(1)Aufgabe 7.1 x y P P0

Aufgabe 7.1

x y

P

P⁰

? ?

? ?

· x

y

= −y

−x

⇒

0 −1

−1 0

| {z }

T

x y

= −y

−x

Aufgabe 7.2

x P y

P⁰ Z

? ?

? ?

· x

y

= −x

−y

⇒

−1 0 0 −1

| {z }

T

x y

= −x

−y

Aufgabe 7.3

x y

P P⁰

? ?

? ?

· x

y

= x

−y

⇒

1 0 0 −1

| {z }

T

x y

= x

−y

x y

P P⁰

? ?

? ?

· x

y

= 0

y

⇒

0 0 0 1

| {z }

T

x y

= 0

y

Aufgabe 7.5

x P y

P⁰

0 1 1 0

x y

= y

x

Aufgabe 7.6

x y

P P⁰ O

0.5 0 0 0.5

x y

= 0.5x

0.5y

Aufgabe 7.7

x y

P P⁰

x y

P P⁰

Z

cos 90^◦ −sin 90^◦ sin 90^◦ cos 90^◦

=

0 −1 1 0

Aufgabe 7.9

x P y

P⁰

~v

Die Translation ist keine lineare Abbildung. Mit Hilfe homogener Koordinaten [P(x, y)⇒ P(x:y: 1)] l¨asst sich dieser Defekt jedoch beheben.





1 0 2 0 1 −1 0 0 1







 x y 1



=



 x+ 2 y−1

1





Aufgabe 7.10 A₁ =

1 0 3 1

(Scherung parallel zur y-Achse)

A₂ =

1 0 0 −1

(Spiegelung an der x-Achse)

A₃ = 2 0

0 2

(zentrische Streckung am Ursprung)

(a) Gesamtabbildung: A=A₃A₂A₁ =

2 0

−6 −2

[Reihenfolge!]

(b) Umkehrabbildung: A⁻¹ =

0.5 0

−1.5 −0.5

T =





1 0 −4 0 1 3 0 0 1



 (Translation Z →O)

S =





2 0 0 0 3 0 0 0 1



 (zentrische Streckung an O)

T⁻¹ =





1 0 4 0 1 −3 0 0 1



 (R¨ucktranslation O→Z)

T⁻¹ST =





2 0 −4 0 3 6 0 0 1





Aufgabe 7.12

T =





1 0 2 0 1 −5 0 0 1



 (Translation Z →O)

R =





cos 270^◦ −sin 270^◦ 0 sin 270^◦ cos 270^◦ 0

0 0 1



=





0 1 0

−1 0 0 0 0 1



 (Drehung)

T⁻¹ =





1 0 −2 0 1 5 0 0 1



 (R¨ucktranslation O→Z)

T⁻¹RT =





0 1 −7

−1 0 3

0 0 1





Aufgabe 7.13

A⁰(−1,−2), B⁰(−5,−2), C⁰(−5,−4), D⁰(−1,−4)

x y

A B

C D

A⁰ B⁰

C⁰ D⁰

R =

cos(−45^◦) −sin(−45^◦) sin(−45^◦) cos(−45^◦)

=

cos(45^◦) sin(45^◦)

−sin(45^◦) cos(45^◦)

=

√2 2

1 1

−1 1

S =

1 0 0 −1

(Spiegelung an der x-Achse)

R⁻¹ =

cos(45^◦) −sin(45^◦) sin(45^◦) cos(45^◦)

=

√2 2

1 −1 1 1

R⁻¹SR=

√2 2

1 −1 1 1

1 0 0 −1

√ 2 2

1 1

−1 1

= 1 2

1 1 1 −1

1 1

−1 1

= 1 2

0 2 2 0

= 0 1

1 0

(ok)