divergiert. tt J. t t. t. tz. tjm. zmI yt. 1. Im. Damit ist su nicht beschränkt. Bem. Der maximale. 7 D. Überhang eines Turms aus. n. über. einander gestapelten Banklötzen der Länge 1 ist 6. Ein E. und wird damit bel groß.
(3) 28. Satz. Kriterium. Leibniz. Ist. C. alternierende Reihe. Beweis. O annehmen. Szu. Szent S zu z. Dh. gilt. II an. an. 2. Die. II. Reihen. fallend. sind identisch. da. cnn.ge. su einschließen zw zwei zum selben Grenzwert Also konvergiert. auch. II. alternierende harmonische Reihe Grenzwert. nun. wachsend. tu EIN. Grenzwerte. II. konvergierenden Folgen. mit. an. sind sowohl monoton als auch beschränkt. san. konvergent. Damit lässt sich. können wir. mon. Szu. S. Szu. Sz Sz. a. Szu. zutstazutz E 0. Ego Isen san. Die. EI l. Sm. O. azur. zu. sen und. und damit. Bsp. an konvergent. für. ist. Dann. Szu. Zudem. 1. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit. OBd A an. dann ist die. eine monotone Nultfolge. ER. an. für alternierende Reihen. hr2. Integrale. D. sm. l. 1. I. konvergiert. Übung. Vorgriff. Mit. Hilfe der 0 oo. zu. IR. la. gehörenden x. an wenn. Treppenfunktion c. n 1 n. können wir die Partialsumme als Integral fassen. an. f. au. DX. auf.
(4) Diese Perspektive ist. oft. nützlich. 29. Werte von Reihen. um. abzuschätzen. oder Aussagen über Konvergenz. von. Reihen zu beweisen. Riemann Zeta Funktion. Bsp. EI Is. Gls. konvergiert. für. s. 1. Beweis. II Es. den a s 1. II TTTTI. t. E 1. 1 s. Also ist die Folge die Reihe. Ben. wegen. Berechnung. Euler zeigte. von. Is. von. Parlialsummen beschränkt 0. Gl. ist als. 1735 dass. bekannt. Gtz. 8 Hilbert'sches Problem. Def. D. Basler Problem. Alle. stellen der Zeta Funktion in. 3. dass. konvergiert. Riemannsche Vermutung. II. so. nicht trivialen. erfüllen. Null. Rels. 2 Millennium Problem. Absolute Konvergenz und Unordnungen. Sei wenn. e. a. v. E. Die Reihe. laut konvergiert. EI. an. heißt. absolut konvergent.
(5) 30. Satz. Absolute Konvergenz. Beweis. Sei. G. E. a. EI laut. auf. Wegen. Cauchy Kriterium. Def. Konvergenz. und. Dann heißt. Reihen. für g. IN. folgt die Implikation. 1N eine. D. Bijektion an. Unordnungen und absoluter Konvergenz. Den Zusammenhang. zw. liefert folgender Satz. den wir ohne Beweis angeben. Satz. 1. II. Ist. an. absolut konvergent mit Ian E E. agin 2. Ist. au E. k. IR. so. dass. w. dann. gilt für jede Unordnung. an. und. dann existiert. dem. s 26 1. Unordnung der Reihe. agin. aus. II. an konvergent aber nicht. für jede. 7 aging. c. reelle. absolut konvergent. Zahl CER eine Unordnung der Reihe Riemann'scher. Umordnungssatz.
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