L ¨OSUNGEN ZU DEN T4- ¨UBUNGEN MITSCHRIFT ZUR ¨UBUNGSGRUPPE VON PROF. GROSSE

MITSCHRIFT ZUR ¨UBUNGSGRUPPE VON PROF. GROSSE

MARKUS DRAPALIK VERSION VOM 14.03.2006

1. Bsp 1

1.1. Angabe. Gegeben sei eine Observable im endlich-dimensionalen Hilbertraum. Mit Tr sei der Spurzustand bezeichnet. Zeigen Sie die Linearit¨at, die Zyklizit¨at und die Invarianz unter unit¨aren Transformationen f¨ur diesen Zustand. Betrachten sie auch die Normierung!

1.2. L¨osung.

TrA=X

n

hϕn|Aϕni

1.2.1. Linearit¨at.

Tr(λA+µB) = X

n

hϕn|(λA+µB)ϕ_ni

= X

n

(hϕn|λAϕni+hϕn|µBϕni)

= X

n

λhϕ_n|Aϕ_ni+X

n

µhϕ_n|Bϕ_ni

= λTrA+µTrB 1.2.2. Positivit¨at.

Tr (A^∗A) = X

n

hϕn|A^∗Aϕni

= X

n

hAϕn|Aϕni

= X

n

| |Aϕni |²≥0

1.2.3. Zyklizit¨at.

TrAB = X

n

hϕn|ABϕni

= X

n

hB^†A^†ϕn|ϕni

= X

n

hBAϕn|ϕni

= X

n

hϕn|BAϕni

| {z } reell!

= TrBA

1

Tr U^†A

U = TrU U^†

| {z }

1

A

= TrA 1.2.5. Normierung.

Tr1 = X

n

hϕn|1ϕni

= X

n

1

= N

Normierung daher mit _N¹:

w(1) = 1 N

X

n

hϕn|1ϕni

| {z }

N

= 1

2. Bsp 2

2.1. Angabe. Gegeben sei der Spurzustand ¨uber den zwei mal zwei Matrizen (Spin ¹₂ System).

Berechnen Sie die Erwartungswerte der Spinkomponenten und deren Schwankungsquadrate.

Erl¨auterungen

Was ist der Erwartungswert vonS_i im Zustand%?

hSii_%= Tr%Si

weiters:

%^† =%≥0

Tr%= 1

A7→w(A)|∈C

αhψ1|Aψ1i+ (1−α)hψ2|Aψ2i

(A7→ hψ1|Aψ1i A7→ hψ2|Aψ2i

αP₁+ (1−α)P₂=

1 +n3 n1−in2

n1+n2 1−n3

1 2 Xn²_i = 1⇒reiner Zustand

Xn²_i <1⇒gemischter Zustand (Bloch-Sph¨are 2.2. L¨osung.

Basis: A2={1, ~σ}, A2= Mat (2,C) σ_iσ_j=δ_ij+iε_ilkσ_k

σ₁=

0 1 1 0

, σ₂=

0 −i i 0

, σ₁=

1 0 0 −1

Trσ₁ = h↑ |σ₁| ↑i+h↓ |σ₁| ↓i

= 1 0

0 1 1 0

1 0

+ 0 1

0 1 1 0

0 1

= 1 0

0 1

+ 0 1

1 0

= 0 analog

Trσ₂= Trσ₃= 0

(∆σi)²= σ²_i

− hσii²

Trσ_i² = h↑ |1| ↑i+h↓ |1| ↓i

= 2 Schwankungsquadrat ist also 2

f¨urSi= ^~₂σi:

(∆σ_i)² = 1

2Tr S_i²

= 1

2

~² 4 2

= ~² 4 2.3. andere L¨osung.

P = 1 2

1 1

1 1

= 1

2

1 1 1 1

= %

hσ_ii_% = Tr (%σ_i) 2.4. in der VO.

hSii = Tr%Si

= Tr1 2

~ 21σi

Trσi= 0 hSii= 0 (∆Si)²=

S_i²

− hSii²

(∆S_i)²=~² 4

3. Bsp 3

3.1. Angabe. Ein Zustand sei durch den zweidimensionalen Projektor auf den Unterraum, aufges- pannt von der Wellenfunktionψ=

1 1

√1

2, gegeben. Berechnen Sie wie unter 2. Erwartungswerte und Schwankungsquadrate der Komponenten des Spinoperators.

3.2. L¨osung.

hσ1i = 1

2 1 1 0 1

1 0 1 1

= 1 hσ2i = 1

2 1 1

0 −i i 0

1 1

= 0 hσ3i = 1

2 1 1

1 0 0 −1

1 1

= 0 σ_i²

= 1

2 1 1 1 0

0 1 1 1

= 1

f¨urσ_i→S_i Ergebnisse mit ^~₂ multiplizieren (Schwankungsquadrat mit ^~₄²) 3.3. in der VO.

%=|ψi hψ|

% = 1

√2

1 1

1

√2 1

1

= 1

2

1 1 1 1

hS1i = 1 2Tr

1 1 1 1

~ 2

0 1 1 0

= ~

4Tr

1 1 1 1

= ~

2

hS2i = 1 2Tr

1 1 1 1

~ 2

0 −i i 0

= ~

4Tr

i −i i −i

= 0

hS₃i = 1 2Tr

1 1 1 1

~ 2

1 0 0 −1

= ~

4Tr

1 −1 1 −1

= 0

S_i²

= 1

2Tr 1 1

1 1 ~²

4

1 0 0 1

= ~

8Tr

1 1 1 1

= ~² 4

(∆S₁)² = ~² 4 −~²

4 = 0 (∆S2)² = ~²

4 −0 = ~² 4 (∆S₃)² = ~²

4 −0 = ~² 4