Konvention. In Aufgabenstellungen getätigte Aussagen sind jeweils zu beweisen, auch wenn kein explizites „Zeigen Sie, dass . . . “ dabeisteht.

Konvention. In Aufgabenstellungen getätigte Aussagen sind jeweils zu beweisen, auch wenn kein explizites „Zeigen Sie, dass . . . “ dabeisteht.

1. Sei X eine Menge. Welche der folgenden Mengen bilden mit der Verknüpfung (Hintereinan- derausführung) von Funktionen als Operation eine Halbgruppe bzw. einen Monoid?

(a) { f : X → X

f injektiv } (b) { f : X → X

f nicht injektiv } (c) { f : X → X

f surjektiv } (d) { f : X → X

f nicht surjektiv }

2. Zeigen Sie: f : X → Y hat genau dann eine Linksinverse, wenn f injektiv ist.

3. Zeigen Sie: f : X → Y hat genau dann eine Rechtsinverse, wenn f surjektiv ist.

4. Welche Elemente im Monoid (X

, ◦ ) der Funktionen auf X mit Verknüpfung von Funktionen als Operation sind rechtskürzbar; welche linkskürzbar?

5. Zeigen Sie: Jedes linksinvertierbare Element eines Monoids ist linkskürzbar; jedes rechts- invertierbare Element ist rechtskürzbar. Die Umkehrungen gelten nicht (Gegenbeispiel an- geben).

6. Zeigen Sie: Sei (G, · ) eine Halbgruppe mit rechtsneutralem Element e, so dass jedes a ∈ G ein Rechtsinverses a

bezüglich e hat, dh. a · a

= e. Dann ist G eine Gruppe.

7. Geben Sie ein Beispiel einer Halbgruppe (G, · ) mit linksneutralem Element e, bezüglich

dessen jedes a ∈ G ein Rechtsinverses hat, so dass G keine Gruppe ist.

8. Es sei (G, ◦ ) eine Gruppe mit neutralem Element e. Welche der folgenden Aussagen gelten für beliebige Elemente x, y, a, b ∈ G?

(a) axb = ayb impliziert x = y (b) x

= y

impliziert x = y (c) xa = ay impliziert x = y (d) ax = e impliziert x

= a (e) ax = e impliziert xa = e (f) abx = e impliziert x = a

b

9. Sei G 6 = ∅ eine Menge und sei · : G × G → G eine Verknüpfung mit den folgenden Eigen- schaften:

• ∀ a, b, c ∈ G gilt a · (b · c) = (a · b) · c,

• ∀ a, b ∈ G gibt es ein x ∈ G mit a · x = b,

• ∀ a, b ∈ G gibt es ein y ∈ G mit y · a = b.

Dann ist G eine Gruppe.

10. Sei (G, · ) eine Gruppe. Dann ist äquivalent:

(a) G ist kommutativ ( ∀ a, b ∈ G ab = ba) (b) ∀ a, b ∈ G (ab)

= a

b

(c) ∀ a, b ∈ G (ab)

= a

b

(d) für drei aufeinanderfolgende n ∈ Z gilt ∀ a, b ∈ G (ab)

= a

b

.

11. Eine endliche Teilmenge H 6 = ∅ einer Gruppe G ist schon eine Untergruppe, wenn nur a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H. Für unendliche Teilmengen stimmt das nicht (Beispiel).

12. Sei G eine Gruppe, und seien A und B Untergruppen von G. Dann ist AB genau dann eine Untergruppe von G, wenn AB = BA.

13. Bestimmen Sie alle Untergruppen von ( Z , +).

14. Sei G Gruppe, H, K ≤ G. H ∪ K ist Gruppe genau dann, wenn H ⊆ K oder K ⊆ H.

15. Sei (G, · ) eine Gruppe und ∼ eine Kongruenzrelation auf G, dann gibt es einen Normalteiler

N E G, sodass die Äquivalenzklassen bzgl. ∼ genau die Nebenklassen von N in G sind, und

a ∼ b genau wenn a

b ∈ N .

16. Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt (a) K ≤ G ⇒ f (K) ≤ H,

(b) K E G ⇒ f (K) E f (G), (c) C ≤ H ⇒ f

(C) ≤ G, (d) C E H ⇒ f

(C) E G.

Analoges gilt für Ringhomomorphismen f : R → S.

17. Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt f (e

) = e

und ∀ a ∈ G : f (a)

= f (a

).

18. Sei (G, +) eine kommutative Gruppe. Dann bilden die Endomorphismen von G, End(G), einen Ring bezüglich punktweiser Addition sowie Verknüpfung von Funktionen als Multipli- kation.

19. Welche der folgenden Gruppen sind zueinander isomorph?

• ( R \ { 0 } , · )

• (R, +)

• S

= ( { z ∈ C | | z | = 1 } , · )

• ( { r ∈ R | r > 0 } , · )

• (R, +)/(Z, +)

20. Eine Untergruppe H einer Gruppe G heißt charakteristische Untergruppe, wenn für jeden Automorphismus ϕ von G gilt ϕ(H ) = H. Eine Untergruppe H von G heißt totalinvariant, wenn für jeden Endomorphismus ϕ von G gilt ϕ(H) ⊆ H . Zeigen Sie:

(a) Jede charakteristische Untergruppe ist Normalteiler.

(b) Jede totalinvariante Untergruppe ist charakteristisch.

21. Das Zentrum Z (G) = { g ∈ G | ∀ x ∈ G : xg = gx } einer Gruppe G ist eine charakteristische Untergruppe von G.

22. Sei G eine Gruppe mit Zentrum Z (G). Für ein a ∈ G sei ϕ

der zugehörige innere Automor-

phismus. Welche algebraische Struktur bildet die Menge aller inneren Automorphismen ϕ

,

und in welchem Zusammenhang steht diese zu G/Z(G)?

23. Sei V

die Kleinsche Vierergruppe, d.h. V

= { id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) } . Zeigen Sie, dass S

/V

isomorph zu S

ist.

Hinweis. Betrachte S

V

.

24. Jeder endliche nullteilerfreie Ring ist Schiefkörper.

25. Sei R ein Ring, a, b ∈ R. Dann gilt (ab) ⊆ (a)(b).

Wenn R kommutativ ist, dann gilt (ab) = (a)(b).

26. Sei R ein Ring. Für A, B ⊆ R sei

AB = { a

b

+ . . . + a

b

| n ∈ N , a

∈ A, b

∈ B } A + B = { a + b | a ∈ A, b ∈ B } .

Sei a ∈ R und A, B, C ⊆ R. Dann gilt (a) A + (B + C) = (A + B) + C.

(b) A(BC) = (AB)C.

(c) Wenn 0 ∈ B und 0 ∈ C, dann gilt (B + C)A = BA + CA und A(B + C) = AB + AC.

27. Sei K ein Körper, dann hat M

(K), der Ring der n × n Matrizen über K, keine Ideale außer { 0 } und M

(K).

(Hinweis: Multiplikation von A ∈ M

(K) (nicht die Null-Matrix) mit E

von links und E

von rechts, wobei E

die Matrix mit der Eintragung 1 an der Stelle (i, j) und 0 sonst bezeichnet).

28. Seien R ein kommutativer Ring mit 1 und a

, . . . , a

∈ R, dann ist (a

, . . . , a

) = a

R + . . . + a

R.

29. Wenn in einem kommutativen Ring mit 1 gilt (a, b) = (d) (d.h. das von a und b erzeugte Ideal lässt sich von einem einzelnen Element d erzeugen), dann ist d ein ggT von a und b.

30. In einem kommutativen Ring R mit 1 sei d ein größter gemeinsamer Teiler von a und b.

(a) Wenn für ein d

∈ R gilt d | d

und d

| d, dann ist auch d

ein ggT von a und b.

(b) Wenn umgekehrt c ein ggT von a und b ist, dann gilt d | c und c | d.

31. Sei R ein Euklidischer Ring, dessen Rangfunktion ρ(ab) ≥ ρ(a) (für a, b ∈ R mit ab 6 = 0) erfüllt. Zeigen Sie: u ∈ R ist Einheit genau dann, wenn u minimalen Rang hat (d.h., wenn ρ(u) = min { ρ(a) | a ∈ R \ { 0 }} ).

32. Seien a, b ∈ R mit R kommutativer Ring mit 1. a + bR ist genau dann invertierbar in R/bR, wenn 1 als R-Linearkombination von a, b darstellbar ist.

33. Finden Sie einen Ring R und a, b ∈ R mit der Eigenschaft, dass ein ggT d von a und b

existiert, dieses d aber nicht als Linearkombination von a und b darstellbar ist.

34. Sei R = Int( Z ) der Ring der Polynome f in Q [x] mit f (z) ∈ Z für jedes z ∈ Z . Zeigen Sie:

f = x(x − 1) und g = x(x + 1) haben in Int( Z ) keinen ggT.

35. Z[i] ist ein Euklidischer Ring.

Hinweis. Zuerst Division mit Rest von z ∈ Z[ i ] durch n ∈ N zeigen, dann im allgemeinen Fall, wenn man w durch z dividieren will, zuerst w z ¯ durch z z ¯ = N ( z ) dividieren.

36. Sei R ein kommutativer Ring mit 1. p ∈ R ist genau dann prim, wenn (p) ein Primideal ungleich (0) ist.

37. (a) In Z [ √

− 5] ist 2 irreduzibel, aber nicht prim.

(b) Ist 3 in Z[ √

− 5] irreduzibel? Ist 3 prim?

38. Wenn c ∈ R irreduzibel ist, dann ist c auch schwach irreduzibel. Wenn R Integritätsbereich ist, gilt auch die Umkehrung.

39. Finden Sie einen Ring R, in dem das von einer Nichteinheit erzeugte Ideal ganz R ist.

40. Sei R ein ZPE-Ring, P ein Repräsentatensystem der Assoziiertenklassen von primen Ele- menten von R. Dann hat jedes a 6 = 0 eine eindeutige Darstellung der Form

a = u

· Y

p∈P

p

,

mit u

Einheit und v

(a) ∈ N

, wobei nur endlich viele v

(a) ungleich 0 sind. Dabei ist v

(a) nur von der Assoziiertenklasse von p (und nicht von der Wahl des Repräsentatensystems P) abhängig.

41. Für Elemente a, b, c eines ZPE-Ringes gilt: wenn a | bc und ggT(a, b) = 1, dann a | c.

42. Seien R, T Ringe mit 1 und g : R → T ein Ringhomomorphismus.

(a) Wenn ein Nicht-Nullteiler von T in Im g liegt, dann ist g(1) = 1.

(b) Wenn g(1) = 1, dann gilt für jede Einheit u ∈ R: g(u)

= g(u

). Insbesondere ist dann g(u) wieder eine Einheit.

43. Sei I ein Ideal des kommutativen Rings R. Dann ist I[x] (bestehend aus den Polynomen in R[x], deren Koeffizienten in I liegen) ein Ideal von R[x], und

R[x] I[x] ≃ R I

[x].

44. (a) Sei R kommutativer Ring, und für i ∈ I (beliebige Indexmenge) P

ein Primideal von R. Dann ist S = R \ S

i∈I

P

eine gesättigte multiplikative Menge.

(b) Die Nichtnullteiler eines kommutativen Rings bilden eine gesättigte multiplikative Men- ge.

45. (a) Sei v eine Bewertung. Wenn v(a) 6 = v(b), dann gilt v(a + b) = min(v(a), v(b)).

(b) Sei v eine Bewertung auf K. Die Erweiterung von v auf K[x] mit v(f ) = min

{ v(a

) } für f ∈ K[x] mit Koeffizienten a

erfüllt wieder die Eigenschaften einer Bewertung.

Insbesondere gilt v(f g) = v(f ) + v(g).

46. Sei R ein ZPE-Ring mit Quotientenkörper K. Wenn f, g, h ∈ K[x] normiert sind und f = gh sowie f ∈ R[x], dann gilt g, h ∈ R[x].

47. Wenn r nilpotent ist, dann ist 1 + r eine Einheit.

Hinweis. Betrachte zuerst 1 − r .

Geben Sie damit Beispiele von Einheiten in Z p

Z [x] von beliebig hohem Grad an.

48. Sei R ein Ring mit 1 und S ⊆ R mit 0 6∈ S und r, s ∈ S impliziert rs ∈ S. Dann existiert ein Primideal P mit P ∩ S = ∅ .

49. Erfüllt die direkte Summe die universelle Eigenschaft für Ringe?

50. Wenn R

, . . . , R

Ringe mit 1 sind, dann ist jedes Ideal J E P

i=1

R

in der endlichen direkten Summe der R

von der Form J = P

i=1

J

für Ideale J

E R

. Dabei ist J

= { r

∈ R

| ∃ r

, . . . , r

, r

, . . . , r

: (r

, . . . , r

) ∈ J } .

51. Wie viele Gruppenhomomorphismen f : (Z/nZ, +) → (Z/mZ, +) gibt es?

52. (a) Die Ordnung der Restklasse von k in (Z/nZ, +) ist n/ ggT(k, n).

(b) ( Z /n Z , +) hat für jeden Teiler d von n genau ϕ(d) Elemente der Ordnung d (welche?).

(c) Aus welchen Restklassen besteht die eindeutig bestimmte Untergruppe der Ordnung d von ( Z /n Z , +)?

53. Verwenden Sie den Chinesischen Restsatz um folgendes System von Kongruenzen zu lösen:

5x ≡ 20 mod 6 6x ≡ 6 mod 5 4x ≡ 5 mod 77.

54. Sei G eine kommutative Gruppe und H ≤ G eine Untergruppe. Wenn die Einbettung von

H in G eine Linksinverse hat, dann existiert eine Untergruppe K ≤ G, so dass G die innere

direkte Summe von H und K ist. Das gleiche gilt, wenn die Projektion von G auf G/H eine

Rechtsinverse hat.

55. Es wurde bewiesen, dass für eine Abelsche Gruppe (A, +), m ∈ N und p Primzahl die Mengen mA, A[m], A(p) und A

Untergruppen von A sind, wobei

A[m] = { a ∈ A | | a | teilt m } A(p) = { a ∈ A | ∃ n ∈ N

: | a | = p

}

A

= { a ∈ A | | a | endlich } .

Finden Sie für jede dieser Mengen ein Gegenbeispiel für nichtkommutative Gruppen A, so dass die Menge keine Untergruppe bildet.

56. Wenn A eine Abelsche Gruppe mit ∅ 6 = X ⊆ A ist, so dass für jede Abelsche Gruppe H und jede Funktion f : X → H genau ein Gruppenhomomorphismus f : A → H mit f |

= f existiert, dann ist A eine freie Abelsche Gruppe mit Basis X .

57. Für p ∈ P und k, n ∈ N , n ≥ k gilt p

Z

≃ Z

als additive Gruppe, aber nicht als Ring.

58. Wenn m | n, dann gilt Z

[m] ≃ Z

. Insbesondere ist für n > 0 und p prim: Z

[p] ≃ Z

. 59. Sei u ein invertierbares Element eines euklidschen Rings. Zeigen Sie: Die 2 × 2-Diagonalmatrix

U

= diag(u, u

) =

u 0 0 u

.

lässt sich als Produkt von Elementarmatrizen darstellen. Dasselbe gilt auch für die Matrix U

= diag(1, . . . , 1, u, u

, 1, . . . , 1).

60. Sei n ∈ N, p ∈ P. Die Projektion π : SL

(Z) → SL

(Z

), so dass jede Eintragung m

auf

m

+ pZ abgebildet wird, ist surjektiv.