§24: Mehrfache Integrale 24.1 DAS DOPPELINTEGRAL

KAPITEL VII: INTEGRALRECHNUNG IN MEHREREN VARIABLEN

§24: Mehrfache Integrale 24.1 DAS DOPPELINTEGRAL

Wiederholung von 10.1: f : [a, b] −→ R stetig, Z = {x 0 , · · · , x k } mit a = x ₀ < x ₁ < · · · < x _k = b = ⇒

= ⇒ UD (Z ) = P ^k

i=1

f _i · (x _i − x _i−1

| {z }

∆x i

), OD (Z) = P ^k

i=1

f _i · (x _i − x _i−1 )

mit f _i = min ©

f (x) : x ∈ [x _i−1 , x _i ] ª f _i = max ©

f (x) : x ∈ [x _i−1 , x _i ] ª . Dann gilt lim

n→∞ UD (Z ⁽ⁿ⁾ ) = lim

n→∞ OD (Z ⁽ⁿ⁾ ), wenn ϕ(Z ⁽ⁿ⁾ ) → 0, und dieser Limes wird mit R ^b

a

f (x) dx bezeichnet.

Bsp. 1 f : [0, 2π] −→ R : x 7−→ sin x Z = ©

|{z} 0

x 0

, π

|{z} 2

x 1

, |{z} 2π

x 2

ª , k = 2,

f ₁ = 0, f ₁ = 1, f ₂ = −1, f ₂ = 1,

UD (Z ) = 0 · ^π ₂ − 1 · ^3π ₂ = − ^3π ₂ , OD (Z) = 1 · ^π ₂ + 1 · ^3π ₂ = 2π, UD (Z ) ≤

2π R

0

f(x) dx = 0 ≤ OD (Z ).

>

<

f ₁ =0

− π /2 2 π

f ₂ =f ₁ =1

− −

f ₂ =−1

−

x y

Nun sei D ⊂ R ² und f : D −→ R : (x, y) 7−→ f (x, y) stetig.

D = D 1 ∪ · · · ∪ D k sei eine Zerlegung in Gebiete so, dass D i ∩ D j Fl¨ache 0 hat, f _i = min ©

f (x, y) : (x, y) ∈ D i

ª , f _i = max ©

f(x, y) : (x, y) ∈ D i

ª UD (Z ) = P ^k

i=1

f _i · Fl¨ache von D i , OD (Z) = P ^k

i=1

f _i · Fl¨ache von D i und ϕ(Z) = gr¨oßter Durchmesser der Gebiete D 1 , . . . , D k .

94

Satz 1 lim

n→∞ UD (Z ⁽ⁿ⁾ ) = lim

n→∞ OD (Z ⁽ⁿ⁾ ) falls ϕ(Z ⁽ⁿ⁾ ) → 0 (und D nicht zu irregul¨ar ist) und dieser Limes wird mit RR

D

f(x, y) dxdy bezeichnet.

Bsp. 2 f (x, y) = x − y, D = Gebiet im 1. Quadranten, das durch x ² + y ² = 1 begrenzt wird, Z = Zerlegung durch ein Raster mit Breite ¹ ₄ .

>

<

1/4 1/2 3/4 1

1/4 1/2 3/4 1

f= −1

f= −1/2

f= 0

f= 1/2

f= 1 y

x D 1

D 4

D 8

D 12 D 2

D 5

D 9

D 13 D 3

D 6

D 10

D 14 D 7

D 11

D 15

0 0.5 1

0

0.5

1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x y=x

z=f(x,y)=x − y

y z

y

z = f(x, y) = x − y

(Die Nummerierung der D _i ist ganz willk¨ urlich.) Z.B. f ₁ = f (0, 1) = −1 und f ₁ = f ¡ ₁

4 , ³ ₄ ¢

= − ¹ ₂ etc.

Wie in 10.2 hat RR

D

f (x, y) dxdy 5 Eigenschaften. Speziell gilt 1) Z Z

D

f(x, y) dxdy = [Volumen zwischen xy − Ebene und Fl¨ache, wo f (x, y) > 0]

−[Volumen zwischen xy − Ebene und Fl¨ache, wo f (x, y) < 0]

In Bsp. 2 ist daher aus Symmetriegr¨ unden Z Z

D

f (x, y) dxdy = Z Z

x≥0,y≥0 x2+y 2 ≤1

(x − y) dxdy = 0

24.2 ITERIERTE INTEGRALE

Wir f¨ uhren nun Doppelintegrale auf einfache Integrale zur¨ uck. D ⊂ R ² sei beschr¨ankt.

X sei der kleinste x -Wert in D, X der gr¨oßte; wir zerlegen das Volumen ¨ uber/unter D in kleine Scheiben parallel zur yz -Ebene so, wie man einen Brotlaib in Schnitten schneidet:

y(x) y(x)

)

=

( gr¨oßter kleinster

)

y-Wert in D f¨ ur FESTES x .

Wir nehmen an, dass D = ©

(x, y) : X ≤ x ≤ X, y(x) ≤ y ≤ y(x) ª

und dass y, y stetig sind. (Man nennt D dann Normalbereich bzgl. x.) Ein Kreisring ist z.B.

kein Normalbereich, kann aber in zwei Normalbereiche zerlegt werden:

Der Einfachheit halber sei f (x, y) ≥ 0.

Die i -te Scheibe tr¨agt zum Integral V i bei, V i ≈ Breite · Querschnittfl¨ache bei x i

= (x i − x i−1

| {z }

∆x i

) ·

y(x Z i ) y(x i )

f(x i , y) dy

| {z }

g(x i )

P

i

V _i ≈ P

i

(x _i − x _i−1 ) · g(x _i ) ist eine Riemannsumme des Integrals R ^X

X

g(x) dx und

daher erhalten wir

Satz 2 (Fubini) D ⊂ R ² , ( X

X )

=

( gr¨oßter kleinster

)

x-Wert in ganz D, ( y(x)

y(x) )

=

( gr¨oßter kleinster

)

y-Wert in D f¨ ur FESTES x.

Es gelte D = ©

(x, y) : X ≤ x ≤ X, y(x) ≤ y ≤ y(x) ª

und f : D −→ R sei stetig.

Dann ist

Z Z

D

f (x, y) dxdy = Z X x=X

µ ^y(x) Z

y=y(x)

f (x, y) dy

¶ dx

Bsp. 2

f¨ ur FESTES x ist y(x) = 0, y(x) = √

1 − x ² = ⇒

= ⇒ Z Z

D

f (x, y) dxdy = Z 1 x=0

µ ^√ Z ^{1−x 2}

y=0

(x − y) dy

¶

dx = Z 1 x=0

µ

xy − y ² 2

¶¯¯ ¯ ¯

¯

√ 1−x ²

y=0

dx =

= Z 1 x=0

µ x p

1 − x ² − 1 − x ² 2

¶ dx =

Z 1 0

x p

1 − x ² dx − 1 2

Z 1 0

(1 − x ² ) dx

| {z }

¡

x− ^x ₃ ³ ¢¯ ¯ ¹

x=0 = ² ₃

=

= Z 1 x=0

p 1 − x ² x dx − 1 3

= Z 0 u=1

√ u

|{z}

u ^1/2

· µ

− du 2

¶

− 1 3

° °

° °

° °

° °

° °

° °

1 − x ² = u du

dx = −2x, x dx = − du 2 x = 0 = ⇒ u = 1

x = 1 = ⇒ u = 0

= − 1 2

u ^3/2

3 2

¯ ¯

¯ ¯

0

u=1

− 1

3 = − 1 3

¡ 0 ^3/2 − 1 ^3/2 ¢

− 1 3 = 1

3 − 1

3 = 0,

wie wir schon in 24.1 feststellten.

Bemerkungen: 1) In Satz 2 wird außen nach x, innen nach y integriert. Ebenso geht es umgekehrt:

Z Z

D

f (x, y) dxdy = Z Y y=Y

µ ^x(y) Z

x=x(y)

f (x, y) dx

¶

dy, wenn ( Y

Y )

=

( gr¨oßter kleinster

)

y-Wert in ganz D,

( x(y) x(y)

)

=

( gr¨oßter kleinster

)

x-Wert in D f¨ ur FESTES y und D = ©

(x, y) : Y ≤ y ≤ Y , x(y) ≤ x ≤ x(y) ª . 2) Manchmal muss man D zerlegen:

Bsp. 3 Bestimme RR

D

x dxdy, wobei D von y ² = 4x und y = 2x − 4 begrenzt wird (vgl. ¨ Ub. 77, Math. A 1996/97).

y = 2x − 4 bzw. x = ^y ₂ + 2

<

>

x y

1 2 3 4

−2

−1 1 2 3 4

D

(4/4)= P 2

(1/−2)= P 1

← → festes x

Zur Bestimmung der Schnittpunkte P 1 , P 2

a setzt man 4x = y ² = (2x − 4) ²

= ⇒ · · · x = ( 1

4

y ² = 4x bzw. y = ±2 √

x bzw. x = ^y ₄ ² Somit ist X = 0, X = 4 und f¨ ur 0 ≤ x ≤ 1 ist y(x) = −2 √

x, y(x) = 2 √ x;

f¨ ur 1 ≤ x ≤ 4 ist hingegen y(x) = 2x − 4, y(x) = 2 √ x

= ⇒ Z Z

D

x dxdy = Z 1 x=0

µ ² Z ^{√ x}

y=−2 √ x

x dy

| {z }

xy

¯ ¯ ^{2 √ x}

y=−2 √ x

¶ dx +

Z 4 x=1

µ ² Z ^{√ x}

y=2x−4

x dy

| {z }

xy ¯ ¯ ^{2 √ x}

y=2x−4

¶

dx =

= Z 1 x=0

4x ^3/2 dx + Z 4 x=1

x · ¡ 2 √

x − 2x + 4 ¢

dx = 4 x ^5/2 5/2

¯ ¯

¯ ¯

1

0

+ µ

2 x ^5/2

5/2 − 2 x ³

3 + 4 x ² 2

¶¯¯ ¯

¯ ¯

4

1

=

= 8 5 + 4

5

¡ 4 |{z} ^5/2

2 ⁵

−1

| {z }

31

) − 2

3 (4 | {z } ³ − 1

63

) + 2(4 | {z } ² − 1

15

) = 8 + 4 · 31

5 − 42 + 30 = 72

5 = 14.4

Wenn wir außen nach y integrieren, brauchen wir keine Unterteilung:

<

x(y) − x(y) − x >

y

4 = Y −

festes Y

−2 = Y −

Z Z

D

x dxdy = Z 4 y=−2

µ Z ^{y 2 +2}

x=y ² /4

x dx

¶ dy =

= Z 4 y=−2

x ² 2

¯ ¯

¯ ¯

y 2 +2

x=y ² /4

dy = 1 2

Z 4 y=−2

õ y 2 + 2

| {z }

u

¶ ₂

− y ⁴ 16

! dy =

° °

° °

° °

° °

° °

u = y 2 + 2 du

dy = 1 2 dy = 2 du

= 1 2

Z 4 u=1

u ² · 2 du − 1 32

y ⁵ 5

¯ ¯

¯ ¯

4

y=−2

= u ³ 3

¯ ¯

¯ ¯

4

u=1

− 1 32

4 ⁵ − (−2) ⁵

5 =

= 64 − 1

3 − 1

2 ⁵ · 5 (4 ⁵ + 2 ⁵ ) = 21 − 1 5

µ 2 ⁵ + 1

| {z }

33

¶

= 14.4.

Bemerkung: Beachte, dass RR

D

1 · dxdy = (Volumen ¨ uber D unter der H¨ohe 1) =

(Fl¨ache von D) = A.

Satz 2 gibt A = Z X X

µ ^y(x) Z

y(x)

dy

¶ dx =

Z X X

¡ y(x) − y(x) ¢ dx =

Z b a

¡ f (x) − g(x) ¢

dx in der Notation von § 13, 13.1.

In Bsp. 3 ergibt sich A = 9 ( ¨ Ubung 77, Math. A 96/97).

24.3 STATISCHE MOMENTE UND SCHWERPUNKT

1) Die x -Achse werde als gewichtslose Stange vorgestellt, auf der bei x ₁ bzw. x ₂ die Massen m 1 bzw. m 2 sitzen, die Schwerkraft gehe in Richtung der negativen y -Achse. Wenn man die x -Achse im Punkt s balancieren will, so muss die Summe der Momente um s 0 sein, d.h.

(x ₁ − s)m ₁ + (x ₂ − s)m ₂ = 0 = ⇒ x ₁ m ₁ + x ₂ m ₂ = sm ₁ + sm ₂ = s(m ₁ + m ₂ )

= ⇒ s = x 1 m 1 + x 2 m 2

m ₁ + m ₂

Wenn wir k Massen m i bei x i haben, so ist (mit derselben Rechnung)

s = X k

i=1

x i m i

Á X k i=1

m i

Wenn eine Massendichte %(x) [kg/m] gegeben ist, so ist m _i ≈ %(x _i )∆x _i und der Grenzwert ϕ(Z) → 0 liefert

s = Z

x%(x) dx Á Z

%(x) dx

= statisches Moment/Gesamtmasse.

Def. S = P

x i m i bzw. R

x%(x) dx heißt statisches Moment der Massen- verteilung.

2) Nun werde die xy -Ebene als gewichtslose Platte vorgestellt, auf der in den Punk- ten P i = (x i , y i ) die Massen m i sitzen; die Schwerkraft gehe in Richtung der negativen z -Achse.

Der Schwerpunkt ~s = (s 1 , s 2 ) ist der Punkt, um den die Summe der Momente verschwindet, d.h.

X

i



 x i − s 1

y i − s 2

0



 ×



 0 0

−m i g



 = ~ 0 = ⇒ g X

i

m i



 −(y i − s 2 ) x i − s 1

0



 = ~ 0

= ⇒ X

m i x i = s 1 · X m i

X m i y i = s 2 · X m i

= ⇒ ~s =

µ P P m i x i

m _i ,

P P m i y i

m _i

¶ .

Wenn das Gebiet D mit der Dichte %(x, y) [kg/m ² ] belegt ist, erhalten wir

Satz 3 Der Schwerpunkt ~s = (s 1 , s 2 ) ist durch s 1 = S 1

M =

Z Z

D

x%(x, y) dxdy Á Z Z

D

%(x, y) dxdy,

s 2 = S 2

M =

Z Z

D

y%(x, y) dxdy Á Z Z

D

%(x, y) dxdy,

gegeben. Um diesen Punkt verschwindet das Moment der Schwerkraft.

Bezeichnung: Man nennt

 

 

 

 

 

 S ₁ =

Z Z

D

x%(x, y) dxdy

S 2 = Z Z

D

y%(x, y) dxdy

 

 

 

 

 



statische Momente bzgl. der

( y(!) x(!)

)

-Achse und schreibt

oft

( S _y (!) S x (!)

) f¨ ur

( S ₁ S 2

) .

Im Allgemeinen haben die statischen Momente die Dimension von x · % · dx · dy, d.h.

£ m · _m ^kg 2 · m ·m ¤

= [kg m]. Wenn % = 1, so nennt man RR

D

x dxdy, RR

D

y dxdy statische Momente des Gebietes D; sie haben Dimension [m ³ ].

Bsp. 2 D ist der Viertel-Einheitskreis und % = 1. Nach 24.2 ist RR

D

x dxdy = ¹ ₃ = RR

D

y dxdy; weiters ist RR

D

dxdy = Fl¨ache von D = ^π ₄

= ⇒ ~s = µ 1/3

π/4 , 1/3 π/4

¶

= µ 4

3π , 4 3π

¶

≈ (0.424, 0.424)

Bsp. 3 RR

D

x dxdy = 14.4 = 72

5 = 8 · 9 5 , RR

D

dxdy = 9 = ⇒ s 1 =

8·9 5

9 = 8 5 = 1.6 RR

D

y dxdy = 9 ( ¨ Ubung) = ⇒ s 2 = 9 9 = 1

= ⇒ ~s = µ 1.6

1

¶

<

>

x y

1 2 3 4

−2

−1 1 2 3 4

← D

s

^→

24.4 TR ¨ AGHEITSMOMENTE

1) Eine Masse m drehe sich am Ende einer gewichtslosen Stange der L¨ange r.

Eine Kraft F am Ende der Stange bewirkt eine Beschleunigung a und nach Newton ist F = m · a.

Wenn ω = ¨ ϕ die Winkelbeschleunigung ist, so gilt v = r ϕ, a ˙ = r ϕ ¨ = ⇒ F = rm ϕ. ¨ Die Kraft F entspricht dem Drehmoment N = rF = ⇒ N = rF = r ² m ϕ. ¨

Def. r ² m heißt Tr¨agheitsmoment und wird mit I bezeichnet (Tr¨agheit = inertia (lat.)).

Somit gilt

Drehmoment = Tr¨agheitsmoment · Winkelbeschleunigung (vgl.: Kraft = Masse · Beschleunigung)

2) %(x, y) sei eine Massendichte in der xy -Ebene.

Wenn wir um die Gerade g : a 1 x + a 2 y = b drehen, so hat der Punkt (x/y) von g den Abstand r = |a 1 x + a 2 y − b|

k~ak (s. LA, § 6,B) und daher ist das Tr¨agheitsmoment bzgl. Drehung um g gleich

I g = Z Z

D

r ² %(x, y) dxdy

= Z Z

D

(a 1 x + a 2 y − b) ²

k~ak ² %(x, y) dxdy.

Speziell die x -Achse ist durch 1 · y = 0, d.h. ~a = µ 0

1

¶

, b = 0 gegeben

= ⇒ I x = I x-Achse = RR

D

y ² %(x, y) dxdy und ebenso I _y = I _y-Achse = RR

D

x ² %(x, y) dxdy.

Weiters bezeichnet man RR

D

xy%(x, y) dxdy mit I _xy . Dann gilt also (mit M = RR

D

%(x, y) dxdy = Gesamtmasse)

I g = 1 k ~ak ²

Z Z

(a ² ₁ x ² + a ² ₂ y ² + b ² + 2a 1 a 2 xy − 2a 1 bx − 2a 2 by)%(x, y) dxdy

= 1

k ~ak ² (a ² ₁ I y + a ² ₂ I x + 2a 1 a 2 I xy + b ² M − 2a 1 bS 1 − 2a 2 bS 2 )

Speziell, wenn die Koordinatenachsen durch den Schwerpunkt gehen, so ist ~s = ~ 0, d.h. S 1 = S 2 = 0 = ⇒

I g = 1

k~ak ² (a ² ₁ I y + a ² ₂ I x + 2a 1 a 2 I xy )

| {z }

I h

+ b ² M k ~ak ²

| {z }

d ² M

wobei h : h~a, ~xi = 0 parallel zu g ist und durch ~ 0 = ~s geht und ~s = ~ 0 den Abstand d = |b|

k~ak von g hat. Das ergibt:

Satz 4 (Steiner)

I _g = I _h + d ² M, wenn h k g, ~s ∈ h,

M = Gesamtmasse, d = Abstand von ~s zu g

Bemerkung: Die Tr¨agheitsmomente spielen auch bei der Balkenbiegung eine große Rolle, s. Hofstetter 4.4.

Bsp. 2 Viertelkreis. Wir bezeichnen mit ˜ x, y ˜ verschobene Koordinaten durch den Schwerpunkt. (Vorsicht: Bei Hofstetter hingegen x hier = x Hofst. , y hier = y _Hofst. ;

˜

x hier = x Hofst. , y ˜ hier = y Hofst. ) Dann ist ˜ x = x − 4

3π , y ˜ = y − 4 3π ;

I x = Z Z

Viertelkreis

y ² dxdy

= Z 1 x=0

µ ^√ Z ^{1−x 2}

y=0

y ² dy

¶ dx =

Z 1 x=0

y ³ 3

¯ ¯

¯ ¯

√ 1−x ²

y=0

dx

= 1 3

Z 1 0

(1 − x ² ) ^3/2 dx

= 1 3

Z π/2 0

(1 − sin ² t) ^3/2 cos t dt

° °

° °

° °

° °

° °

Substitution: x = sin t dx = cos t dt

x = 0 “ = ⇒ ” t = 0 x = 1 “ = ⇒ ” t = π/2

= 1 3

Z π/2 0

cos ⁴ t dt = (Math. A, S. 137) = 1 3 · 3π

16 = π

16

Aus Symmetriegr¨ unden ist I x = I y .

Nach Steiner ist I _{x ˜} = I _x − µ 4

3π

¶ ₂

· π 4 = π

16 − 4

9π = I _{y ˜} . Weiters ist

I xy = Z Z

D

xy dxdy = Z 1 x=0

x

µ ^√ Z ^{1−x 2}

y=0

y dy

| {z }

1 2 y ²

¯ ¯ ^{√ 1−x 2}

y=0

¶ dx

= Z 1

0

1

2 (x − x ³ ) dx = 1 2

µ x ² 2 − x ⁴

4

¶¯¯ ¯

¯ ¯

1

0

= 1 2 · 1

4 = 1 8

Allgemein gilt ˜ x = x − s 1 , y ˜ = y − s 2 wenn (s 1 , s 2 ) die Koordinaten von ~s im xy -System sind = ⇒

I _{x˜ ˜ y} = Z Z

D

% · (x − s ₁ )(y − s ₂ ) dxdy = Z Z

D

% · (xy − s ₁ y − s ₂ x + s ₁ s ₂ ) dxdy,

= I xy − s 1 s 2 ·M

z}|{ S x −s 2 s 1 ·M

z}|{ S y +s 1 s 2 M = I xy − s 1 s 2 M

Somit ist beim Viertelkreis

I _{x˜ ˜ y} = I _xy − s ₁ s ₂ M = 1 8 −

µ 4 3π

¶ ₂

· π 4 = 1

8 − 4 9π .

F¨ ur die Gerade g : a ₁ x ˜ + a ₂ y ˜ = 0 mit k~ak = 1 durch den Schwerpunkt ist I g = a ² ₁ I y ˜ + a ² ₂ I ˜ x + 2a 1 a 2 I x ˜ y ˜ = ~a ^T

µ I _{y ˜} I _{x ˜ y ˜} I x˜ ˜ y I x ˜

¶

~a,

eine quadratische Form in ~a.

Die Maximal-/Minimalwerte von I _g sind daher die Eigenwerte von J =

µ I y ˜ I x˜ ˜ y

I ˜ x˜ y I x ˜

¶ .

Def. Die Maximal-/Minimalwerte von I g mit g durch ~s heißen Haupttr¨agheits- momente , und die Achsen in Richtung der Eigenvektoren heißen Hauptachsen der Dichte % auf D.

Bezeichnung: ξ, η seien die Koordinaten in Richtung der Hauptachsen, I ξ , I η die

Haupttr¨agheitsmomente.

Bsp. 2 J =





π

16 − _9π ^{4 1} ₈ − _9π ⁴

1

8 − _9π ⁴ ₁₆ ^π − _9π ⁴



 ≈

µ 0.055 −0.016

−0.016 0.055

¶

Allgemein: A =

µ a b b a

¶

; det (A − λI) = 0 = ⇒ (a − λ) ² − b ² = 0 = ⇒ (a − λ) ² = b ² = ⇒ a − λ = ±b = ⇒ 1 λ 2 = a ± b und die zugeh¨origen Eigenvektoren sind

µ 1 1

¶ , t

µ 1

−1

¶

. Somit

I ξ = a + b = π 16 + 1

8 − 8

9π ≈ 0.0384 I η = a − b = π

16 − 1

8 ≈ 0.0713

In den neuen Koordinaten ξ, η ist ˜ J =

µ I _η 0 0 I ξ

¶

diagonal und I ξη = 0. Bei Drehung um die ξ -Achse hat der Viertelkreis also Tr¨agheitsmoment I ξ = 0.0384, d.h. er verh¨alt sich so, als ob seine gesamte Masse A = ^π ₄ im Abstand i ξ von der ξ -Achse entfernt ist, wobei i ² _ξ A = I ξ , d.h.

i ξ = r I ξ

A ≈ 0.221. Ebenso i η = r I η

A ≈ 0.301

Def. i ξ = q I ξ

M , i η = q I η

M heißen Hauptradien der Massenverteilung %. Ihre Einheit ist L¨ange.

24.5 SUBSTITUTION (=KOORDINATENWECHSEL) BEI RR

Bsp. 2

Ein rechteckiges Raster in r, ϕ entspricht einer Zerlegung in x, y. Nach § 21.5 ist die [Fl¨ache von D i ] ≈

¯ ¯

¯ ¯ ∂(x, y)

∂(r, ϕ)

¯ ¯

¯ ¯ · drdϕ. Es sei f(x, y) gegeben, g(r, ϕ) = f ¡

x(r, ϕ), y(r, ϕ) ¢

·

¯ ¯

¯ ¯ ∂(x, y)

∂(r, ϕ)

¯ ¯

¯ ¯ = ⇒ Z Z

D

f (x, y) dxdy =

= lim

ϕ(Z)→0

P

i

f _i · Fl¨ache von D i = lim

ϕ(Z)→0

P

i

f _i ·

¯ ¯

¯ ¯ ∂(x, y)

∂(r, ϕ)

¯ ¯

¯ ¯

| {z }

=r

· drdϕ

| {z }

=Fl¨ ache von ˜ Di

=

= Z Z

D ˜

g(r, ϕ) drdϕ = Z Z

D ˜

f ¡

x(r, ϕ), y(r, ϕ) ¢

| {z }

f(r,ϕ) meist kurz ˜ f(r,ϕ), s.§ 19.3

·r drdϕ

Diese ¨ Uberlegung funktioniert f¨ ur beliebige Koordinaten und ergibt:

Satz 5 v ₁ (x, y), v ₂ (x, y) seien Koordinaten. Dann ist Z Z

D

f (x, y) dxdy = Z Z

D ˜

f( ¡

x(v 1 , v 2 ), y(v 1 , v 2 ) ¢

·

¯ ¯

¯ ¯ ∂(x, y)

∂(v 1 , v 2 )

¯ ¯

¯ ¯ dv 1 dv 2 ,

wobei ˜ D dem Bereich D in der v 1 , v 2 -Ebene entspricht.

Speziell in Polarkoordinaten:

Z Z

D

f(x, y) dxdy = Z Z

D ˜

f ˜ (r, ϕ)r drdϕ

Bemerkungen: 1) r drdϕ entspricht der Fl¨ache von D i (s.o.) und l¨asst sich wie in

§ 21.5, S. 54 unten veranschaulichen:

2) Das analoge zu Satz 5 in einer Variablen ist die Substitution in § 11.4. Dort sind

die Buchstaben etwas anders gew¨ahlt:

Z b a

h ¡

g(x) ¢ dg

dx · dx = Z g(b) g(a)

h(t) dt .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . f x v ^∂x _∂v dv f x dx Weiters entspricht [a, b] dem Bereich D und

( £ g(a), g(b) ¤

falls g(a) < g(b)

£ g(b), g(a) ¤

falls g(b) < g(a) )

dem Bereich ˜ D.

In einer Variablen fehlt der Betrag bei der “ Funktionaldeterminante” _dx ^dg , weil man rechts nicht ¨ uber ˜ D integriert, sondern ein Kurvenintegral schreibt (siehe sp¨ater).

Bsp. 3 D = Viertelkreis, f (x, y) = x

= ⇒ S ₁ = Z Z

D

x dxdy = Z

D ˜

r cos ϕ

| {z }

x

·r drdϕ =

= Z 1 r=0

µ Z ^π/2

ϕ=0

r ² cos ϕ dϕ

¶ dr =

Z 1 r=0

(r ² sin ϕ)

¯ ¯

¯ ¯

π/2

ϕ=0

dr =

= Z 1 r=0

r ² dr = r ³ 3

¯ ¯

¯ ¯

1

r=0

= 1 3

√ (vgl. 24.3)

I y = Z Z

D

x ² dxdy = Z Z

D ˜

r ² cos ² ϕ · r drdϕ = Z 1 r=0

µ Z ^π/2

ϕ=0

r ³ cos ² ϕ dϕ

¶ dr =

= Z 1 r=0

r ³ · Z π/2 ϕ=0

cos ² ϕ dϕ

| {z }

§ 11.8: halbe Inter- valll¨ ange = π

4

dr = π 4 · r ⁴

4

¯ ¯

¯ ¯

1

0

= π

16 , s. 24.4.

Bsp. 4 Berechne RR

D

(x ⁴ − y ⁴ ) dxdy, wobei D das Gebiet im ersten Quadranten ist, das durch die Kreise x ² + y ² = 4, x ² + y ² = 9

und die Hyperbeln x ² − y ² = 1, x ² − y ² = 2 eingeschlossen wird.

Wir f¨ uhren die neuen Koordinaten u = x ² + y ² , v = x ² − y ² ein.

Dem Gebiet D entspricht dann ˜ D : 4 ≤ u ≤ 9, 1 ≤ v ≤ 2.

D

← x²−y²=2 bzw.

v=2

← x²−y²=1 bzw.

v=1

← x²+y²=9 bzw.

u=9

← x²+y²=4 bzw.

u=4

1 2 3 x

y

← D ~

4 9

1 2

u v

x ⁴ −y ⁴ = (x ² +y ² )(x ² −y ² ) = u·v ^{Satz 5} = ⇒ Z Z

D

(x ⁴ − y ⁴ ) dxdy = Z Z

D ˜

u · v

¯ ¯

¯ ¯ ∂(x, y)

∂(u, v)

¯ ¯

¯ ¯ dudv.

Nach Math. B, § 21, Satz 4, S. 55 gilt f¨ ur die Funktionaldeterminanten

∂(x, y)

∂(u, v) · ∂(u, v)

∂(x, y)

| {z }

= 1

= det µ _∂u

∂x ∂u

∂y

∂v

∂x ∂v

∂y

¶

= det

µ 2x 2y 2x −2y

¶

= −8xy

= ⇒

¯ ¯

¯ ¯ ∂(x, y)

∂(u, v)

¯ ¯

¯ ¯ = 1

| − 8xy| = 1

8xy , da in D x > 0, y > 0.

Das m¨ ussen wir noch durch u, v ausdr¨ ucken:

u ² − v ² = (x ² + y ² ) ² − (x ² − y ² ) ² = x ⁴ + 2x ² y ² + y ⁴ − (x ⁴ − 2x ² y ² + y ⁴ ) = 4x ² y ²

= ⇒ √

u ² − v ² = 2|xy|

= ⇒ in D gilt 1

8xy = 1

4 √

u ² − v ²

= ⇒ Z Z

D

(x ⁴ − y ⁴ ) dxdy = Z Z

D ˜

uv 4 √

u ² − v ² dudv =

= 1 4

Z 9 u=4

u µ Z ²

v=1

√ v

u ² − v ² dv

¶ du =

= 1 4

Z 9 u=4

u

µ ^u Z ^{2 −4}

t=u ² −1

−dt 2 √

t

¶ du =

° °

° °

° °

° °

° °

° °

° °

° °

t = u ² − v ² dt

dv = −2v v dv = − dt

2

v = 1 = ⇒ t = u ² − 1 v = 2 = ⇒ t = u ² − 4

= 1 4

Z 9 u=4

u µ

− √ t

¯ ¯

¯ ¯

u ² −4

t=u ² −1

¶

du = − 1 4

Z 9 u=4

³ u q

u ² − 4

| {z } − u q u ² − 1

| {z }

´ du =

s s ˜

= − 1 4

· 1

3 (u ² −4) ^3/2 − 1

3 (u ² −1) ^3/2

¸¯¯ ¯

¯ ¯

9

u=4

= − 1 12

£ 77 ^3/2 −12 ^3/2 −80 ^3/2 +15 ^3/2 ¤

≈ 1.945

Bsp. 5 Man bestimme die Fl¨ache A der Kardioide r = 1 + cos ϕ (Math. B, ¨ Ubung 31 vom 24. 3. 99).

π 2 π

1 2 r

φ

>

>

D ~

A = Z Z

D

dxdy ^{Satz 5} = Z Z

D ˜

r drdϕ = Z 2π ϕ=0

µ ^1+cos Z ^ϕ

r=0

r dr

¶ dϕ =

= Z 2π ϕ=0

r ² 2

¯ ¯

¯ ¯

1+cos ϕ

r=0

dϕ = 1 2

Z 2π 0

(1 + cos ϕ) ² dϕ =

= 1 2

· Z ^2π

0

1 dϕ

| {z }

2π

+2 Z 2π

0

cos ϕ dϕ

| {z }

0

+ Z 2π

0

cos ² ϕ dϕ

| {z }

¸

= 3π

2 ≈ 4.7 FE.

halbe Intervalll¨ ange

= π

( s. Math. A, 11.8, S. 97)

− + +

24.6 DIE 1. GULDIN’SCHE REGEL

Wenn die Kurve y = f(x) um die x -Achse rotiert, so hat nach Math. A, 13.2 der entstehende K¨orper Volumen V = π R ^b

a

f(x) ² dx.

D sei der Querschnitt

Dann ist S 2 = [statisches Moment bzgl. x -Achse] =

= Z Z

D

y dxdy = Z b x=a

µ ^f(x) Z

y=0

y dy

¶

dx = 1 2

Z b a

f (x) ² dx = ⇒ V = 2πS 2 = 2π · A · s 2 =

= A · 2πs 2 , wobei A = Fl¨ache von D, ~s = (s 1 , s 2 ) = Schwerpunkt von D.

Dann ist 2πs 2 = Wegl¨ange des Schwerpunkts bei der Drehung und daher gilt Satz 6 (Guldin)

Drehvolumen = Querschnittfl¨ache · Schwerpunktweg.

Bemerkung: Durch Subtraktion sehen wir, dass das auch f¨ ur Gebiete der Form

gilt.

Bsp. 6 Torus = Drehk¨orper bei Rotation eines Kreises:

V = Fl¨ache · Weg r ² π · 2πR = 2π ² r ² R.

24.7 DREIFACH-INTEGRALE

Analog zu 24.1 sei D ⊂ R ³ und f : D −→ R : (x, y, z) 7−→ f(x, y, z) stetig und U D(Z) = P ^k

j=1

f _i · Volumen von D i und ¨ahnlich OD(Z).

Dann gilt wie in Satz 1 lim U D(Z ⁽ⁿ⁾ ) = lim OD(Z ⁽ⁿ⁾ ) und wird mit Z Z Z

D

f(x, y, z) dxdydz

bezeichnet.

Wenn z.B. ein K¨orper D mit Massendichte % [kg/ m ³ ] belegt ist, so ist M = Gesamtmasse =

Z Z Z

D

%(x, y, z) dxdydz.

Analog zu 24.2, Satz 2 gilt Z Z Z

D

f(x, y, z) dxdydz = Z X x=X

à y(x) Z

y=y(x)

µ ^z(x,y) Z

z=z(x,y)

f(x, y, z) dz

¶ dy

! dx,

wobei X, X, y, y wie dort sind und

( z(x, y) z(x, y)

)

=

( gr¨oßter kleinster

)

z -Wert in D f¨ ur

feste x, y.

Bsp. 7 Der Tetraeder, der durch die 3 Koordinatenebenen und durch die Ebene x + y + z = 1 begrenzt wird, ist mit Massendichte %(x, y, z) = x belegt. Bestimme seine Masse!

Offenbar ist X = 0, X = 1;

f¨ ur festes x ist

y(x) = kleinster y -Wert = 0 y(x) = gr¨oßter y -Wert = 1 − x

f¨ ur feste x, y ist z(x, y) = 0, z(x, y) = 1 − x − y Also M =

Z 1 x=0

à 1−x Z

y=0

µ ^1−x−y Z

z=0

x dz

¶ dy

! dx =

Z 1 x=0

µ ^1−x Z

y=0

x · z

¯ ¯

¯ ¯

1−x−y

z=0

dy

¶ dx =

= Z 1 x=0

µ ^1−x Z

y=0

x · (1 − x − y) dy

¶ dx =

Z 1 x=0

x ·

·

− (1 − x − y) ² 2

¸¯¯ ¯

¯ ¯

1−x

y=0

dx =

= Z 1 x=0

x · (1 − x) ²

2 dx = 1 2

Z 1 x=0

(x − 2x ² + x ³ ) dx =

= 1 2

µ 1 2 − 2

3 + 1 4

¶

= 1

2 · 6 − 8 + 3

12 = 1

24

Ebenso gut k¨onnte man in einer anderen Reihenfolge integrieren, z.B.

M = Z 1 z=0

à 1−z Z

y=0

µ ^1−y−z Z

x=0

x dx

¶ dy

!

dz.

24.8 SCHWERPUNKT UND TR ¨ AGHEITSMOMENTE IM R ³ 1) Wir gehen nun zur Indexschreibweise ¨ uber, d.h. ~x =



 x y z



 =



 x 1

x 2

x 3



 . F¨ ur dx 1 dx 2 dx 3 schreiben wir dV.

Es sei eine Massenverteilung %(~x) in D gegeben. Der Schwerpunkt ~s = (s 1 , s 2 , s 3 ) ist der Punkt, um den die Summe der Drehmomente verschwindet, egal in welche Richtung ~v die Schwerkraft wirkt. Es sei z.B. ~v =



 0 0

−1



 = ⇒

N ~ = Drehmoment um ~s = X

Kraftarm × Kraftvektor

= Z Z Z

(~x − ~s) × %(~x) ·



 0 0

−g



 dV = −g Z Z Z

%(~x)



 x ₂ − s ₂

−x 3 + s 3

0



 dV = ^! ~ 0

= ⇒ Z Z Z

%(~x)x 2 dV

| {z }

S 2

= s 2

Z Z Z

%(~x) dV = s 2 · M

Allgemein gilt also

s i = S i

M = 1 M

Z Z Z

D

x i %(~x) dV ,

wobei M = Gesamtmasse = Z Z Z

D

%(~x) dV.

Bezeichnung: S 1 = RRR

x 1 %(~x) dV heißt statisches Moment bzgl. der x 2 x 3 - Ebene und wird auch mit S x 2 x 3 bezeichnet. Analog S x 1 x 3 , S x 2 x 3 .

Also gilt ~s = 1

M (S x 2 x 3 , S x 1 x 3 , S x 1 x 2 ).

Bsp. 7 Der Tetraeder sei wie oben = ⇒ S 1 = S x 2 x 3 =

Z Z Z

D

x 1 · %(~x)

|{z}

=x 1

dV = · · · = Z 1 0

x ² ₁ · 1

2 (1 − x 1 ) ² dx 1 =

= 1 2

µ 1 3 − 2

4 + 1 5

¶

= 1

60 = ⇒ s ₁ = S 1

M = 1/60 1/24 = 24

60 = 2 5 . Analog ist S ₂ =

Z Z Z

x ₂ %(~x) dV = · · · = 1 120 , S 3 =

Z Z Z

x 3 %(~x)

|{z}

x 1

dV = (hier aus Symmetrie) =

= Z Z Z

x 2 x 1 dV = S 2 = 1 120 und daher ~s =



 2/5 1/5 1/5



 .

Beim homogen belegten Tetraeder (d.h. %(~x) = 1) ist der Schwerpunkt in 1

4 · P

Eckvektoren =

hier



 1/4 1/4 1/4



 .

Bei unserer Dichte %(~x) = x ₁ hingegen ist wegen der gr¨oßeren Dichte bei A der Schwerpunkt in Richtung A verschoben.

2) Tr¨ agheitsmomente

Der Punkt ~x hat Abstand p

x ² ₂ + x ² ₃ von der x 1 -Achse

= ⇒ I 1 =Tr¨agheitsmoment bzgl. Drehung

um die x 1 -Achse =

= Z Z Z

D

(x ² ₂ + x ² ₃ )%(~x) dV.

Analog I 2 = Z Z Z

D

(x ² ₁ + x ² ₃ )%(~x) dV, I 3 = Z

D

Z Z

(x ² ₁ + x ² ₂ )%(~x) dV .

(Beachte: Statische Momente sind bzgl. Hyperebenen, Tr¨agheitsmomente sind bzgl.

Geraden)

Ebenso wie im R ² gilt und beweist man im R ³ (bzw. R ⁿ ) den Satz von Steiner:

I g = I h + d ² M, wobei h k g; ~s ∈ h, M = Gesamtmasse, d = Abstand (~s, g).

Wir wollen nun wieder die Tr¨agheitsmomente verschiedener Geraden h durch den

Schwerpunkt vergleichen. Die Koordinaten seien so verschoben, dass ~s = ~ 0. Der

Einfachheit halber schreibe ich wieder ~x daf¨ ur (in 24.4 hingegen ˜ x, y). ˜

Es sei h : ~x = λ~r eine Gerade durch ~s = ~ 0, k~rk = 1.

Dann hat ein beliebiger Punkt

~x von h den Abstand d = p

k~xk ² − h~r, ~xi ² :

= ⇒ I h = Z Z Z

D

d ² · %(~x) dV = Z Z Z

D

¡ k~xk ² − h~r, ~xi ² ¢

%(~x) dV =

= Z Z Z

D

£ x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ − (r 1 x 1 + r 2 x 2 + r 3 x 3 ) ²

| {z }

¤ %(~x) dV =

x ² ₁ (1 − r ₁ ²

| {z }

r ² ₂ +r ₃ ²

) − 2r 1 r 2 x 1 x 2 + x ² ₂ (1 − r ² ₂

| {z }

r ² ₁ +r ² ₃

) + x ² ₃ (1 − r ₃ ² )

| {z }

r ₁ ² +r ₂ ²

−2r 1 r 3 x 1 x 3 − 2r 2 r 3 x 2 x 3

= Z Z Z

D

£ r ₁ ² (x ² ₂ + x ² ₃ ) + r ₂ ² (x ² ₁ + x ² ₃ ) + r ₃ ² (x ² ₁ + x ² ₂ ) − 2r 1 r 2 x 1 x 2 − 2r 1 r 3 x 1 x 3 −

− 2r 2 r 3 x 2 x 3

¤ %(~x) dV =

= r ₁ ² I 1 + r ² ₂ I 2 + r ₃ ² I 3 − 2r 1 r 2 I 12 − 2r 1 r 3 I 13 − 2r 2 r 3 I 23 = ~r ^T J~r mit J =



 I 1 −I 12 −I 13

−I 12 I 2 −I 23

−I 13 −I 23 I 3



 und I 1 = Z Z Z

D

(x ² ₂ + x ² ₃ )%(~x) dV,

I ₁₂ = Z Z Z

D

x ₁ x ₂ %(~x) dV etc.

Bemerkungen: 1) a ₁ , a ₂ auf Seite 105 entspricht −r ₂ , r ₁ hier.

Daher sind I _{y ˜} = I ₂ , I _{˜ x} = I ₁ dort in anderer Position in der Matrix J und fehlt das − bei I _{x ˜ y ˜} = I ₁₂ .

2) In Matrixschreibweise ist I _h =

Z Z Z ¡

~x ^T · ~x − (~r ^T · ~x) ² ¢

%(~x) dV =

= Z Z Z

(~r | {z } ^T · ~r

=1

·~x ^T · ~x − ~r ^T · ~x · ~x ^T · ~r)%(~x) dV =

hier 3×3 Einheitsmatrix

= ~r ^T · Z Z Z

(~x ^T · ~x · I ^↓ 3 − ~x · ~x ^T )%(~x) dV

| {z }

J

· ~r

Diese Formel w¨ urde auch im R ⁿ gelten (mit I n statt I 3 ).

3) Nach Lineare Algebra § 7 F sind die Maximal-/Minimalwerte von I h der gr¨oßte bzw. kleinste Eigenwert von J. Die Eigenwerte von J heißen wieder Haupttr¨ ag- heitsmomente und die Achsen in Richtung der Eigenvektoren Hauptachsen.

Bsp. 7 Bestimme J f¨ ur einen homogenen Zylinder mit Radius R, H¨ohe h, % = 1!

Wir w¨ahlen die Koordinaten durch den Schwerpunkt:

Aus Symmetriegr¨ unden ist I 1 = I 2 und I 12 = I 13 = I 23 = 0.

(Z.B. I 12 = Z Z Z

D

x 1 x 2

| {z } dV = 0

positiv f¨ ur (x 1 , x 2 ) im 1. und 3. Quadranten negativ f¨ ur (x 1 , x 2 ) im 2. und 4. Quadranten)

I 3 = Z Z Z

D

(x ² ₁ + x ² ₂ ) dx 1 dx 2 dx 3 = Z h/2 x 3 =−h/2

µ Z Z

x ² ₁ +x ² ₂ ≤R ² r ²

z }| { (x ² ₁ + x ² ₂ )

rdrdϕ

z }| { dx 1 dx 2

| {z }

von x 3 unabh¨ angig

¶

dx 3 =

= Z h/2 x 3 =−h/2

dx 3 · Z 2π ϕ=0

µ Z ^R

r=0

r ² · r dr

¶

| {z } R ⁴

4

dϕ = h · R ⁴

4 · 2π = hR ⁴ π

2

I 1 = I 2 = Z Z Z

(x ² ₁ + x ² ₃ ) dV = Z h/2 x 3 =−h/2

µ Z ^R

r=0

Z 2π ϕ=0

(r ² cos ² ϕ + x ² ₃ )r dϕ dr

¶ dx 3 =

↑

halbe Intervalll¨ ange

Z h/2 x 3 =−h/2

µ Z ^R

r=0

(πr ³ + 2πx ² ₃ r) dr

¶ dx ₃ =

Z h/2

−h/2

µ π R ⁴

4 + πx ² ₃ R ²

¶ dx ₃

= ⇒ I 1 = hR ⁴ π

4 + h ³ R ² π

12 = hR ² π(3R ² + h ² )

12 ,

J = hR ² π 12



 3R ² + h ² 0 0 0 3R ² + h ² 0

0 0 6R ²



 .

Es ist also leichter, den Zylinder um die x 3 -Achse als um die x 1 -Achse in Drehung zu versetzen, solange 6R ² < 3R ² + h ² , d.h. R < h

√ 3 .

Bemerkung: Wenn man so wie oben bzgl. x ₁ , x ₂ Polarkoordinaten einf¨ uhrt, nennt man das Zylinderkoordinaten, d.h. ~x =



 r cos ϕ r sin ϕ

x ₃



 . Dann gilt dV = dx 1 dx 2 dx 3 = r drdϕdx 3 .

Wenn man ¨ uber Kugelteile integriert, sind hingegen Kugelkoordinaten vorteilhaft,

siehe 24.9.

24.9 Koordinatenwechsel in RRR

Analog zu 24.5 betrachten wir neue Koordinaten v ₁ , v ₂ , v ₃ und darin eine Zerlegung von ˜ D in Quader ˜ D i :

Dies entspricht einer krummlinigen Zerlegung D i in den alten Koordinaten x 1 , x 2 , x 3

und es gilt (vgl. § 21.5):

Volumen von D _i ≈

¯ ¯

¯ ¯

¯ det µ ∂~x

∂v 1

, ∂~x

∂v 2

, ∂~x

∂v 3

¶

| {z }

¯ ¯

¯ ¯

¯ dv ₁ dv ₂ dv ₃

= det J = ∂(x 1 , x 2 , x 3 )

∂(v 1 , v 2 , v 3 )

= ⇒ Z Z Z

D

f(~x) dx 1 dx 2 dx 3 = lim

ϕ(Z)→0

X f _i · Volumen von D i =

= lim

ϕ(Z)→0

P

i

f _i ·

¯ ¯

¯ ¯ ∂(x 1 , x 2 , x 3 )

∂(v ₁ , v ₂ , v ₃ )

¯ ¯

¯ ¯ dv 1 dv 2 dv 3 = Z Z Z

D ˜

f ¡

~x(~v) ¢ ¯

¯ ¯

¯ ∂(x 1 , x 2 , x 3 )

∂(v ₁ , v ₂ , v ₃ )

¯ ¯

¯ ¯ dv 1 dv 2 dv 3

Speziell f¨ ur Kugelkoordinaten gilt (§ 21.4) x ₁ = % sin ϑ cos ϕ

x 2 = % sin ϑ sin ϕ x ₃ = % cos ϑ

∂(x ₁ , x ₂ , x ₃ )

∂(%, ϑ, ϕ) =

( ¨ Ub. 76 v.2.6.99)

% ² sin ϑ.

Schreibweise: Man schreibt oft nur ein Integral statt der 2, 3, bzw. n Integrale im R ² , R ³ , bzw. R ⁿ .

Die ¨ Uberlegungen oben gelten analog auch im R ⁿ und ergeben