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Knaster-Tarski Fixpunkttheorem

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Academic year: 2021

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Angewandte Softwareverifikation mit einem interaktiven Theorembeweiser Version 28. M¨arz 2011

Knaster-Tarski Fixpunkttheorem

Ein vollst¨andiger Verband ist eine geordnete Menge in der Infima (gr¨oßte untere Schran- ken) und Suprema (kleinste obere Schranken) f¨ur beliebige (insbesondere auch unendlich große) Teilmengen existieren. Eine Funktionf auf einem Verband ist monton, wenn aus x≤y auchf(x)≤f(y) folgt. Ein Fixpunkt ist ein Element x mit f(x) = x.

Das Knaster-Tarski Fixpunkttheorem besagt, dass die Fixpunkte einer beliebigen mo- notonen Funktion auf einem vollst¨andigen Verband wieder einen vollst¨andigen Verband auf der gleichen (eingeschr¨ankten) Ordnung bilden (das ist die vollst¨andige Version, praktisch interessiert man sich meist nur f¨ur den gr¨oßten oder kleinsten Fixpunkt).

Aufgabe

1. Formalisieren Sie vollst¨andige Verb¨ande, monotone Funktionen und Fixpunkte f¨ur beliebige Ordnungsrelationen (auf beliebigen Tr¨agermengen).

2. Beweisen Sie das Knaster-Tarski Fixpunkttheorem in Pvs.

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