Matthias Makowski, Universit¨at Konstanz Wintersemester 2011/2012 Marcello Sani
Ubungen zur Vorlesung Topologie¨
Blatt 6 Aufgabe 6.1. (4 Punkte)
a) SeiX := (R\ {0})∪ {0a,0b}. Eine TeilmengeA⊂X heißt offen, falls (i) 0a6∈A, 0b6∈AundA⊂Rist offen.
(ii) 0a∈Aoder 0b∈Aund (A∪ {0})\ {0a,0b} ⊂Rist offen.
Zeige, dassX ein topologischer Raum ist, aber kein Hausdorffraum.
b) SeiXein Hausdorffraum unda1, . . . ,an∈Xseien paarweise verschiedene Punkte. Dann gibt es disjunkte offene UmgebungenUi, 1≤i≤n, mitai∈Ui.
Aufgabe 6.2. (4 Punkte)
(i) Sei X ein topologischer Raum und seien A, B ⊂ X abgeschlossen. Sind A∩B und A∪B zusam- menh¨angend, so sindAundB zusammenh¨angend.
(ii) Die Aussage aus (i) wird falsch, wennAoderB nicht abgeschlossen sind.
Aufgabe 6.3. (4 Punkte)
Seien X undY zusammenh¨angende R¨aume. GelteA(X und B (Y. Zeige, dass dann das Komplement vonA×B, (X×Y)\(A×B), zusammenh¨angend ist.
Aufgabe 6.4. (4 Punkte)
Zeige, dass die folgende Menge zusammenh¨angend, aber nicht wegzusammenh¨angend ist:
G:=
x,sin1
x
:x∈(0,1]
∪ {(0, y) :y∈[−1,1]} ⊂R2.
Aufgabe 6.5. (zus¨atzlich4 Punkte)
Beweise, dass die folgenden R¨aume nicht zueinander hom¨oomorph sind:
a) X1:= [0,1], X2:= [0,1), X3:= (0,1).
b) Y1:=R, Y2:=Rn, n >1.
Abgabe:Bis Dienstag, 17.01.2012, 17.45 Uhr
