Reihen GrundlagenderAnalysis

Grundlagen der Analysis

Wintersemester 2019/20

Reihen

Prof. Dr. David Sabel

LFE Theoretische Informatik

Partialsumme

Definition (Partialsummen)

F¨ ur eine Folge (a

)

ist die n-te

s

definiert als s

:=

n

X

k=0

a

D.h.

Beispiel: (a

)

wobei a

:= 1 n + 1

s

= a

s

= a

=

s

= a

+ a

s

= a

+ a

=

+

=

s

= a

+ a

+ a

s

= a

+ a

+ a

=

+

+

=

. . .

Partialsumme

Definition (Partialsummen)

F¨ ur eine Folge (a

)

ist die n-te

s

definiert als s

:=

n

X

k=0

a

D.h. Beispiel: (a

)

wobei a

:= 1 n + 1 s

= a

s

= a

=

s

= a

+ a

s

= a

+ a

=

+

=

s

= a

+ a

+ a

s

= a

+ a

+ a

=

+

+

=

. . .

Partialsumme

Definition (Partialsummen)

F¨ ur eine Folge (a

)

ist die n-te

s

definiert als s

:=

n

X

k=0

a

D.h. Beispiel: (a

)

wobei a

:= 1 n + 1 s

= a

s

= a

=

s

= a

+ a

s

= a

+ a

=

+

=

s

= a

+ a

+ a

s

= a

+ a

+ a

=

+

+

=

. . . . . .

Unendliche Reihen

Definition (Unendliche Reihe)

Die Folge (s

)

der Summen heißt

(kurz einfach nur

Wenn diese Folge konvergiert, so schreiben wir

∞

X

k=0

a

f¨ ur ihren Grenzwert, d.h.

∞

X

k=0

a

:= lim

n→∞ n

X

k=0

a

Wenn der Grenzwert nicht existiert, dann sagen wir:

∞

X

k=0

a_k konvergiert nicht.

Die Definition der bestimmten Divergenz ¨ ubertr¨ agt sich vom

Grenzwert der Partialsummen auf die Reihe.

Unendliche Reihen

Definition (Unendliche Reihe)

Die Folge (s

)

der Summen heißt

(kurz einfach nur

Wenn diese Folge konvergiert, so schreiben wir

∞

X

k=0

a

f¨ ur ihren Grenzwert, d.h.

∞

X

k=0

a

:= lim

n→∞

n

X

k=0

a

Wenn der Grenzwert nicht existiert, dann sagen wir:

∞

X

k=0

a_k konvergiert nicht.

Die Definition der bestimmten Divergenz ¨ ubertr¨ agt sich vom

Grenzwert der Partialsummen auf die Reihe.

Unendliche Reihen

Definition (Unendliche Reihe)

Die Folge (s

)

der Summen heißt

(kurz einfach nur

Wenn diese Folge konvergiert, so schreiben wir

∞

X

k=0

a

f¨ ur ihren Grenzwert, d.h.

∞

X

k=0

a

:= lim

n→∞

n

X

k=0

a

Wenn der Grenzwert nicht existiert, dann sagen wir:

Die Reihe

∞

X

k=0

a_k konvergiert nicht.

Die Definition der bestimmten Divergenz ¨ ubertr¨ agt sich vom

Grenzwert der Partialsummen auf die Reihe.

Bemerkungen

Die Notation

∞

X

k=0

a

wird doppelt verwendet:

F¨ ur die Folge (

n

X

k=0

a

)

der Partialsummen (d.h. f¨ ur die Reihe selbst)

F¨ ur den Grenzwert dieser Folge, wenn er existiert.

Entsprechende Definitionen gelten, wenn die Summation nicht mit 0, sondern mit m ∈

beginnt:

∞

X

k=m

a

:= lim

n→∞ n

X

k=m

a

Bemerkungen

Die Notation

∞

X

k=0

a

wird doppelt verwendet:

F¨ ur die Folge (

n

X

k=0

a

)

der Partialsummen (d.h. f¨ ur die Reihe selbst)

F¨ ur den Grenzwert dieser Folge, wenn er existiert.

Entsprechende Definitionen gelten, wenn die Summation nicht mit 0, sondern mit m ∈

beginnt:

∞

X

k=m

a

:= lim

n→∞

n

X

k=m

a

Bemerkungen (2)

Folgen (a

)

k¨ onnen auch durch unendliche Reihen beschrieben werden, denn

a

= a

+

n

X

k=1

(a

− a

)

D.h. falls (a

)

konvergiert (bzw. die Reihe

∞

X

k=1

(a

− a

) konvergiert), dann gilt

n→∞

lim a

= a

+

∞

X

k=1

(a

− a

)

Beispiele: Geometrische Reihe

Satz 5.1 (Unendliche geometrische Reihe) F¨ ur x ∈

mit |x| < 1 gilt

∞

X

n=0

x

= 1 1 − x .

Es gilt

k

X

n=0

x

= 1 − x

1 − x (Satz 2.4) Außerdem gilt:

k→∞

lim

1 − x

1 − x = 1

1 − x , da lim

k→∞

x

= 0 (mit Satz 3.15)

Beispiele (2)

Der vorherige Satz erfasst alle M¨ oglichkeiten f¨ ur die Konvergenz der unendlichen geometrischen Reihe:

F¨ ur |x| < 1 gilt

∞

X

n=0

x

= 1 1 − x . F¨ ur x ≥ 1 gilt

∞

X

n=0

x

= ∞.

Beispiele: Geometrische Reihe (2)

Satz 5.2 Es gilt

∞

X

k=1

1

k(k + 1) = 1.

Beweis.

1

Zeige mit Induktion

n

X

k=1

1

k(k + 1) = n

n + 1 f¨ ur n

(n¨ achste Folie)

2

Anschließend verwende lim

n→∞

n

n + 1 = 1.

Beispiele: Geometrische Reihe (2)

Satz 5.2 Es gilt

∞

X

k=1

1

k(k + 1) = 1.

Beweis.

1

Zeige mit Induktion

n

X

k=1

1

k(k + 1) = n

n + 1 f¨ ur n ∈

(n¨ achste Folie)

2

Anschließend verwende lim

n→∞

n

n + 1 = 1.

Beispiele: Geometrische Reihe (2)

Satz 5.2 Es gilt

∞

X

k=1

1

k(k + 1) = 1.

Beweis.

1

Zeige mit Induktion

n

X

k=1

1

k(k + 1) = n

n + 1 f¨ ur n ∈

(n¨ achste Folie)

2

Anschließend verwende lim

n→∞

n

n + 1 = 1.

Beispiele: Geometrische Reihe (3)

Induktionsbeweis, dass

n

X

k=1

1

k(k + 1) = n

n + 1 (f¨ ur n ∈

) gilt.

Induktionsbasis:

1

X

k=1

1

k(k + 1) = 1 1

2 = 1

2 .

Induktionsschritt:

n+1

X

k=1

1

k(k + 1) = 1

(n + 1)(n + 2) +

n

X

k=1

1 k(k + 1)

I.V.

= 1

(n + 1)(n + 2) + n

n + 1 = 1

(n + 1)(n + 2) + n(n + 2) (n + 1)(n + 2)

= 1 + n(n + 2)

(n + 1)(n + 2) = 1 + n

+ 2n

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)

(n + 2)

Beispiele: Geometrische Reihe (3)

Induktionsbeweis, dass

n

X

k=1

1

k(k + 1) = n

n + 1 (f¨ ur n ∈

) gilt.

Induktionsbasis:

1

X

k=1

1

k(k + 1) = 1 1

2 = 1

2 .

Induktionsschritt:

n+1

X

k=1

1

k(k + 1) = 1

(n + 1)(n + 2) +

n

X

k=1

1 k(k + 1)

I.V.

= 1

(n + 1)(n + 2) + n

n + 1 = 1

(n + 1)(n + 2) + n(n + 2) (n + 1)(n + 2)

= 1 + n(n + 2)

(n + 1)(n + 2) = 1 + n

+ 2n

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)

(n + 2)

Beispiele: Geometrische Reihe (3)

Induktionsbeweis, dass

n

X

k=1

1

k(k + 1) = n

n + 1 (f¨ ur n ∈

) gilt.

Induktionsbasis:

1

X

k=1

1

k(k + 1) = 1 1 · 2 = 1

2 .

Induktionsschritt:

n+1

X

k=1

1

k(k + 1) = 1

(n + 1)(n + 2) +

n

X

k=1

1 k(k + 1)

I.V.

= 1

(n + 1)(n + 2) + n

n + 1 = 1

(n + 1)(n + 2) + n(n + 2) (n + 1)(n + 2)

= 1 + n(n + 2)

(n + 1)(n + 2) = 1 + n

+ 2n

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)

(n + 2)

Beispiele: Geometrische Reihe (3)

Induktionsbeweis, dass

n

X

k=1

1

k(k + 1) = n

n + 1 (f¨ ur n ∈

) gilt.

Induktionsbasis:

1

X

k=1

1

k(k + 1) = 1 1 · 2 = 1

2 .

Induktionsschritt:

n+1

X

k=1

1

k(k + 1) = 1

(n + 1)(n + 2) +

n

X

k=1

1 k(k + 1)

I.V.

= 1

(n + 1)(n + 2) + n

n + 1 = 1

(n + 1)(n + 2) + n(n + 2) (n + 1)(n + 2)

= 1 + n(n + 2)

(n + 1)(n + 2) = 1 + n

+ 2n

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)

(n + 2)

Beispiele: Geometrische Reihe (3)

Induktionsbeweis, dass

n

X

k=1

1

k(k + 1) = n

n + 1 (f¨ ur n ∈

) gilt.

Induktionsbasis:

1

X

k=1

1

k(k + 1) = 1 1 · 2 = 1

2 .

Induktionsschritt:

n+1

X

k=1

1

k(k + 1) = 1

(n + 1)(n + 2) +

n

X

k=1

1 k(k + 1)

I.V.

= 1

(n + 1)(n + 2) + n

n + 1 = 1

(n + 1)(n + 2) + n(n + 2) (n + 1)(n + 2)

= 1 + n(n + 2)

(n + 1)(n + 2) = 1 + n

+ 2n

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)

(n + 2)

Beispiele: Geometrische Reihe (3)

Induktionsbeweis, dass

n

X

k=1

1

k(k + 1) = n

n + 1 (f¨ ur n ∈

) gilt.

Induktionsbasis:

1

X

k=1

1

k(k + 1) = 1 1 · 2 = 1

2 .

Induktionsschritt:

n+1

X

k=1

1

k(k + 1) = 1

(n + 1)(n + 2) +

n

X

k=1

1 k(k + 1)

I.V.

= 1

(n + 1)(n + 2) + n

n + 1 = 1

(n + 1)(n + 2) + n(n + 2) (n + 1)(n + 2)

= 1 + n(n + 2)

(n + 1)(n + 2) = 1 + n

+ 2n

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)

(n + 2)

Beispiele: Geometrische Reihe (3)

Induktionsbeweis, dass

n

X

k=1

1

k(k + 1) = n

n + 1 (f¨ ur n ∈

) gilt.

Induktionsbasis:

1

X

k=1

1

k(k + 1) = 1 1 · 2 = 1

2 .

Induktionsschritt:

n+1

X

k=1

1

k(k + 1) = 1

(n + 1)(n + 2) +

n

X

k=1

1 k(k + 1)

I.V.

= 1

(n + 1)(n + 2) + n

n + 1 = 1

(n + 1)(n + 2) + n(n + 2) (n + 1)(n + 2)

= 1 + n(n + 2)

(n + 1)(n + 2) = 1 + n

+ 2n

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)

(n + 2)

Beispiele: Harmonische Reihe

Satz 5.3 (Unendliche harmonische Reihe) Die Reihe

∞

X

k=1

1

k konvergiert nicht.

Beweis:

Zeige per Induktion ¨ uber n:

2ⁿ−1

X

k=1

1 k

n

2 (und schließe anschließend lim

n→∞

n

2 divergiert).

Beispiele: Harmonische Reihe

Satz 5.3 (Unendliche harmonische Reihe) Die Reihe

∞

X

k=1

1

k konvergiert nicht.

Beweis:

Zeige per Induktion ¨ uber n:

2ⁿ−1

X

k=1

1 k ≥ n

2 (und schließe anschließend lim

n→∞

n

2 divergiert).

Beispiele: Harmonische Reihe (2)

Induktionsbeweis f¨ ur die Aussage

2ⁿ−1

X

k=1

1 k ≥ n

2 Induktionsanfang n = 1: 1

1

1 2 Induktionsschritt:

2ⁿ⁺¹−1

X

k=1

1

k =

2ⁿ−1

X

k=1

1 k +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

I.V.≥

n 2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

n

2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 2

= n

2 + ((2

1)

(2

1)) 1 2

= n

2 + ((2

2

) 1 2

= n

2 + (2

(2

1)) 1 2

= n 2 + 2

2

= n 2 + 1

2 = n + 1

2

Beispiele: Harmonische Reihe (2)

Induktionsbeweis f¨ ur die Aussage

2ⁿ−1

X

k=1

1 k ≥ n

2 Induktionsanfang n = 1: 1

1

1 2 Induktionsschritt:

2ⁿ⁺¹−1

X

k=1

1

k =

2ⁿ−1

X

k=1

1 k +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

I.V.≥

n 2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

n

2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 2

= n

2 + ((2

1)

(2

1)) 1 2

= n

2 + ((2

2

) 1 2

= n

2 + (2

(2

1)) 1 2

= n 2 + 2

2

= n 2 + 1

2 = n + 1

2

Beispiele: Harmonische Reihe (2)

Induktionsbeweis f¨ ur die Aussage

2ⁿ−1

X

k=1

1 k ≥ n

2 Induktionsanfang n = 1: 1

1 ≥ 1 2 Induktionsschritt:

2ⁿ⁺¹−1

X

k=1

1

k =

2ⁿ−1

X

k=1

1 k +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

I.V.≥

n 2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

n

2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 2

= n

2 + ((2

1)

(2

1)) 1 2

= n

2 + ((2

2

) 1 2

= n

2 + (2

(2

1)) 1 2

= n 2 + 2

2

= n 2 + 1

2 = n + 1

2

Beispiele: Harmonische Reihe (2)

Induktionsbeweis f¨ ur die Aussage

2ⁿ−1

X

k=1

1 k ≥ n

2 Induktionsanfang n = 1: 1

1 ≥ 1 2 Induktionsschritt:

2ⁿ⁺¹−1

X

k=1

1

k =

2ⁿ−1

X

k=1

1 k +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

I.V.≥

n 2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

n

2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 2

= n

2 + ((2

1)

(2

1)) 1 2

= n

2 + ((2

2

) 1 2

= n

2 + (2

(2

1)) 1 2

= n 2 + 2

2

= n 2 + 1

2 = n + 1

2

Beispiele: Harmonische Reihe (2)

Induktionsbeweis f¨ ur die Aussage

2ⁿ−1

X

k=1

1 k ≥ n

2 Induktionsanfang n = 1: 1

1 ≥ 1 2 Induktionsschritt:

2ⁿ⁺¹−1

X

k=1

1

k =

2ⁿ−1

X

k=1

1 k +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

I.V.≥

n 2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

n

2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 2

= n

2 + ((2

1)

(2

1)) 1 2

= n

2 + ((2

2

) 1 2

= n

2 + (2

(2

1)) 1 2

= n 2 + 2

2

= n 2 + 1

2 = n + 1

2

Beispiele: Harmonische Reihe (2)

Induktionsbeweis f¨ ur die Aussage

2ⁿ−1

X

k=1

1 k ≥ n

2 Induktionsanfang n = 1: 1

1 ≥ 1 2 Induktionsschritt:

2ⁿ⁺¹−1

X

k=1

1

k =

2ⁿ−1

X

k=1

1 k +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

I.V.

≥ n 2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

n

2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 2

= n

2 + ((2

1)

(2

1)) 1 2

= n

2 + ((2

2

) 1 2

= n

2 + (2

(2

1)) 1 2

= n 2 + 2

2

= n 2 + 1

2 = n + 1

2

Beispiele: Harmonische Reihe (2)

Induktionsbeweis f¨ ur die Aussage

2ⁿ−1

X

k=1

1 k ≥ n

2 Induktionsanfang n = 1: 1

1 ≥ 1 2 Induktionsschritt:

2ⁿ⁺¹−1

X

k=1

1

k =

2ⁿ−1

X

k=1

1 k +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

I.V.

≥ n 2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k ≥ n

2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 2

= n

2 + ((2

1)

(2

1)) 1 2

= n

2 + ((2

2

) 1 2

= n

2 + (2

(2

1)) 1 2

= n 2 + 2

2

= n 2 + 1

2 = n + 1

2

Beispiele: Harmonische Reihe (2)

Induktionsbeweis f¨ ur die Aussage

2ⁿ−1

X

k=1

1 k ≥ n

2 Induktionsanfang n = 1: 1

1 ≥ 1 2 Induktionsschritt:

2ⁿ⁺¹−1

X

k=1

1

k =

2ⁿ−1

X

k=1

1 k +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

I.V.

≥ n 2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k ≥ n

2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 2

= n

2 + ((2

− 1) − (2

− 1)) 1 2

= n

2 + ((2

2

) 1 2

= n

2 + (2

(2

1)) 1 2

= n 2 + 2

2

= n 2 + 1

2 = n + 1

2

Beispiele: Harmonische Reihe (2)

Induktionsbeweis f¨ ur die Aussage

2ⁿ−1

X

k=1

1 k ≥ n

2 Induktionsanfang n = 1: 1

1 ≥ 1 2 Induktionsschritt:

2ⁿ⁺¹−1

X

k=1

1

k =

2ⁿ−1

X

k=1

1 k +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

I.V.

≥ n 2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k ≥ n

2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 2

= n

2 + ((2

− 1) − (2

− 1)) 1 2

= n

2 + ((2

− 2

) 1 2

= n

2 + (2

(2 − 1)) 1 2

= n 2 + 2

2

= n 2 + 1

2 = n + 1

2

Beispiele: Harmonische Reihe (2)

Induktionsbeweis f¨ ur die Aussage

2ⁿ−1

X

k=1

1 k ≥ n

2 Induktionsanfang n = 1: 1

1 ≥ 1 2 Induktionsschritt:

2ⁿ⁺¹−1

X

k=1

1

k =

2ⁿ−1

X

k=1

1 k +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

I.V.

≥ n 2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k ≥ n

2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 2

= n

2 + ((2

− 1) − (2

− 1)) 1 2

= n

2 + ((2

− 2

) 1 2

= n

2 + (2

(2 − 1)) 1 2

= n 2 + 2

2

= n 2 + 1

2 = n + 1

2

Beispiele

Satz 5.4 Die Reihe

∞

X

k=1

1

k

konvergiert (gegen π 6 ).

Beweis: Techniken fehlen noch.

Rechenregeln

Satz 5.5 Seien

∞

X

k=0

a

und

∞

X

k=0

b

konvergente Reihen und sei u ∈

Dann gelten die Gleichungen:

u

∞

X

k=0

a

=

∞

X

k=0

ua

,

∞

X

k=0

a

!

+

∞

X

k=0

b

!

=

∞

X

k=0

(a

+ b

).

Insbesondere sind die Reihen auf den rechten Seiten der

Gleichungen konvergent.

Beispiel: Unendliche Dezimalbr¨ uche

Unendliche Dezimalbr¨ uche lassen mithilfe von speziellen Reihen darstellen. Z.B. l¨ asst sich 0, 812 darstellen als

8

10 + 12

1000 + 12

100000 + . . . = 8 10 +

∞

X

k=0

12 10

Mit den Rechenregeln und dem Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe kann man umformen:

8 10 +

∞

X

k=0

12

10

= 8 10 + 12

10

∞

X

k=0

1 10

= 8

10 + 12 10

∞

X

k=0

(10

)

= 8 10 + 12

10

1

1

10

= 8 10 + 12

10

100 99 = 8

10 + 12 990

= 8 10 + 2

165 = 4 5 + 2

165 = 4

33 165 + 2

165 = 134

165

Beispiel: Unendliche Dezimalbr¨ uche

Unendliche Dezimalbr¨ uche lassen mithilfe von speziellen Reihen darstellen. Z.B. l¨ asst sich 0, 812 darstellen als

8

10 + 12

1000 + 12

100000 + . . . = 8 10 +

∞

X

k=0

12 10

Mit den Rechenregeln und dem Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe kann man umformen:

8 10 +

∞

X

k=0

12

10

= 8 10 + 12

10

∞

X

k=0

1 10

= 8

10 + 12 10

∞

X

k=0

(10

)

= 8 10 + 12

10

1

1

10

= 8 10 + 12

10

100 99 = 8

10 + 12 990

= 8 10 + 2

165 = 4 5 + 2

165 = 4

33 165 + 2

165 = 134

165

Beispiel: Unendliche Dezimalbr¨ uche

Unendliche Dezimalbr¨ uche lassen mithilfe von speziellen Reihen darstellen. Z.B. l¨ asst sich 0, 812 darstellen als

8

10 + 12

1000 + 12

100000 + . . . = 8 10 +

∞

X

k=0

12 10

Mit den Rechenregeln und dem Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe kann man umformen:

8 10 +

∞

X

k=0

12

10

= 8 10 + 12

10

∞

X

k=0

1 10

= 8

10 + 12 10

∞

X

k=0

(10

)

= 8 10 + 12

10

1

1

10

= 8 10 + 12

10

100 99 = 8

10 + 12 990

= 8 10 + 2

165 = 4 5 + 2

165 = 4

33 165 + 2

165 = 134

165

Beispiel: Unendliche Dezimalbr¨ uche

Unendliche Dezimalbr¨ uche lassen mithilfe von speziellen Reihen darstellen. Z.B. l¨ asst sich 0, 812 darstellen als

8

10 + 12

1000 + 12

100000 + . . . = 8 10 +

∞

X

k=0

12 10

Mit den Rechenregeln und dem Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe kann man umformen:

8 10 +

∞

X

k=0

12

10

= 8 10 + 12

10

∞

X

k=0

1 10

= 8

10 + 12 10

∞

X

k=0

(10

)

= 8 10 + 12

10

1

1

10

= 8 10 + 12

10

100 99 = 8

10 + 12 990

= 8 10 + 2

165 = 4 5 + 2

165 = 4

33 165 + 2

165 = 134

165

Beispiel: Unendliche Dezimalbr¨ uche

Unendliche Dezimalbr¨ uche lassen mithilfe von speziellen Reihen darstellen. Z.B. l¨ asst sich 0, 812 darstellen als

8

10 + 12

1000 + 12

100000 + . . . = 8 10 +

∞

X

k=0

12 10

Mit den Rechenregeln und dem Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe kann man umformen:

8 10 +

∞

X

k=0

12

10

= 8 10 + 12

10

∞

X

k=0

1 10

= 8

10 + 12 10

∞

X

k=0

(10

)

= 8 10 + 12

10

· 1

1 − 10

= 8 10 + 12

10

100 99 = 8

10 + 12 990

= 8 10 + 2

165 = 4 5 + 2

165 = 4

33 165 + 2

165 = 134

165

Beispiel: Unendliche Dezimalbr¨ uche

Unendliche Dezimalbr¨ uche lassen mithilfe von speziellen Reihen darstellen. Z.B. l¨ asst sich 0, 812 darstellen als

8

10 + 12

1000 + 12

100000 + . . . = 8 10 +

∞

X

k=0

12 10

Mit den Rechenregeln und dem Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe kann man umformen:

8 10 +

∞

X

k=0

12

10

= 8 10 + 12

10

∞

X

k=0

1 10

= 8

10 + 12 10

∞

X

k=0

(10

)

= 8 10 + 12

10

· 1

1 − 10

= 8 10 + 12

10

· 100 99 = 8

10 + 12 990

= 8 10 + 2

165 = 4 5 + 2

165 = 4 · 33 165 + 2

165 = 134

165

Beispiel: Unendliche Dezimalbr¨ uche (2)

Zeige 0, 9 = 1:

0, 9 =

∞

X

k=1

9

10

= −9 +

∞

X

k=0

9 10

= −9 + 9

∞

X

k=0

1

10

= −9 + 9

∞

X

k=0

1 10

k

= −9 + 9 1 1 −

!

= −9 + 9 1

9 10

!

= −9 + 9 10

9

= −9 + 10 = 1

Konvergenzkriterien

Wir ben¨ otigen weitere Mittel und Wege, um nachzuweisen, dass Reihen konvergieren

Wir betrachten hierbei nur eine Auswahl der Methoden

Beachte: Konvergenz nachweisen und den Grenzwert selbst

berechnen sind zwei unterschiedliche Problemstellungen

Absolute Konvergenz

Definition Eine Reihe

∞

X

k=0

a

falls die Reihe

∞

X

k=0

|a

| konvergiert.

Absolute Konvergenz: Eigenschaften

Satz 5.8

Jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent.

Beachte:

Die Umkehrung gilt nicht: Es gibt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergieren

Z.B. ist

∞

X

k=1

(−1)

k konvergent Aber

∞

X

k=1

1

k divergiert.

Absolute Konvergenz: Eigenschaften

Satz 5.8

Jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent.

Beachte:

Die Umkehrung gilt nicht: Es gibt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergieren

Z.B. ist

∞

X

k=1

(−1)

k konvergent Aber

∞

X

k=1

1

k divergiert.

Satz 5.8, Vorarbeiten

Uns fehlen noch Techniken zum Beweis von Satz 5.8, da er eine Aussage ¨ uber die Existenz eines Grenzwerts ist, ohne den Grenzwert konkret anzugeben.

Daher: Zun¨ achst Satz von Cauchy.

Satz von Cauchy

Satz 5.9 (Cauchy)

Eine Folge (a

)

konvergiert genau dann, wenn es f¨ ur jedes ε > 0 ein N ∈

gibt, sodass |a

− a

| < ε f¨ ur alle n > N gilt.

Beweis (Skizze).

“⇒”:

Angenommen (a

)

konvergiert. Sei lim

n→∞

a

= a und sei ε > 0.

Wegen Konvergenz gibt es N

mit

a| <

f¨ ur alle n > N

. Sei N = N

+ 1. Mit der Dreiecksungleichung erhalten wir

|a_N −

a

=

a + a

a

≤ |a_N−

a| +

a

=

a| +

a| <

+

= ε

f¨ ur alle n > N .

Satz von Cauchy

Satz 5.9 (Cauchy)

Eine Folge (a

)

konvergiert genau dann, wenn es f¨ ur jedes ε > 0 ein N ∈

gibt, sodass |a

− a

| < ε f¨ ur alle n > N gilt.

Beweis (Skizze).

“⇒”:

Angenommen (a

)

konvergiert.

Sei lim

n→∞

a

= a und sei ε > 0.

Wegen Konvergenz gibt es N

mit

a| <

f¨ ur alle n > N

. Sei N = N

+ 1. Mit der Dreiecksungleichung erhalten wir

|a_N −

a

=

a + a

a

≤ |a_N−

a| +

a

=

a| +

a| <

+

= ε

f¨ ur alle n > N .

Satz von Cauchy

Satz 5.9 (Cauchy)

Eine Folge (a

)

konvergiert genau dann, wenn es f¨ ur jedes ε > 0 ein N ∈

gibt, sodass |a

− a

| < ε f¨ ur alle n > N gilt.

Beweis (Skizze).

“⇒”:

Angenommen (a

)

konvergiert.

Sei lim

n→∞

a

= a und sei ε > 0.

Wegen Konvergenz gibt es N

mit

a| <

f¨ ur alle n > N

. Sei N = N

+ 1. Mit der Dreiecksungleichung erhalten wir

|a_N −

a

=

a + a

a

≤ |a_N−

a| +

a

=

a| +

a| <

+

= ε

f¨ ur alle n > N .

Satz von Cauchy

Satz 5.9 (Cauchy)

Eine Folge (a

)

konvergiert genau dann, wenn es f¨ ur jedes ε > 0 ein N ∈

gibt, sodass |a

− a

| < ε f¨ ur alle n > N gilt.

Beweis (Skizze).

“⇒”:

Angenommen (a

)

konvergiert.

Sei lim

n→∞

a

= a und sei ε > 0.

Wegen Konvergenz gibt es N

mit

a| <

f¨ ur alle n > N

. Sei N = N

+ 1. Mit der Dreiecksungleichung erhalten wir

|a_N −

a

=

a + a

a

≤ |a_N−

a| +

a

=

a| +

a| <

+

= ε

f¨ ur alle n > N .

Satz von Cauchy

Satz 5.9 (Cauchy)

Eine Folge (a

)

konvergiert genau dann, wenn es f¨ ur jedes ε > 0 ein N ∈

gibt, sodass |a

− a

| < ε f¨ ur alle n > N gilt.

Beweis (Skizze).

“⇒”:

Angenommen (a

)

konvergiert.

Sei lim

n→∞

a

= a und sei ε > 0.

Wegen Konvergenz gibt es N

∈

mit |a

− a| <

f¨ ur alle n > N

. Sei N = N

+ 1. Mit der Dreiecksungleichung erhalten wir

|a_N −

a

=

a + a

a

≤ |a_N−

a| +

a

=

a| +

a| <

+

= ε

f¨ ur alle n > N .

Satz von Cauchy

Satz 5.9 (Cauchy)

Eine Folge (a

)

konvergiert genau dann, wenn es f¨ ur jedes ε > 0 ein N ∈

gibt, sodass |a

− a

| < ε f¨ ur alle n > N gilt.

Beweis (Skizze).

“⇒”:

Angenommen (a

)

konvergiert.

Sei lim

n→∞

a

= a und sei ε > 0.

Wegen Konvergenz gibt es N

∈

mit |a

− a| <

f¨ ur alle n > N

. Sei N = N

+ 1. Mit der Dreiecksungleichung erhalten wir

|a

− a

| = |a

− a + a − a

|

≤ |a

− a| + |a − a

|

= |a

− a| + |a

− a| <

+

= ε

f¨ ur alle n > N .

Satz von Cauchy (2)

“⇐” (Skizze):

Zeige: Wenn es f¨ ur jedes ε > 0 ein N ∈

gibt, sodass

|a

− a

| < ε f¨ ur alle n > N gilt, dann konvergiert (a

)

Mit der Annahme k¨ onnen wir nat¨ urliche Zahlen n

< n

< n

. . . finden, sodass

a

<

f¨ ur alle n > n

gilt.

D.h. Intervall I

= [a

2^k

, a

+

] enth¨ alt alle a

mit Index n > n

. Intervalle I

, I

, I

, . . . bilden eine Intervallschachtelung, denn

a) Seix∈Ik+1. Dann gilt|an_k+1−x| ≤ ₂¹k und|an_k+1−an_k|< ¹

2^k (dank+1> nk). Mit der Dreiecksungleichung folgt dann

|an_k−x|=|(an_k+1−an_k) +an_k+1−x)|

≤ |an_k+1−an_k|+|an_k+1−x|=|an_k+1−an_k|+|an_k+1−x|<₂²_k =₂k−1¹

Damit folgtx∈Ik. D.h.Ik+1⊆Ik.

b) Es giltIk+1⊂Ik, da die L¨ange der Intervalle echt kleiner wird.

Die eindeutige reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist,

ist der Grenzwert der Folge (a

)

.

Satz von Cauchy (2)

“⇐” (Skizze):

Zeige: Wenn es f¨ ur jedes ε > 0 ein N ∈

gibt, sodass

|a

− a

| < ε f¨ ur alle n > N gilt, dann konvergiert (a

)

Mit der Annahme k¨ onnen wir nat¨ urliche Zahlen n

< n

< n

. . . finden, sodass |a

− a

| <

f¨ ur alle n > n

gilt.

D.h. Intervall I

= [a

2^k

, a

+

] enth¨ alt alle a

mit Index n > n

. Intervalle I

, I

, I

, . . . bilden eine Intervallschachtelung, denn

a) Seix∈Ik+1. Dann gilt|an_k+1−x| ≤ ₂¹k und|an_k+1−an_k|<₂¹k (dank+1> nk).

Mit der Dreiecksungleichung folgt dann

|an_k−x|=|(an_k+1−an_k) +an_k+1−x)|

≤ |an_k+1−an_k|+|an_k+1−x|=|an_k+1−an_k|+|an_k+1−x|< ₂²_k =₂k−1¹

Damit folgtx∈Ik. D.h.Ik+1⊆Ik.

b) Es giltIk+1⊂Ik, da die L¨ange der Intervalle echt kleiner wird.

Die eindeutige reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist,

ist der Grenzwert der Folge (a

)

.

Satz von Cauchy (2)

“⇐” (Skizze):

Zeige: Wenn es f¨ ur jedes ε > 0 ein N ∈

gibt, sodass

|a

− a

| < ε f¨ ur alle n > N gilt, dann konvergiert (a

)

Mit der Annahme k¨ onnen wir nat¨ urliche Zahlen n

< n

< n

. . . finden, sodass |a

− a

| <

f¨ ur alle n > n

gilt.

D.h. Intervall I

= [a

−

2^k

, a

+

] enth¨ alt alle a

mit Index n > n

. Intervalle I

, I

, I

, . . . bilden eine Intervallschachtelung, denn

a) Seix∈Ik+1. Dann gilt|an_k+1−x| ≤ ₂¹k und|an_k+1−an_k|<₂¹k (dank+1> nk).

Mit der Dreiecksungleichung folgt dann

|an_k−x|=|(an_k+1−an_k) +an_k+1−x)|

≤ |an_k+1−an_k|+|an_k+1−x|=|an_k+1−an_k|+|an_k+1−x|< ₂²_k =₂k−1¹

Damit folgtx∈Ik. D.h.Ik+1⊆Ik.

b) Es giltIk+1⊂Ik, da die L¨ange der Intervalle echt kleiner wird.

Die eindeutige reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist,

ist der Grenzwert der Folge (a

)

.