F¨ ur die Hintereinanderschaltung

Multivariate Kettenregel

F¨ ur die Hintereinanderschaltung

h = g ◦ f : x 7→ y = f (x) 7→ z = g (y) = h(x) , stetig differenzierbarer Funktionen f : R ⁿ ⊇ U → R ^{`</sup> und g : R <sup>`} ⊇ V → R ^m mit f (U) ⊆ V gilt

h ⁰ (x) = g ⁰ (y)

| {z }

m×`

f ⁰ (x)

| {z }

`×n

,

d.h. die m × n-Jacobi-Matrix von h ist das Produkt der Jacobi-Matrizen von f und g . Die einzelnen Eintr¨ age von h ⁰ ergeben sich durch

Matrixmultiplikation:

∂h _i

∂x _k =

`

X

j=1

∂g _i

∂y _j

∂f _j

∂x _k , i = 1, . . . , m, k = 1, . . . , n .

Diese Identit¨ at vereinfacht sich, wenn eine oder zwei der Dimensionen gleich eins sind. Beispielsweise hat eine multivariate Funktion g entlang einer Kurve mit Parametrisierung f ,

x 7→ h(x) = g (f 1 (x), . . . , f ` (x)) , die Ableitung

dh

dx = ∂ ₁ g (f (x))f ₁ ⁰ (x) + · · · + ∂ _{`</sub> g (f (x))f <sub>`} ⁰ (x) = (grad g ) ^t

f (x) f ⁰ (x) , d.h. h ⁰ (x) ist das Skalarprodukt aus Gradient von g und Tangentenvektor von f .

F¨ ur Funktionen von zwei oder drei Ver¨ anderlichen werden oft statt der Index-Schreibweise verschiedene Buchstaben f¨ ur die Variablen verwendet.

Beispielsweise ist die Jacobi-Matrix der Funktion x

y

7→

p(u(x, y), v(x, y)) q(u (x, y ), v(x, y))

gem¨ aß der Kettenregel das Matrixprodukt

Beweis

Definition der Ableitung und Jacobi-Matrix:

ϕ(x + ∆x) = ϕ(x) + ϕ ⁰ (x)∆x + o(|∆x |) Existenz der Ableitungen f ⁰ (x) und g ⁰ (y) = ⇒

g (f (x+∆x)) = g (f (x)+f ⁰ (x)∆x + o(|∆x|)

| {z }

∆y

) = g (y )+[g ⁰ (y) ∆y]+o(|∆y|)

Formel f¨ ur die Jacobi-Matrix von h = g ◦ f , da [g ⁰ (y) ∆y] = g ⁰ (y )f ⁰ (x)

| {z }

h

(x)

∆x + o(|∆x|)

und |∆y | = O(|∆x|)

Beispiel

Jacobi-Matrix der Hintereinanderschaltung der Funktionen

y = f (x) =

x ₃ sin x ₁ e ^x

/x 3

, g (y) =







 y 1

y ₁ + ln y ₂ 0 y 2 cos y 1









f¨ ur x = p = (π, 0, 1) ^t

f ⁰ (x) _|x=p =

x ₃ cos x ₁ 0 sin x ₁ 0 e ^x

/x ₃ −e ^x

/x ₃ ²

|x=p

=

−1 0 0

0 1 −1

g ⁰ (y) =





1 0

1 1/y 2



 =



 1 0 1 1





Kettenregel h ⁰ (π, 0, 1) = g ⁰ (0, 1) f ⁰ (π, 0, 1) und nach Einsetzen

h ⁰ (π, 0, 1) =







 1 0 1 1 0 0 0 1









−1 0 0

0 1 −1

=









−1 0 0

−1 1 −1

0 0 0

0 1 −1









Beispiel

Kettenregel f¨ ur eine skalare Funktion f (x, y ) entlang einer Kurve t 7→ (x(t), y (t)) ^t

Spezialisierung der allgemeinen Formel d

dt f (x(t), y(t)) = f x (x(t), y(t))x ⁰ (t) + f y (x(t), y(t))y ⁰ (t ) (Skalarprodukt von Gradient und Tangentenvektor)

Anwendung im konkreten Fall

f (x, y ) = xy ² , x = cos t, y = sin t (Kreis)

Gradient: (f x , f y ) ^t = (y ² , 2xy ) ^t , Auswertung entlang der Kurve

Einsetzen in die Kettenregel d

dt f (x(t), y(t )) = (sin ² t, 2 cos t sin t)

− sin t cos t

= − sin ³ t + 2 cos ² t sin t = 2 sin t − 3 sin ³ t Vergleich mit der direkten Berechnung:

f (x(t), y (t)) = cos t sin ² t = ⇒ d

dt f (x(t), y(t)) = − sin t(sin ² t) + cos t(2 sin t cos t) X

Beispiel

Berechnung des Gradienten der Funktion h = g ◦ f f¨ ur

f (x, y) =





x + y x − y x ² + y ² − 1



 , g (u, v, w ) = u ² + v ² + w ²

Jacobi-Matrix von f

f ⁰ = (f _x , f _y ) =





1 1

1 −1 2x 2y





Gradient von g

Kettenregel, h ⁰ (x, y ) = g ⁰ (f (x, y))f ⁰ (x, y) = ⇒ (grad h) ^t

| {z }

h

= (grad g ) ^t

| {z }

g

f ⁰ = 2

x + y + x − y + 2x(x ² + y ² − 1) x + y − x + y + 2y(x ² + y ² − 1)

t

und nach Vereinfachung

grad h = 4(x ² + y ² ) x

y

Beispiel

Transformation von Gradienten bei affiner Abbildung eines Referenzdreiecks

Parametrisierung eines allgemeinen Dreiecks D mit Eckpunkten a = (a ₁ , a ₂ ) ^t , b, c, ausgehend von dem Referenzdreieck D ∗ : x ₁ + x ₂ ≤ 1, x _k ≥ 0

y = p(x) = a + (b − a)x ₁ + (c − a)x ₂ Jacobi-Matrix

p ⁰ (x) = ∂(y 1 , y 2 )

∂(x ₁ , x ₂ ) = (b − a, c − a) =

b 1 − a 1 c 1 − a 1

b ₂ − a ₂ c ₂ − a ₂

Kettenregel = ⇒

(grad h(x)) ^t = (grad g (y)) ^t p ⁰ (x), h(x) = g (p(x))