Minimale Standard-Identit¨aten f¨ur Lie-Algebren

f¨ ur Lie-Algebren

Manuel Pastorini

20. Dezember 2000

Zusammenfassung 1950 zeigten Amitsur und Levitzki

X

σ∈Sn

sgn(σ)x_σ1· · ·x_σn = 0

f¨ur n ≥ 2d, x_i ∈ M_d(K). Dies ist auch minimal, f¨ur n = 2d−1 gilt die Identit¨at nicht.

F¨ur gewisse Teilr¨aume gilt die Identit¨at schon in kleineren Graden, beispielsweise in so_d f¨ur n = 2d−2. Hier werde ich ein Gegenbeispiel f¨ur n = 2d−3 angeben.

F¨ur sp_2ℓ wird dagegen gezeigt, daß hiern= 4ℓ der minimale Grad ist, in dem diese Identit¨at gilt. Damit ist f¨ur alle klassischen einfachen Lie-Algebren der minimale Grad bestimmt, in dem diese Identit¨at gilt.

Desweiteren wird die Identit¨at X

σ∈Sn

sgn(σ)[[· · ·[y, x_σ1],· · ·], x_σn] = 0

betrachtet, wobei [a, b] := ab−ba der Kommutator zweier Matrizen ist. Da die adjungierte Darstellung einer einfachen Lie-Algebra treu ist und dim sl_d = d² −1, gilt diese Identit¨at in sld f¨ur n = 2(d² −1). Diese Absch¨atzung ist allerdings sehr grob; ich werde zeigen, daß die Identit¨at f¨urn= 4d−4, aber nicht f¨ur 4d−5 gilt.

Weiter wird gezeigt, daß diese Identit¨at in sp_2ℓ im Grad 8ℓ−8 und in so_d im Grad 4d−12 gilt.

1 Bezeichnungen und grundlegende Bemerkungen 3 2 Assoziative Standard-Identit¨at f¨ur so_d 5 3 Assoziative Standard-Identit¨at f¨ur sp_2ℓ 9

4 Standard-Lie-Identit¨at f¨ur gl_d 12

5 Minimalit¨at der Standard-Lie-Identit¨at f¨ur gl_d 16

5.1 Reduktion auf assoziative Monome . . . 16

5.2 Reduktion auf Folgen der Ziffern 1 und 2 . . . 18

5.3 Einige Aussagen ¨uber Folgen der Ziffern 1 und 2 . . . 22

5.4 Zusammensetzen der bisherigen Ergebnisse . . . 24

5.5 Beweise der Lemmata ¨uber Binomialkoeffizienten . . . 33

6 Standard-Lie-Identit¨at f¨ur sp_2ℓ 36

7 Standard-Lie-Identit¨at f¨ur so_d 45

8 Ubersicht der Ergebnisse¨ 51

A Programme 53

Literaturverzeichnis 63

2

Kapitel 1

Bezeichnungen und

grundlegende Bemerkungen

Die (assoziative) Algebra der d×d-Matrizen ¨uber einem K¨orper K wird mit M_d oder M_d(K) bezeichnet. Mittels [x, y] :=xy−yx ist sie eine Lie-Algebra und wird dann auch mit gl_d bezeichnet. Sei sl_d die Unter-Lie-Algebra der Matrizen mit Spur 0.

F¨ur eine Matrix a ∈ M_d bezeichne a^t die transponierte Matrix. F¨ur eine Matrix a b

c d

∈ M_2ℓ, wobei a, b, c, d ∈ M_ℓ sind, sei a b

c d s

=

d^t −b^t

−c^t a^t

. Die Ab- bildung x 7→ x^t und x 7→ x^s sind Antihomomorphismen (d.h. (xy)^t = y^tx^t und (xy)^s = y^sx^s) der Ordnung 2, und die Mengen der Matrizen x ∈ gl_d mit x^t =−x bzw.x^s=−sbilden Unter-Lie-Algebren, die mit so_d bzw. sp_d bezeichnet werden.

Die symmetrische Gruppe in n Variablen heißt Sn. F¨ur σ ∈ Sn sei sgn(σ) das Vorzeichen.

Großbuchstaben werden f¨ur Variablen verwendet, w¨ahrend kleine Buchstaben f¨ur Matrizen verwendet werden. Mit K{X₁, . . . , X_n} bezeichnen wir den Polynomring in den nicht kommutierenden Variablen X₁, . . . , X_n.

Sofern keine Unklarheiten zu bef¨urchten sind, steht X f¨urX₁, . . . , X_n. Das Polynom

A_n(X₁, . . . , X_n) := X

σ∈Sn

sgn(σ)X_σ1· · ·X_σn

wird als assoziatives Standard-Polynom vom Grad nbezeichnet und die Gleichung A_n(x) = 0 als assoziative Standard-Identit¨at.

Entsprechend wird

L_n(X₁, . . . , X_n, Y) := X

σ∈Sn

sgn(σ)[[· · ·[Y, X_σ1],· · ·], X_σn]

als Standard-Lie-Polynom vom Gradnund die GleichungL_n(x, y) = 0 als Standard- Lie-Identit¨at bezeichnet.

3

Bemerkung 1.1.Gilt eine dieser Identit¨aten im Grad n, so gilt sie auch im Grad n+ 1, und daher auch in allen h¨oheren Graden. Dies sieht man, indem man die auftretenden Summanden nachσ(n+ 1) ordnet.

Bemerkung 1.2.In dieser Arbeit wird K stets ein K¨orper der Charakteristik 0 sein. Die angegebenen Identit¨aten gelten dann auch f¨ur einen K¨orper beliebiger Cha- rakteristik, allerdings sind dort die Grade nicht notwendigerweise minimal, da die Ergebnisse in den angegebenen Gegenbeispielen nicht unbedingt von 0 verschieden sind.

F¨ur 1≤i, j ≤dsei e_i,j ∈M_d die Matrix mit dem Eintrag 1 in der i-ten Zeile und j-ten Spalte und allen anderen Eintr¨agen 0. Weiter seib_i,j :=e_i,j−e_j,i. Offenbar ist {e_i,j|1≤i, j≤d} eine Basis vonM_d und {b_i,j|1≤i < j≤d} eine Basis von so_d. F¨ur 1≤i≤dsei entsprechende_i ∈K^dder Spaltenvektor mit dem Eintrag 1 an der i-ten Stelle und allen anderen Eintr¨agen 0.

F¨ur eine Matrix, die nur in einer Zeile oder Spalte von 0 verschiedene Eintr¨age hat, wird der Index dieser Zeile oder Spalte auch als der Zeilenindex bzw. der Spaltenin- dex der Matrix bezeichnet.

Lemma 1.3.Es gilt (a) e_i,je_k,ℓ=

(e_i,ℓ falls j=k, 0 sonst,

(b) e_i,jb_k,ℓ=e_i,j(e_k,ℓ−e_ℓ,k) =







e_i,ℓ fallsj =k,

−e_i,k fallsj =ℓ, 0 sonst, (c) sowie f¨uri < j und k < ℓ

b_i,jb_k,ℓ= (e_i,j −e_j,i)b_k,ℓ=























e_i,ℓ fallsj=k,

−e_i,k fallsj=ℓ, i6=k,

−e_j,ℓ fallsi=k, j6=ℓ, e_j,k fallsi=ℓ,

−e_i,i−e_j,j fallsi=k, j=ℓ,

0 sonst.

Beweis:Offensichtlich.

Kapitel 2

Assoziative Standard-Identit¨ at f¨ ur so d

InM_dgilt die assoziative Standard-Identit¨at im Gradn= 2d, nicht aber in kleineren Graden. F¨ur geradesdzeigt Kostant [2], daß in so_ddie assoziative Identit¨atA_n(x) = 0 f¨urn= 2d−2 gilt. In diesem Kapitel zeigen wir f¨urdbeliebig, daß die Identit¨at f¨ur n= 2d−3 nicht gilt. Das angegebene Gegenbeispiel findet sich auch bei Rowen [7], der auch f¨ur ungeradesdzeigt, daß A_2d−2(x) = 0 in so_d gilt.

Lemma 2.1. Sei n≥ 2 und x₁, . . . , x_n ∈ so_d paarweise verschiedene Matrizen der Form b_i,j. F¨ur 1≤k≤dsei weiter u(k) die Anzahl derjenigen dieser Matrizen, bei denen die k-te Zeile von 0 verschieden ist. Dann gilt (f¨ur passend gew¨ahltes i und j):

x₁· · ·x_n=















0 oder ±e_i,i falls keine deru(1), . . . , u(d) ungerade sind.

0 oder ±e_i,j fallsu(i) und u(j) ungerade, aber alle anderenu(k) gerade sind. Dann isti6=j.

0 falls mehr als zwei deru(1), . . . , u(d) ungerade sind.

Beweis: Diese Tatsachen folgen f¨urn = 2 aus Lemma 2.1(c), wobei der vorletzte Fall nicht auftritt, da die x_i paarweise verschieden sind. F¨ur n > 2 folgen sie per Induktion aus Lemma 2.1(b).

Proposition 2.2. Seid≥2. F¨ur 1≤i≤d−2 sei x₁=b_1,2, x2i =b1,i+2, x_2i+1=b_2,i+2. Dann gilt:

A_2d−3(x) =







(−1)^d/2−1(d−1)!b_1,2 fallsdgerade,

(−1)^d+12 (d−1)!(e_1,1+e_2,2)

+ 2(d−2)!(e_3,3+· · ·+e_d,d) fallsdungerade.

5

Beweis:F¨urd= 2 ist die Behauptung offenbar erf¨ullt. Sei nund >2.

1. Schritt:SeiT_σ(x) =x_σ1· · ·x_σ(2d−3) das zuσgeh¨orende Monom inA_2d−3. Weiter sei ˜S_2d−3 die Menge allerσ ∈S_2d−3, so daßT_σ(x) von 0 verschieden ist. Ab jetzt sei stetsσ∈S˜_2d−3.

Mitn= 2d−3 undu(i) wie in Lemma 2.1 istu(1) =u(2) =d−1 undu(i) = 2 f¨ur 3≤i≤d. Daher gilt:

T_σ(x) =

(±e_1,2 oder ±e_2,1 falls dgerade

±e_1,1, . . . oder ±e_d,d falls dungerade.

2. Schritt:Zu jeder Permutation σ konstruieren wir folgendermaßen induktiv eine Folges^σ ∈ {1, . . . , d}^2d−2:

Der Index der eindeutig bestimmten Zeile, in derxσ1xσ2 einen von 0 verschiedenen Eintrag hat, sei s^σ₀. F¨ur 1≤k ≤2d−3 hatx_σk in genau zwei Spalten einen von 0 verschiedenen Eintrag. Wegenσ∈S˜_2d−3 ist der Index der einen dieser Spaltens^σ_k−1, der Index der anderen seis^σ_k. Insbesondere ist Tσ(x) =±es0,s_2d−3.

Diese Folge hat folgende Eigenschaften:

• F¨ur 1≤k≤2d−3 ists^σ_k−16=s^σ_k.

• Es gibt genau ein 1≤k≤2d−3 mit

entweder s^σ_k−1= 1 und s^σ_k = 2 oder s^σ_k−1= 2 und s^σ_k = 1, n¨amlich σ⁻¹1.

• Ist 1≤k≤2d−4 und 3≤s^σ_k ≤d, so gilt

entweder s^σ_k−1= 1 und s^σ_k+1= 2 oder s^σ_k−1= 2 und s^σ_k+1= 1.

• Ist d gerade, so sind s^σ₀, s^σ_2d−3 ∈ {1,2} und jede der Ziffern 3, . . . , d kommt genau einmal vor, und die Ziffern 1 und 2 kommen jeweils genau ^d₂-mal vor.

Ist d ungerade, so gilt s^σ₀ = s^σ_2d−3 und in {s^σ_k|k ≥ 1} kommt jede der Ziffern 3, . . . , dgenau einmal, und die Ziffern 1 und 2 jeweils genau ^d−1₂ -mal vor.

Die ersten drei dieser Eigenschaften folgen direkt aus der Konstruktion. Da die Ziffer if¨uri6=s^σ₀ und i6=s^σ_2d−3 offenbar genau ^u(i)₂ -mal vorkommen muß, folgt die letzte Eigenschaft aus dem 1. Schritt.

3. Schritt:

Behauptung: Zu jeder Folge s ∈ {1, . . . , d}^2d−2 mit diesen Eigenschaften gibt es genau einσ ∈S˜_2d−3 mit s=s^σ.

Begr¨undung: Definiert manσ durch

σk =























1 fallssk−1= 1 und s_k= 2, oder s_k−1= 2 und s_k = 1, 2i fallss_k−1= 1 und s_k=i+ 2,

oder sk−1=i+ 2 unds_k= 1, 2i+ 1 fallss_k−1= 2 und s_k=i+ 2,

oder s_k−1=i+ 2 unds_k= 2,

Assoziative Standard-Identit¨at f¨urso_d 7

f¨ur 1≤k≤2d−3, so ist σ auf Grund der gegebenen Eigenschaften vonswohldefi- niert, es gilt s=s^σ und dies ist das einzige solche σ.

4. Schritt: In diesem Schritt wird die Anzahl solcher Folgen bestimmt.

Hierf¨ur sei zun¨achst s₀ = 1 oders₀ = 2 vorgegeben. Da die Ziffern 1 und 2 immer abwechselnd auftreten, kann dann nur noch die Reihenfolge derd−2 Ziffern 3≤i≤d und die Position, an der 1 und 2 direkt auf einander folgen, variieren. Hierf¨ur gibt es offenbar (d−1)! M¨oglichkeiten.

Ist 3 ≤s₀ ≤d, so ist s₁ = 1 oder s₁ = 2. In beiden F¨allen gibt es jeweils (d−2)!

M¨oglichkeiten f¨ur die Reihenfolge der Ziffern {3, . . . , d} \ {s₀} und die Position, an der die Ziffern 1 und 2 direkt aufeinander folgen.

F¨ur ungerades d gibt es daher f¨ur s₀ = 1 oder s₀ = 2 jeweils (d−1)!, und f¨ur 3≤s₀≤djeweils 2(d−2)! Folgen mit den oben genannten Eigenschaften.

5. Schritt:

Seik die Position mit s_k−1, s_k ∈ {1,2}, undα∈ {±1} mitT_σ(x) =αe_s0,s2d

−3. Behauptung:

Ists₀ = 1, so istkungerade und es gilt α= (−1)^d+k−12 . Ists₀ = 2, so istkungerade und es gilt α= (−1)^d+k+12 .

Ist 3≤s₀ ≤dund s₁ = 1, so istk gerade und es gilt α= (−1)^k2. Ist 3≤s₀ ≤dund s₁ = 2, so istk gerade und es gilt α= (−1)^k2+1. Begr¨undung:

Ist 1≤i≤k−1 unds₀ ∈ {1,2}, so gilt: s_i ∈ {1,2} ⇔i gerade. Ist 3≤s₀ ≤d so gilt entsprechend: s_i ∈ {1,2} ⇔ iungerade. Daher muß k im ersten Fall ungerade, im zweiten Fall gerade sein.

Das Vorzeichen h¨angt davon ab, wie oft in Lemma 1.3(b) der zweite Fall auftritt.

Dies ist f¨ur 1≤i≤d−2 jeweils f¨ur genau eine der beiden Matrizen x_2i und x_2i+1 der Fall. Daher erh¨alt man den Anteil (−1)^d am Vorzeichen. Nach dem 2. Schritt treten die F¨alle mit 3≤s₀ ≤dallerdings nur f¨ur ungerades dauf.

F¨ur die Matrix x₁ = b_1,2 tritt der zweite Fall in Lemma 1.3 (b) genau dann auf, wenns_k−1= 2 und s_k= 1 ist. Dies gilt aber genau dann, wenn

k≡3 (mod 4) fallss₀= 1, k≡1 (mod 4) fallss₀= 2,

k≡0 (mod 4) falls 3≤s0≤dund s1= 1, k≡2 (mod 4) falls 3≤s₀≤dund s₁= 2.

6. Schritt: Behauptung: Ist k wie im vorigen Schritt, und σ die zu s geh¨orende Permutation, so gilt

sgn(σ) =















(−1)^{k−12 +⌊d−12 ⌋} fallss₀ = 1, (−1)^{k−12 +⌊d2⌋+1} fallss₀ = 2,

(−1)^{k−22 +d−12} falls 3≤s₀ ≤dund s₁= 1, (−1)^{k−22 +d+12} falls 3≤s₀ ≤dund s₁= 2.

Begr¨undung:

Seien sund tzwei Folgen mit den oben genannten Eigenschaften, undσ, τ die dazu geh¨orenden Permutationen.

Sei 3≤i≤d,3 ≤j ≤dund i6=j. Ist s_ℓ =t_m =i und s_m=t_ℓ =j, sowie s_n =t_n f¨urn6=ℓ, n6=m, so gilt στ⁻¹ = (2i,2j)(2i+ 1,2j+ 1). Unterscheiden sich sund t nur in den Ziffern≥3, so haben also σ und τ das selbe Vorzeichen.

Seikwie oben die Position mits_k−1, s_k ∈ {1,2}undℓdie entsprechende Position f¨ur die Folge t. Istℓ=k+ 2, sowie s_m=t_m f¨urm6=k, k+ 1, so gilt s_k=t_k+1∈ {1,2}

und s_k+1 = t_k = i ≥ 3. Daher ist στ⁻¹ = (1,2i) oder στ⁻¹ = (1,2i+ 1), also sgn(σ) =−sgn(τ).

Es gen¨ugt daher nun, f¨ur jeden der in der Behauptung genannten F¨alle eine entspre- chende Folge anzugeben, und das Vorzeichen der dazu geh¨orenden Permutation zu bestimmen. Betrachte im ersten Fall f¨urdgerade die Folge:

s= 1,2,3,1,4,2, . . . , d,2.

Dann istk= 1, und die zugeh¨orige Permutation ist σ = (2 3)(6 7)· · ·(2d−6,2d−5), also gilt sgn(σ) = (−1)^d2−1.

F¨ur ungerades dbetrachte man entsprechend die Folge:

s= 1,2,3,1,4,2, . . . , d,1.

Dann ist ebenfallsk= 1, und die zugeh¨orige Permutation ist σ = (2 3)(6 7)· · ·(2d−4,2d−3), und es gilt sgn(σ) = (−1)^d−21.

F¨ur die anderen F¨alle betrachte man die Folgen:

s= 2,1,3,2,4,1, . . . ,2, s=d,1,2,3,1,4,2, . . . , d, s=d,2,1,3,2,4,1, . . . , d.

Die zugeh¨orige Permutation ist im ersten Fall σ = (4 5)(8 9)· · ·. In den letzten beiden F¨allen erh¨alt man die jeweilige zugeh¨orige Permutation aus der zu der Folge s1, s2, . . . , s2d−3, s0 geh¨orenden durch Multiplikation mit (2d−3,2d−4, . . . 2 1).

7. Schritt:Nach dem 5. und 6. Schritt ist das Vorzeichen von sgn(σ)T_σ(x)

(−1)^d/2−1 fallss₀= 1,

(−1)^{⌊d+12 ⌋} fallss₀= 2, (−1)^d+12 falls 3≤s₀≤d.

Da also T_σ(x) = ±T_τ(x) auch T_σ(x) = T_τ(x) impliziert, ist der Betrag der im 1. Schritt angegebenen Eintr¨age jeweils die im 4. Schritt angegebene Anzahl von M¨oglichkeiten entsprechender Folgen. Zusammen mit den oben berechneten Vorzei- chen, ergibt sich das behauptete Ergebnis.

Kapitel 3

Assoziative Standard-Identit¨ at f¨ ur sp ₂ ℓ

In sp_2ℓ ⊂M_2ℓ gilt die assoziative Standard-Identit¨at im Grad 4ℓ. In diesem Kapitel wird gezeigt, daß dies auch f¨ur sp_2ℓ der minimale Grad ist, in dem diese Identit¨at gilt.

Zun¨achst geben wir ein Beispiel daf¨ur an, daß die Identit¨at nicht im Grad 4ℓ−2 gilt. Anschließend werden wir daraus folgern, daß auch die Identit¨atA_4ℓ−1(x) in sp_2ℓ nicht gilt. Eine Schlußfolgerung dieser Art findet sich auch schon bei Kostant [2].

Proposition 3.1. F¨ur 1≤i≤ℓ−1 sei

x₁=e_1,ℓ+1, x_{4ℓ−2i−2} =e_ℓ+i+1,i+1,

x_2i=e_ℓ+i,i+1+e_ℓ+i+1,i, x_{4ℓ−2i−1} =e_i,ℓ+i+1+e_i+1,ℓ+i,

x2i+1=e_i+1,ℓ+i+1, x4ℓ−2 =e_ℓ+1,1.

Dann istx_i∈sp_2ℓ f¨ur 1≤i≤4ℓ−2 und es gilt: e^t₁A_4ℓ−2(x)e₁6= 0.

Beweis:Die Aussagex_i ∈sp_2ℓf¨ur 1≤i≤4ℓ−2 ist klar. F¨urℓ= 1 giltA₂(x₁, x₂) = e_1,2e_2,1−e_2,1=e_1,1−e_2,2, also gilt auche^t₁A₂(x₁, x₂)e₁ 6= 0.

F¨urℓ >1 betrachten wir die Abbildungen

ϕ:{1, . . . ,2ℓ−2} → {1, . . . ,2ℓ}

i7→

(i falls i≤ℓ−1, i+ 1 sonst,

und

ψ:M_2ℓ−2 →M_2ℓ e_i,j 7→e_ϕ(i),ϕ(j).

Dann istψinjektiv, mit der Multiplikation vertr¨aglich, und es giltψ(sp_2ℓ−2)⊂sp_2ℓ. Sei nun σ ∈ S_4ℓ−2 so, daß e^t₁x_σ1· · ·x_σ(4ℓ−2)e₁ 6= 0 gilt. Dann muß in dieser Rei- henfolge rechts von der Matrix x_2ℓ−1 = e_ℓ,2ℓ eine Matrix stehen, die einen von 0

9

verschiedenen Eintrag in der 2ℓ-ten Zeile hat. Dies sind aber nur die Matrizenx_2ℓ−2 undx_2ℓ. Links von der Matrix x_2ℓ−1 muß eine Matrix stehen, die in derℓ-ten Spalte einen von 0 verschiedenen Eintrag hat, auch dies sind nur die Matrizen x_2ℓ−2 und x_2ℓ. Entsprechend m¨ussen links und rechts von der Matrix x_2ℓ die beiden Matrizen x_2ℓ−1 undx_2ℓ+1 stehen. Daher m¨ussen die vier Matrizenx_2ℓ−2, x_2ℓ−1, x_2ℓ und x_2ℓ+1 direkt nebeneinander stehen, und zwar in einer der Reihenfolgen:

x_2ℓ−2x_2ℓ−1x_2ℓx_2ℓ+1 =e_{2ℓ−1,2ℓ−1} x_2ℓ+1x_2ℓx2ℓ−1x2ℓ−2 =eℓ−1,ℓ−1

Durch Multiplikation von links mit Permutationen der Form (2ℓ−2,2ℓ−1,2ℓ,2ℓ+ 1, k) oder (2ℓ + 1,2ℓ,2ℓ −1,2ℓ −2, k) f¨ur entsprechend gew¨ahlte k, erh¨alt man aus σ eine Permutation ˜σ = σ₁σ₂, so daß σ₁ die Ziffern 2ℓ−2,2ℓ−1,2ℓ,2ℓ+ 1 invarinat l¨aßt und σ₂ die ¨ubrigen Ziffern. Es gilt σ₂ = id oder σ₂ = (2ℓ−2,2ℓ+ 1)(2ℓ−1,2ℓ). Wegen e^t₁x_σ1· · ·x_{σ(4ℓ−2)e1} 6= 0 gilt außerdem e^t₁x_σ1· · ·x_{σ(4ℓ−2)e1} = e^t₁x_σ11· · ·x_{σ1(2ℓ−3)}x_σ1(2ℓ+2)· · ·x_{σ1(4ℓ−2)}e₁. Es seiτ ∈S_4ℓ−6 mit

τ i=

(σ₁i fallsi <2ℓ−2, σ₁i−4 falls i >2ℓ+ 1.

Sind ˜x₁, . . . ,x˜_4ℓ−6 wie in der Proposition definiert, wobei manℓdurchℓ−1 ersetzt, so gilt ψ(˜xτ i) = xσ2i f¨ur 1 ≤ i ≤ 4ℓ−6 und daher e^t₁x˜τ1· · ·x˜_τ(4ℓ−6)e1 6= 0. Da sgn(σ) = sgn(σ₁σ₂) = sgn(σ₁) = sgn(τ) gilt, folgt per Induktion f¨ur alle ℓ, daß alle σ mite^t₁x_σ1· · ·x_4ℓ−2e₁6= 0 gleiches Vorzeichen haben.

Da die Eintr¨age derx_i alle nichtnegativ sind, gen¨ugt es nun also, eine Permutation σ anzugeben, mite^t₁x_σ1· · ·x_σ(4ℓ−2)e₁ 6= 0. Es gilt aber e^t₁x₁· · ·x_4ℓ−2e₁= 1.

Satz 3.2.Es gibtx₁, . . . , x_4ℓ−1 ∈sp_2ℓ mit A_4ℓ−1(x)6= 0.

Beweis:Seiτ = (1,4ℓ−2)(2,4ℓ−3)· · ·(2ℓ−1,2ℓ). Dann ist sgn(τ) =−1 und f¨ur x₁, . . . , x_4ℓ−2 ∈sp_2ℓ gilt:

A_4ℓ−2(x)^s = X

σ∈S_4ℓ−2

sgn(σ)(x_σ1· · ·x_σ(4ℓ−2))^s

= X

σ∈S_4ℓ−2

sgn(σ)x^s_σ(4ℓ−2)· · ·x^s_σ1

= X

σ∈S_4ℓ−2

sgn(σ)x^s_στ1· · ·x^s_{στ(4ℓ−2)}

= sgn(τ) X

σ∈S_4ℓ−2

sgn(σ)x^s_σ1· · ·x^s_σ(4ℓ−2)

=−A_4ℓ−2(x).

Also istA4ℓ−2(x)∈sp_2ℓ.

Sind nun x₁, . . . , x_4ℓ−2 ∈ sp_2ℓ so, daß A_4ℓ−2(x) 6= 0 gilt, und x_4ℓ−1 ∈ sp_2ℓ belie- big, so gilt trA_4ℓ−1(x) = (4ℓ−1) tr(A_4ℓ−2(x)x_4ℓ−1). Da sp_2ℓ halbeinfach und die

Assoziative Standard-Identit¨at f¨ursp_2ℓ 11

Standarddarstellung treu ist, ist die Bilinearform sp_2ℓ×sp_2ℓ →K

(x, y)7→trxy

nicht degeneriert, es gibt also ein x_4ℓ−1 ∈sp_2ℓ mit trA_4ℓ−1(x) 6= 0. F¨ur diese x ist dann aber auch A4ℓ−1(x)6= 0.

Standard-Lie-Identit¨ at f¨ ur gl d

In diesem und dem folgenden Kapitel soll bestimmt werden, f¨ur welches minimalen die Identit¨atL_n(x, y) = 0 in gl_d gilt. Zun¨achst sind einige Vorbereitungen n¨otig.

Wir w¨ahlen das Repr¨asentantensystem S_k,ℓ von S_k+ℓ/S_k×S_ℓ, definiert durch S_k,ℓ:={σ ∈S_k+ℓ|σ1<· · ·< σk, σ(k+ 1)<· · ·< σ(k+ℓ)}, und definieren das PolynomB_k,ℓ∈K{X1, . . . , X_k+ℓ, Y} durch

B_k,ℓ(X, Y) := X

σ∈Sk,ℓ

X_σk· · ·X_σ1Y X_σ(k+1)· · ·X_σ(k+ℓ). Lemma 4.1.Es gilt

[[· · ·[Y, X₁],· · ·], X_n] = Xn k=0

(−1)^kB_k,n−k(X, Y).

Beweis:Per Induktion ¨ubern. F¨ur n= 0 ist die Behauptung Y =Y, also erf¨ullt.

Gelte nun die Behauptung f¨urn−1. Dann folgt

[[· · ·[Y, X1],· · ·], Xn] = [[· · ·[Y, X1],· · ·], Xn−1]Xn−Xn[[· · ·[Y, X1],· · ·], Xn−1]

=

n−1X

k=0

(−1)^kB_k,n−k−1(X, Y)X_n−X_n

n−1X

k=0

(−1)^kB_k,n−k−1(X, Y)

=B0,n−1(X, Y)X_n+

n−1X

k=1

(−1)^kB_k,n−k−1(X, Y)X_n

−

n−2X

k=0

(−1)^kX_nB_k,n−k−1(X, Y)−(−1)ⁿ⁻¹X_nB_n−1,0(X, Y)

=B_0,n(X, Y) + (−1)ⁿB_n,0(X, Y) +

n−1X

k=1

(−1)^k B_k,n−k−1(X, Y)X_n+X_nB_k−1,n−k(X, Y)

| {z }

=Bk,n−k(X,Y)

= Xn k=0

(−1)^kB_k,n−k(X, Y).

12

Standard-Lie-Identit¨at f¨urgl_d 13

Definition:Wir definieren die Polynome A_k,ℓ∈K{X₁, . . . , X_k+ℓ, Y} durch A_k,ℓ(X, Y) = X

σ∈Sk+ℓ

sgn(σ)X_σ1· · ·X_σkY X_σ(k+1)· · ·X_σ(k+ℓ).

Offenbar sind die Polynome A_k,ℓ alternierend in den X_i und multilinear in allen Variablen, und jedes andere Polynom mit diesen Eigenschaften l¨aßt sich eindeutig als Linearkombination der A_k,ℓ darstellen.

Die Koeffizienten a_k,ℓseien durch folgende Darstellung definiert:

L_n(X, Y) = Xn k=0

a_k,n−kA_k,n−k(X₁, . . . , X_n, Y). (4.1) Lemma 4.2. Es gilt

a_k,ℓ=







0 fallskund ℓbeide ungerade,

(−1)⌊^k+12 ⌋

⌊^k+ℓ₂ ⌋

⌊k/2⌋

sonst.

Beweis:Nach Lemma 4.1 gilt L_n(X, Y) = X

σ∈Sn

sgn(σ) Xn k=0

(−1)^kB_k,n−k(X_σ1, . . . , X_σn, Y), und daher

a_k,ℓA_k,ℓ(X, Y) = (−1)^k X

σ∈S_k+ℓ

sgn(σ)B_k,ℓ(X_σ1, . . . , X_σ(k+ℓ), Y).

Ist nun

A˜_k,ℓ(X, Y) = X

σ∈S_k+ℓ

sgn(σ)X_σk· · ·Xσ1Y X_σ(k+1)· · ·X_σ(k+ℓ), so ist ˜A_k,ℓ= (−1)^⌊k/2⌋A_k,ℓ.

Definiert man die Koeffizienten b_k,ℓ durch X

σ∈Sk+ℓ

sgn(σ)B_k,ℓ(Xσ1, . . . , X_σ(k+ℓ), Y) =b_k,ℓA˜_k,ℓ(X, Y), so gilt a_k,ℓ= (−1)^k+⌊k/2⌋b_k,ℓ= (−1)^{k−⌊k/2⌋}b_k,ℓ= (−1)^{⌊(k+1)/2⌋}b_k,ℓ. Es gen¨ugt also, dieb_k,ℓzu berechnen:

b_k,ℓA˜_k,ℓ(X, Y) = X

σ∈Sk+ℓ

sgn(σ)B_k,ℓ(X_σ1, . . . , X_σ(k+ℓ), Y)

= X

σ∈Sk+ℓ

sgn(σ) X

τ∈Sk,ℓ

X_{στ k}· · ·X_στ1Y X_στ(k+1)· · ·X_στ(k+ℓ)

= X

τ∈Sk,ℓ

sgn(τ) X

σ∈S_k+ℓ

sgn(στ)X_{στ k}· · ·X_στ1Y X_στ(k+1)· · ·X_στ(k+ℓ)

= X

τ∈Sk,ℓ

sgn(τ) ˜A_k,ℓ(X, Y),

alsob_k,ℓ=P

σ∈Sk,ℓsgn(σ).

Da das einzige Element inS_k,0 bzw. inS_0,ℓ die Identit¨at ist, gilt b_k,0 =b_0,ℓ= 1.

Nach der Definition vonS_k,ℓist f¨ur jedesσ∈S_k,ℓentwederσ1 = 1 oderσ(k+1) = 1.

Im ersten Fall erh¨alt man durch die Operation vonσ auf den Ziffern 2, . . . , k+ℓein σ₁ ∈S_k−1,ℓ. Im zweiten Fall sei σ₂ :=σ◦(k+ 1, k, . . . ,1). Dann giltσ₂1 = 1, sowie σ₂2<· · ·< σ₂k < σ₂(k+ 1) und σ₂(k+ 2)<· · ·< σ₂(k+ℓ). Man erh¨alt also eine Bijektion zwischenS_k,ℓ und der disjunkten Vereinigung von S_k−1,ℓ und S_k,ℓ−1, und es gilt die Rekursionsformel:

b_k,ℓ=b_k−1,ℓ+ (−1)^kb_k,ℓ−1. Per Induktion zeigt man leicht

b_k,ℓ=







0 fallskund ℓbeide ungerade, ⌊^k+ℓ₂ ⌋

⌊k/2⌋

sonst, und damit f¨ura_k,ℓ die behauptete Formel.

Lemma 4.3.Es gilt A_k,ℓ= X

σ∈Sk,ℓ

sgn(σ)A_k(Xσ1, . . . , X_σk)Y A_ℓ(X_σ(k+1), . . . , X_σ(k+ℓ)).

Beweis:Es gilt:

X

σ∈Sk,ℓ

sgn(σ)A_k(X_σ1, . . . , X_σk)Y A_ℓ(X_σ(k+1), . . . , X_σ(k+ℓ))

= X

σ∈Sk,ℓ

sgn(σ) X

τ∈Sk

sgn(τ)X_στ1, . . . , X_{στ k}Y X

ρ∈Sℓ

sgn(ρ)X_σρ(k+1), . . . , X_σρ(k+ℓ)

= X

σ∈Sk,ℓ

(τ,ρ)∈Sk×Sℓ

sgn(σ) sgn(τ) sgn(ρ)X_στ1, . . . , X_{στ k}Y X_σρ(k+1), . . . , X_σρ(k+ℓ)

= X

σ∈S_k+ℓ

sgn(σ)Xσ1, . . . , X_σkY X_σ(k+1), . . . , X_σ(k+ℓ) =A_k,ℓ(X, Y).

Definition:F¨urℓ≥1 sei P_k,ℓ(X, Y) = X

τ∈Sk+ℓ

sgn(τ)A_k+1(X_τ1, . . . , X_{τ k}, Y)X_τ(k+1)· · ·X_τ(k+ℓ), Q_k,ℓ(X, Y) = X

τ∈Sk+ℓ

sgn(τ)A_k+1(X_τ1, . . . , X_{τ k},(Y X_τ(k+1)))X_τ(k+2)· · ·X_τ(k+ℓ). Lemma 4.4.Es gilt

P_k,ℓ(X, Y) =k!

Xk i=0

(−1)^k−iA_i,k+ℓ−i(X, Y),

Q_k,ℓ(X, Y) =k!

Xk i=0

A_i,k+ℓ−i(X, Y).

Standard-Lie-Identit¨at f¨urgl_d 15

Beweis: Da P und Q alternierend in den X_i und multilinear in allen Variablen sind, lassen sie sich als Linearkombination der A_i,k+ℓ−i darstellen. Dabei sind die Koeffizienten f¨uri > k offensichtlich 0.

Im folgenden ist σ die Permutation aus der Definition von A_k+1 und τ die aus der Definition vonP bzw.Q. Die Position, an derY steht, ist durchσ(k+ 1) bestimmt.

Ist 0≤i≤kvorgegeben, so gibt es also k! M¨oglichkeiten f¨urσ.

F¨ur die Berechnung der ¨ubrigen Koeffizienten gen¨ugt es, die Koeffizienten der Mo- nome X₁· · ·X_iY X_i+1· · ·X_k+ℓ zu betrachten.

F¨urP ist dann τ = (i+ 1, . . . , k)◦σ⁻¹, der jeweilige Koeffizient also (−1)^k−ik!.

F¨urQist τ =σ⁻¹, der jeweilige Koeffizient alsok!.

Wir ben¨otigen nun noch folgenden Satz von Amitsur und Levitzki [1]. Ein sch¨oner Beweis findet sich in [6].

Satz 4.5. (Amitsur-Levitzki) F¨urx₁, . . . , x_2d∈M_d gilt die Identit¨at A_2d(x) = 0.

Korollar 4.6. Nach Bemerkung 1.1 gilt auch f¨urn ≥2d und x₁, . . . , x_n ∈M_d die Identit¨at

A_n(x) = 0.

Satz 4.7.Sei d≥2 undn= 4d−4 undx₁, . . . , x_n, y∈gl_d. Dann gilt die Identit¨at L_n(x, y) = 0.

Beweis: Nach Lemma 4.3 und Korollar 4.6 ist A_k,ℓ(x, y) gleich 0, wenn k oder ℓ gr¨oßer oder gleich 2dist.

Da nach Lemma 4.2 die Koeffizienten a_{2d−3,2d−1} und a_{2d−1,2d−3} beide gleich 0 sind, ist L_n(x, y) also ein Vielfaches vonA_{2d−2,2d−2}. Es gen¨ugt also,A_{2d−2,2d−2}(x, y) = 0 zu zeigen.

Wegen Ak,4d−4−k(x, y) = 0 f¨urk≤2d−4 gilt nach Lemma 4.4

P_{2d−1,2d−3}(x, y) = (2d−1)!(A_{2d−3,2d−1}(x, y)−A_{2d−2,2d−2}(x, y) +A_{2d−1,2d−3}(x, y)), Q_{2d−1,2d−3}(x, y) = (2d−1)!(A_{2d−3,2d−1}(x, y) +A_{2d−2,2d−2}(x, y) +A_{2d−1,2d−3}(x, y)), also

A_{2d−2,2d−2}(x, y) = 1

2(2d−1)!(Q_{2d−1,2d−3}−P_{2d−1,2d−3})(x, y).

(F¨ur die Definition vonP_{2d−1,2d−3} und Q_{2d−1,2d−3} istd≥2 notwendig.) Nach der Definition von P und Q und Satz 4.5 ist

P_{2d−1,2d−3}(x, y) =Q_{2d−1,2d−3}(x, y) = 0, also auch

A2d−2,2d−2(x, y) = 0.

Bemerkung 4.8.Da gl₁ abelsch ist, gilt hier die Identit¨atL₁(x, y) = 0.

Minimalit¨ at der

Standard-Lie-Identit¨ at f¨ ur gl d

In diesem Kapitel soll gezeigt werden, daß die in Satz 4.7 angegebene Identit¨at minimalen Grad hat.

Hierzu betrachten wir folgende Matrizenx_i, y∈gl_d: F¨ur 1≤i≤d−2 sei

y =e1,1, x4i =e1,i+2,

x₁ =e_1,1, x_4i+1 =e_i+2,1,

x₂ =e_1,2, x_4i+2 =e_2,i+2,

x₃ =e_2,1, x_4i+3 =e_i+2,2.

Dies sind also die Matrizen mit dem Eintrag 1 an genau einer der im folgenden mit

∗gekennzeichneten Stellen, und allen anderen Eintr¨agen 0.









∗ ∗ ∗ · · · ∗

∗ 0 ∗ · · · ∗

∗ ∗ 0 · · · 0 ... ... ... ...

∗ ∗ 0 · · · 0









F¨ur diese Matrizen wird gezeigt, daß e^t₂L4d−5(x, y)e₂ = (−1)^{d+1 2}₃(2d−3)!d² gilt.

5.1 Reduktion auf assoziative Monome

Lemma 5.1.F¨urd≥3 gilt:

L_4d−5(x, y) = 4(−1)^d

2d−3 d−2

A_{2d−4,2d−1}(x, y).

Beweis:Wennkoder lgr¨oßer oder gleich 2dist, istA_k,l(x, y) nach Lemma 4.3 und Korollar 4.6 gleich 0. Nach Gleichung (4.1) gilt daher:

L_4d−5(x, y) =

2d−1X

k=2d−4

a_k,4d−5−kA_k,4d−5−k(x, y).

16

Minimalit¨at der Standard-Lie-Identit¨at f¨urgl_d 17

Aus dem gleichen Grund ist nach Lemma 4.4

P_{2d−1,2d−4}(x, y) =−(2d−1)!

2d−1X

k=2d−4

(−1)^kA_k,4d−5−k(x, y),

Q_{2d−1,2d−4}(x, y) = (2d−1)!

2d−1X

k=2d−4

A_k,4d−5−k(x, y).

Nach der Definition von P und Q und Satz 4.5 gilt P_{2d−1,2d−4}(x, y) = 0 und Q_{2d−1,2d−4}(x, y) = 0. Daher ist

(2d−1)!(A_{2d−4,2d−1} +A_{2d−2,2d−3})(x, y) =1

2(Q_{2d−1,2d−4}−P_{2d−1,2d−4})(x, y) = 0, (2d−1)!(A_{2d−3,2d−2}+A_{2d−1,2d−4})(x, y) =1

2(Q_{2d−1,2d−4}+P_{2d−1,2d−4})(x, y) = 0, also

A_{2d−2,2d−3}(x, y) =−A_{2d−4,2d−1}(x, y),

A_{2d−3,2d−1}(x, y) =−A_{2d−1,2d−4}(x, y). (5.1)

Da diex_i und y Matrizen der Forme_i,j sind, gilt dies auch f¨ur ihr Produkt in einer beliebigen Reihenfolge, sofern es nicht verschwindet. Da alle Zahlen zwischen 1 undd genauso oft als Zeilenindex wie als Spaltenindex auftreten, ist das Produkt dar¨uber- hinaus eine Diagonalmatrix. Also ist auch A_k,4d−5−k(x, y) eine Diagonalmatrix.

Es gilty^t=y, x^t₁ =x₁ und x^t_2i=x_2i+1 f¨ur 1≤i≤2d−3. Sei ρ= (2 3)· · ·(4d−6,4d−5)

τ = (1,4d−5)(2,4d−6)· · ·(2d−3,2d−1).

Dann giltx_ρi=x^t_i undτ i= 4d−4−if¨ur alle i, sowie sgn(ρ) = (−1)^2d−3 = sgn(τ).

Es folgt:

A_k,4d−5−k(x, y) = (A_k,4d−5−k(x, y))^t

= X

σ∈S4d−5

sgn(σ)x_σ1· · ·x_σkyx_σ(k+1)· · ·x_σ(4d−5)t

= X

σ∈S4d−5

sgn(σ)x^t_σ(4d−5)· · ·x^t_σ(k+1)y^tx^t_σk· · ·x^t_σ1

= X

ρστ∈S4d−5

sgn(ρστ)x^t_{ρστ(4d−5)}· · ·x^t_ρστ(k+1)yx^t_{ρστ k}· · ·x^t_ρστ1

= X

σ∈S_4d−5

sgn(σ)x_σ1· · ·x_{σ(4d−5−k)}yx_{σ(4d−4−k)}· · ·x_σ(4d−5)

=A_4d−5−k,k(x, y).

Daher ist nach Lemma 4.2 und (5.1) L_n(x, y) = (−1)^d−2

2d−3 d−2

A_{2d−4,2d−1}(x, y) + (−1)^d−1

2d−3 d−2

A_{2d−3,2d−2}

| {z }

=−A_{2d−1,2d−4}

(x, y)

+ (−1)^d−1

2d−3 d−1

A_{2d−2,2d−3}

| {z }

=−A2d−4,2d−1

(x, y) + (−1)^d

2d−3 d−1

A_{2d−1,2d−4}

| {z }

=A2d−4,2d−1

(x, y)

= 4(−1)^d

2d−3 d−2

A_{2d−4,2d−1}(x, y).

5.2 Reduktion auf Folgen der Ziffern 1 und 2

Wir betrachten nur solche σ mitx_σ1· · ·x_σ(2d−4)yx_σ(2d−3)· · ·x_σ(4d−5) =e_2,2. Sei

s^σ_i =















2 falls i= 0,

der Spaltenindex von x_σi falls 1≤i≤2d−4,

1 falls i= 2d−3,

der Spaltenindex von x_σ(i−1) falls 2d−2≤i≤4d−4.

Insbesondere ists^σ_2d−4 = 1 und s^σ_4d−4 = 2.

Mits^σ wird die Folges^σ₀, . . . , s^σ_4d−4 bezeichnet. Da diexi paarweise verschieden sind, istσdurchs^σeindeutig bestimmt. Wir untersuchen nun, wie sgn(σ) vons^σ abh¨angt.

Sei

U_σ ={i|s^σ_i−1= 1, s^σ_i+1 = 1,3≤s^σ_i ≤d}, Oσ ={i|s^σ_i−1 = 2, s^σ_i+1= 2,3≤s^σ_i ≤d}, S_σ ={i|s^σ_i−1 = 1, s^σ_i+1 = 2,3≤s^σ_i ≤d}, F_σ ={i|s^σ_i−1 = 2, s^σ_i+1= 1,3≤s^σ_i ≤d},

f_σ=|F_σ|, E_σ ={i|s^σ_i = 1},

Z_σ ={i|s^σ_i = 2}.

F¨urMσ ∈ {Uσ, Oσ, Sσ, Fσ}sei weiters^σ_M ={s^σ_i|i∈Mσ}, das heißts^σ_U ist die Menge der Indizes 3≤i≤d, f¨ur die ins^σ irgendwo . . . ,1, i,1, . . . auftaucht. Entsprechend taucht f¨uri∈s^σ_O, i∈s^σ_S oder i∈s^σ_F irgendwo 2, i,2, bzw. 1, i,2, bzw. 2, i,1 auf.

Bemerkung 5.2.

• Da f¨ur jedes 3≤a≤ddie Matrizene_1,a, e_2,a, e_a,1unde_a,2 jeweils genau einmal vorkommen, gilt offenbar s^σ_U =s^σ_O und s^σ_S=s^σ_F.

• Aus dem selben Grund ist{3, . . . , d}die disjunkte Vereinigung vons^σ_U unds^σ_F.

• Desweiteren sindO_σ, U_σ, S_σ und F_σ durchE_σ und Z_σ eindeutig bestimmt.

Minimalit¨at der Standard-Lie-Identit¨at f¨urgl_d 19

Lemma 5.3. Es gibt (d−2)!f_σ!(d−2−f_σ)! verschiedene τ mit E_σ = E_τ und Z_σ =Z_τ.

Beweis: Da s^τ_F eine beliebige f_σ-elementige Teilmenge von {3, . . . , d} ist, gibt es hierf¨ur ^d−2_f

σ

M¨oglichkeiten.

Die Abbildung M → s^τ_M, i 7→ s^τ_i ist f¨ur M =U_τ, M = O_τ, M = S_τ und M = F_τ jeweils bijektiv, daher gibt es je |M|! M¨oglichkeiten, diese Abbildung zu w¨ahlen.

Wegen |Uτ|=|Oτ|=d−2−fσ und |Sτ|=|Fτ|=fσ ergeben sich also insgesamt d−2

f_σ

f_σ!f_σ!(d−2−f_σ)!(d−2−f_σ)! = (d−2)!f_σ!(d−2−f_σ) M¨oglichkeiten f¨urτ.

Definition:Zu gegebenem σ sei ρ_σ ∈S₃ die eindeutig bestimmte Permutation mit σ⁻¹ρ_σ1< σ⁻¹ρ_σ2< σ⁻¹ρ_σ3.

Die Permutation ρ_σ gibt also an, in welcher Reihenfolge die Ziffern 1,2 und 3 in σ1, . . . , σ(4d−5) auftreten.

Proposition 5.4. Es gilt sgn(σ) = (−1)^fσsgn(ρ_σ).

Beweis:Wir nennen eine Folgetrelevant, wenn es ein σ gibt, mitt=s^σ. Zun¨achst geben wir eine solche relevante Folges^σ an, und berechnen das Vorzeichen der dazu geh¨orenden Permutationσ. Anschließend zeigen wir, daß man daraus durch gewisse Operationen schrittweise jede andere relevante Folge erhalten kann, und wie sich das Vorzeichen der entsprechenden Permutation dabei verh¨alt.

Sei

s^σ = 2,3,1,4,1,5,1, . . . , 1, d , 1,1,1,2,1,3,2, 4, 2,5,2, . . . ,2, d,2.

Das dazu geh¨orende Monom in A_{2d−4,2d−1} ist

x6x5x8x9x12x13· · ·x4d−8x4d−7y x1x2x3x4x7x10x11x14x15· · ·x4d−6x4d−5. Behauptung: F¨ur die entsprechende Permutation σ gilt sgn(σ) =−1.

Begr¨undung: F¨urd= 3 ist das Monom x₆x₅yx₁x₂x₃x₄x₇, es gibt neun Fehlst¨ande, das Vorzeichen ist also (−1)⁹ =−1.

Seid >3 und die Behauptung gelte f¨urd−1. F¨ur diesen Schritt m¨ussen die Matri- zen x_4d−8, x_4d−7, x_4d−6 und x_4d−5 eingef¨ugt werden. F¨urx_4d−6 und x_4d−5 kommen keine weiteren, f¨ur x_4d−8 und x_4d−7 kommen jeweils 2d−3 Fehlst¨ande hinzu, das Vorzeichen bleibt also gleich.

Andererseits ist offenbar ρ_σ die Identit¨at und f_σ = 1. (Es gilt F_σ ={1} und s^σ_F = {3}.) F¨ur diese Folge gilt also die Aussage der Proposition.

In der folgenden Tabelle geben wir nun einige M¨oglichkeiten an, eine relevante Folge durch eine andere zu ersetzen, sowie jeweils, wie sich sgn(σ), sgn(ρ_σ) und f_σ dabei

¨andern. Dabei stehena, b, c, df¨ur Ziffern≥3, die nicht notwendigerweise verschieden sein m¨ussen. Folgt die Ziffer 1 zweimal direkt aufeinander, so steht an dieser Stelle

die Matrixx₁, da die Position vonysowieso nicht ver¨andert werden kann (da wir ein Monom ausA_{2d−4,2d−1} berechnen, stehtyan der (2d−3)-ten Stelle). Bei der letzten Ersetzung werden wir verwenden, daß sie auch dann g¨ultig ist, wenn die durch

”|“

getrennten Abschnitte in einer anderen Reihenfolge auftreten.

Man kann jede relevante Folge schrittweise durch wiederholte Anwendung dieser Ersetzungen in die oben genannte ¨uberf¨uhren. Welche Ersetzungen man f¨ur die- se Schritte genau ben¨otigt, wird weiter unten beschrieben. Man geht in folgenden

Anderung¨

ersetze durch

sgn(σ) sgn(ρσ) (−1)fσ

. . . ,1,1, a,1, . . . ,1, a,1,1, . . . 1 1 1 . . . ,1,1, a,2,1, . . . ,1, a,2,1,1, . . . −1 −1 1 . . . ,1,1, a,2, b,1, . . . ,1, a,2, b,1,1, . . . 1 1 1 . . . ,1,2, a,1,1, . . . ,1,1,2, a,1, . . . −1 −1 1 . . . ,1,2, a,1, b,1, . . . ,1, b,1,2, a,1, . . . 1 1 1 . . . ,1,2, a,1, b,2, . . . ,1, b,2, a,1,2, . . . 1 1 1 . . . ,1,2, a,2, . . . ,1, b,1, c,2, . . . ,1, b,1,2, . . . ,1, c,2, a,2, . . . 1 1 1 . . . ,2,1, a,1, . . . ,1, b,2, c,2, . . . ,2, c,2,1, . . . ,1, a,1, b,2, . . . 1 1 1 . . . ,2,1, a,2, b,1, . . . ,2, b,1, a,2,1, . . . 1 1 1 . . . ,2,1, a,2, b,2, . . . ,2, b,2,1, a,2, . . . 1 1 1 . . . ,2, a,2, b,1, . . . ,1, c,1, d,2, . . . ,2, b,1, c,1, . . . ,1, d,2, a,2, . . . 1 1 1 . . . ,1, a,1, b,2, . . . ,1, c,2, d,2, . . . ,1, b,2, d,2, . . . ,1, a,1, c,2, . . . 1 1 1 . . . ,2, a,1, a,2, b,1, . . . ,2, a,2, b,1, a,1, . . . −1 1 −1 . . . ,1, a,2, a,1, b,2, . . . ,1, a,1, b,2, a,2, . . . −1 1 −1 . . . ,1,1,2, . . . ,1, a,2, . . . ,1, a,2, . . . ,1,1,2, . . . 1 1 1 . . . ,1,2,1, . . . ,1, a,1, . . . ,1, a,1, . . . ,1,2,1, . . . 1 1 1 . . . ,2,1,1, . . . ,2, a,1, . . . ,2, a,1, . . . ,2,1,1, . . . 1 1 1 . . . ,2,1,2, . . . ,2, a,2, . . . ,2, a,2, . . . ,2,1,2, . . . 1 1 1 . . . ,1, a,1,1, . . . ,1,1, a,1, . . . 1 1 1 . . . ,1, a,2, b,1,1, . . . ,1,1, a,2, b,1, . . . 1 1 1 . . . ,1, a,1,2, . . . ,1, b,2, c,2, . . . ,1,2, c,2, . . . ,1, a,1, b,2, . . . 1 1 1 . . . ,1, a,2, b,1,2, . . . ,1,2, b,1, a,2, . . . 1 1 1 . . . ,2, a,1, b,2,1, . . . ,2,1, b,2, a,1, . . . 1 1 1 . . . ,2, a,2,1, . . . ,1, b,1, c,2, . . . ,2,1, b,1, . . . ,1, c,2, a,2, . . . 1 1 1 . . . ,1,1, a,2,1,2, . . . ,1,1,2,1, a,2, . . . −1 −1 1 . . . ,1,2, a,1,1, b,2,1, . . . ,1,1,2,1, b,2, a,1, . . . −1 −1 1 . . . ,1,2,1,1, . . . ,1,1,2,1, . . . 1 1 1 . . . ,1, a,2,1,1,2, . . . ,1,1,2,1, a,2, . . . 1 1 1 . . . ,1, a,2,1,2, b,1,1, . . . ,1,1,2,1, a,2, b,1, . . . −1 −1 1 . . . ,1, a,1, . . . ,1, b,1, . . . ,1, b,1, . . . ,1, a,1 1 1 1 . . . ,1, a,2, . . . ,1, b,2, . . . ,1, b,2, . . . ,1, a,2 1 1 1 . . . ,2, a,1, . . . ,2, b,1, . . . ,2, b,1, . . . ,2, a,1 1 1 1 . . . ,2, a,2, . . . ,2, b,2, . . . ,2, b,2, . . . ,2, a,2 1 1 1 . . . ,1, a,1, . . .|. . . ,2, a,2, . . .| . . . ,1, b,1, . . .|. . . ,2, b,2, . . .|

. . . ,1, b,2, . . .|. . . ,2, b,1, . . . ,1, a,2, . . .|. . . ,2, a,1, . . . 1 1 1

Minimalit¨at der Standard-Lie-Identit¨at f¨urgl_d 21

Schritten vor:

1. Schritt: Da y an der (2d−3)-ten Stelle steht, befinden sich links von y entwe- der keine oder genau zwei der Matrizen x₁, x₂, x₃. Stehen links von y zwei dieser Matrizen, so ver¨andert man die Folge zun¨achst so, daß diese beiden Matrizen direkt nebeneinander stehen.

2. Schritt: Als n¨achstes wendet man eine derartige Ersetzung an, daß danach die drei Matrizen x₁, x₂ und x₃ rechts vony stehen.

3. Schritt: Nun bringt man diese drei Matrizen an die gew¨unschte Position und in die gew¨unschte Reihenfolgex₁, x₂, x₃.

4. Schritt:Als n¨achstes sorgt man daf¨ur, daß die Ziffern 1 und 2 an den richtigen Positionen stehen.

5. Schritt: Abschließend bringt man die Ziffern≥3 an die richtigen Stellen.

Dabei kann man bei den ersten drei Schritten o. B. d. A.davon ausgehen, daß rechts jede ben¨otigte Teilfolge, in der die Ziffern 1 und 2 nicht direkt nebeneinander stehen, hinreichend oft auftaucht: Ist dies n¨amlich nicht der Fall, so kann man die Folge unter Hinzunahme weiterer Ziffern entsprechend verl¨angern, und in den letzten beiden Schritten diesen zus¨atzlichen Teil wieder genau in die urspr¨ungliche Form bringen.

In den einzelnen Schritten geht man folgendermaßen vor:

1. Schritt: Stehen links von y zwei der Matrizen x₁, x₂, x₃, so versucht man die linke dieser beiden solange mittels den Ersetzungen aus dem ersten Block nach rechts zu verschieben, bis beide Matrizen direkt nebeneinander stehen. Ist dies nicht m¨oglich, da die Folge die Form . . . ,1,1, a,2, b,2, . . . hat, so muß man entweder die erste Ersetzung aus dem zweiten Block oder die achte Ersetzung aus dem ersten Block, allerdings in der anderen Richtung, so oft anwenden, bis man die dritte bzw.

die zweite Ersetzung aus dem ersten Block anwenden kann.

2. Schritt: Hierf¨ur gen¨ugt eine Ersetzung aus dem dritten Block.

3. Schritt: Mit den Ersetzungen aus dem viertem Block bringt man die Matri- zen x₁, x₂, x₃ m¨oglichst weit nach links. Ist keine dieser Ersetzungen anwendbar, so ben¨otigt man eine der ersten beiden Ersetzungen aus dem zweiten Block.

Nun kann man mit einer der Ersetzungen aus dem f¨unften Block diese drei Matrizen in die gew¨unschte Reihenfolge bringen.

4. Schritt: Um die Ziffern 1 und 2 nun an die gew¨unschten Positionen zu bringen, muß man zwei m¨oglichst lange Teilfolgen derart erreichen, daß in der linken die Ziffer 2 und in der rechten die Ziffer 1 nicht auftritt. Hierzu muß man m¨oglichst oft die dritte oder vierte Ersetzung aus dem zweiten Block anwenden. Damit dies m¨oglich ist, bringt man mittels der ersten beiden Ersetzungen aus dem zweiten Block die Ziffern 1 jeweils m¨oglichst weit nach links, und benutzt dann eine der Ersetzungen aus dem letzten Block.

Wurde in einem der bisherigen Schritte die Folge wie oben beschrieben verl¨angert, so muß man eventuell die Ersetzungen aus dem zweiten Block auch in der anderen Richtung anwenden.

5. Schritt: Um abschließend noch die Ziffern ≥ 3 an die gew¨unschten Positionen zu bringen, gen¨ugen die Ersetzungen aus dem letzten Block.

Aus der Folge s^σ erh¨alt man eine Folge a =a₀, a₁, . . . ∈ {1,2}^2d+1, indem man s^σ von links nach rechts durchl¨auft, und nur die Ziffern 1 und 2 notiert. In dieser Folge akennzeichne man die Positionen, an denen die Matrizeny, x₁, x₂, x₃ standen durch ein Quadrupel (i, j, k, l). Es gelte also

a_i−1= 1, a_j−1= 1, a_k−1 = 1, a_l−1 = 2,

a_i= 1, a_j = 1, a_k = 2, a_l= 1.

Offenbar lassen sich ausa und diesem Quadrupel sowohlf_σ als auch ρ_σ rekonstru- ieren. Sei A die Menge aller Paare von Folgen und Quadrupeln, die man auf diese Weise erhalten kann. Mit der eben bewiesenen Proposition und dem vorangegange- nen Lemma erhalten wir das Ergebnis:

e^t₂A2d−4,2d−1e₂=X

A

(−1)^fσsgn(ρ_σ)(d−2)!f_σ!(d−2−f_σ)!

5.3 Einige Aussagen ¨ uber Folgen der Ziffern 1 und 2

In diesem Abschnitt soll untersucht werden, wie viele verschiedene Folgen der Ziffern 1 und 2 es gibt, die man so, wie am Ende des vorigen Abschnitts beschrieben, erhalten kann.

Definition:Eine Folge a=a0, . . . , an mitai ∈ {1,2} heißt an der Stelle 0< i≤n fallend, wenn ai−1 = 2 und a_i = 1.

Weiter seif_a die Anzahl der i, so daßaan der Stelle ifallend ist unde_adie Anzahl derimita_i= 1.

Lemma 5.5.F¨ur nat¨urliche Zahlen n, e, f und α, β ∈ {1,2} gibt es genau e−1

e−f−2 +α

n−e n−e−f+ 2−β

Folgen a∈ {1,2}ⁿ⁺¹ mite_a=e, f_a=f, a₀ =α und a_n=β.

Beweis:SeiK₁:={1, . . . , e−1}und K₂ :={1, . . . , n−e}. Weiter sei u=e−f −2 +α,

o=n−e−f + 2−β,

und U eine u-elementige Teilmenge von K₁, sowie O eine o-elementige Teilmenge von K₂. Offenbar gibt es genau _e−f^e−1_−2+α

M¨oglichkeiten f¨ur U und _{n−e−f+2−β}^n−e M¨oglichkeiten f¨urO.

Andererseits l¨aßt sich aus diesen Daten genau eine Folge a mit den gew¨unschten Eigenschaften konstruieren, wobeiu die Anzahl der i mitai−1 =ai = 1 und o die Anzahl derimitai−1=a_i = 2 ist. Dazu geht man wie folgt vor:

a₀ =α,

a_i=















1 falls a_i−1 = 1 und b_i∈U,

2 falls ai−1 = 1 und b_i∈K₁\U oder b_i=e, 2 falls a_i−1 = 2 und c_i∈O,

1 falls ai−1 = 2 und ci∈K2\O oder ci=n−e+ 1, wobeib_i undc_i die Anzahl der 0≤j ≤i−1 mit a_j = 1 bzw.a_j = 2 ist.