85 Rb − Atoms erreicht. Hierbei betrachten wir

(1)

Moderne Physik Ss2006

Heiko Dumlich

May 28, 2006

10 Quantenmarkierung und Radierung

Die Quantenmarkierung wird im Atominterferometer-Experiment durch zwei

verschiedene Zustände eines

85 Rb − Atoms

^erreicht. ^Hierbei ^betrachten ^wir

dieHyperfeinstrukturdesAtoms,wobeiman diebeidenZustände

F g = 2

^und

F g = 3

unterscheidet. Dieswird durch einMikrowellenfelderreicht,das,nach-

dem durch pumping mit linear polarisiertem Licht nur noch der

F g = 3

Zustandexistiert,Übergängezwischen

F g = 2, m F = 0

^und

F g = 3, m F = 0

^in-

duziert. EssindzudemnurÜbergängemit

∆m = 0

^möglich,^da^dasoszillierende Magnetfeld

ω mw = 2π · 3.035 · 10 ⁹ Hz

, welchesdieMikrowelleerzeugt,paral-

lelzueinemäuÿeren

100 µT

^Magnetfeld ^ist. ^Zusätzlich^verhindert^dieses^Mag-

netfeld auch noch, dass andere Übergänge als

F g = 2, m F = 0

^und

F g = 3, m F = 0

^auftreten, ^da^diese ^durch Zeeman-shifts ausser Resonanz gebracht werden. DieMarkierungerfolgtalso,durchzweiMikrowellenfelder,wobeidiese

Rabi-Oszillationenzwischenden

|2i, |3i

^Zuständen induzieren. Es istresonant fürdieÜbergängezwischenZustand

|2i

^und

|3i.

^Das^Auslesen^des^Zustandes^er-

folgtübereineMessungdesinternenZustandesdesAtoms,wobeihierzudieFre-

quenzdesAuslese-LaservariiertwirdundbestimmteZuständemitbestimmten

Frequenzen ausgelesenwerdenkönnen,wobeidieZustände mitdem jeweiligen

Strahlüber:

|ψi = |ψ B i ⊗ |3i − |ψ C i ⊗ |2i

korreliertsind. Dasheisst also, dasder Zustand

|2i

^mit ^Strahl

C

^und^der

Zustand

|3i

^mit ^Strahl

B

^korreliert^ist. ^Zur ^Detektion ^des

F g = 3

^Zustandes

wird z.B. die Frequenz des Lasers in Resonanz zum

F g = 3 ↔ F g = 4

^cy-

cling Überganggebracht. Fürdie Detektion des

F g = 2

^Zustandes, ^die ^nor-

malerweise durch den

F g = 2 ↔ F g = 1

^Übergang ^detektiert^werden ^könnte,

ergibt sich ein Problem, da die Ezienz sehr gering ist und damit nur eine

geringeIntensität erzeugt werden kann. Daher wird ein

π

-Mikrowellenpulsin der InteraktionsRegion, also dort, wo dasAtom mit der Mikrowellewechsel-

wirkt, hinzugefügt. Somit entspricht die Detektion des

F g = 3

^Zustandesm

nachdem der

π

^Puls hinzugefügt wurde dem

F g = 2

^Zustand, ^bevor ^der

π

(2)

F g = 2

^oder

F g = 3

^Zustandes. Ûm êinen ^beliebigen ^Zustand âuslesen ^zu

können,wasalsoeinerQuantenradierungentsprechenwürde,mussmaneinen

anderenPuls hinzufügen, im Falle der

1 √ 2 (|F g = 2i + |F g = 3i)

Superposition würdeman einen

π

2 − P uls

^benutzen. ^Somit îstêsâuch ^möglich ^durch^diesen

Puls jede möglicheSichtbarkeit zu erreichen, wobeinatürlich hier die Kom-

plementaritätderWellen-undTeilcheneigenschafteneinewichtige Rollespielt.

UmsogenauermandieWelcher-Weg-Informationausliest,destoschlechterwird

die Interferenz zuerkennen sein undumgekehrt. Diesist also die Möglichkeit

derunvollständigenWelcher-Weg-Information.

DieQuantenradierungwirderstbeimAuslesendurchgeführt,jenachdemwie

manausliest,kannmanbeimAuslesendesinnerenAtomzustandesentscheiden,

inwieweitmanWelcher-Weg-InformationerhaltenmöchteunddieInterferenz,

bzw. ihreVerschmiertheitistmitderGenauigkeitderWelcher-Weg-Information

korreliert,wiebereitsobenbeschrieben. Auf diesenAspektwird auch noch in

Aufgabe 12eingegangen.

FürdieAufspaltungdesAtom-NiveausisteinMikrowellenfeldverantwortlich,

wobei durch Rabi-Oszillation die Hyperfeinstruktur erreicht wird. Die Fre-

quenzderMikrowellebeträgt

ω mw = 2π · 3.3035 GHz

^somit^folgt^eine^Energie

von

E mw ≈ 2 · 10 ⁻ ²⁴ J

^,^diese^wirkt^auf^einer^Strecke^von^ca.

s ≈ 10 cm

⁽

λ = ^c _ν

^),

somitfolgtfür die Kraftwirkung

F mw ≈ 2 · 10 ⁻ ²⁵ N

^Für ^die Coulombwechsel- wirkungzwischen dem Kernmit

85 37 Rb

^, ^also ^einer^Ladung ^von

Q Rb = 37e

^und

demElektronmit

q e = e

^folgt^für^die^CoulombWechselwirkung,wobeiwirden Atomradiusmitca.

r ≈ 10 ⁻ ¹⁰ m

^annehmen:

F C = q e Q Rb

4π 0

1 r ² ≈ 8.5 · 10 ⁻ ⁷ N

DieEnergieaufspaltungerfolgtindas

F g = 2

^und

F g = 3

Energieniveau,dies isteineHyperfein-Aufspaltung,währendderÜbergangvon

s → p

^ein^Übergang

eines Elektrons von einem zu einem anderen Orbitaldarstellt und somiteine

vielhöhere Energie benötigt wird. Bei einem SprungzwischenzweiOrbitalen

wirdentwedereinPhotonabsorbiertoderemittiert,diesesbesitzteinefürden

Sprung spezische Wellenlänge, die der Energiedierenzentspricht. (Leider

hatten wir bis jetzt erst dasBohrsche Atommodell in Experimentalphysik III

und somit kann ich keine Übergänge für Orbitale berechnen, bzw. Aufspal-

tungen, es wäre nett, wenn dueine kurzen Exkurs zu diesem Thema machen

könntest,danke).

Die Kräfte die bei der Markierung wirken sind von der Gröÿenordnung

10 ⁻ ²⁵ N

^,^während^die^Kernkräfte

10 ⁻ ⁶ N

^betragen,^somit^liegt^einUnterschied

vongut

20

GröÿenordnungenzwischendenKräften,womitmandavonausgehen kann, dassdieMarkierungbzw. auch dieRadierungvernachlässigbareEekte

habenmüssen.

(3)

Die FloureszenzDetektionnutzt den

F g = 3 ↔ F g = 4

^Übergang^zum ^Ausle-

sen beider Zustände, wobei zum Auslesen des

F g = 2

^Zustandes ^noch ^ein

π

^-

Puls vorgeschaltet wird. Das Atom wird also angeregt und strahlt dann ein

Floureszenzphoton aus. Jedoch werden nur solche Atome angeregt, die sich

in dem bestimmten Zustand benden, dadie Frequenz nur für den jeweiligen

Zustandresonantist.

Die Detektionsposition kann durch einen drehbarenSpiegelverändertwer-

den, da derLaserstrahl von diesem reektiertin die Schirm-Ebenegeworfen

wird. DieserSpiegelbendetsichaufeinemgalvodrive.

Die Fluoreszenzwird in Form von Photonen abgestrahlt,wobeidiese über

einenPhotomultiplierverstärktwerdenunddannalsSignalregistriertwerden.

DieEzienzderDetektionistdurchdenPhotomultiplierunddieAbstrahlung

in alle Richtungen des Photons vom Atomaus gesehenbeschränkt. DerPho-

tomultiplierbesitzteineTotzeit,d.h. wennmehrerePhotonenfastzurgleichen

Zeitankommen, kann erdiesnichtauösen. DieAbstrahlung in alleRichtun-

gen ist ein statistischer Prozess, d.h. die Wahrscheinlichkeit das Photon zu

detektierenistungefähr fürallePunkte der Schirm-Ebeneidentisch. Jedoch

dadurch,dassnichtjedesabgestrahltePhotondenPhotomultipliererreicht,da

esz.B.indie entegegengesetzteRichtungiegt,wirddieEzienzgeschmälert.

Auf die Genauigkeitder Messung sollte dies jedoch nur einen minimalen Ein-

ussbesitzen, dadieEntfernungzum Photomultipliernurminimalverschieden

istüberdieSchirm-Ebeneverteilt.

DerLaserstrahlhateinelliptisch-gaussförmigesProl,wobeidiehorizontale

Breitevon

ω z = 50 µm

^die Positionsauösung bestimmt. Zudemist durch die ArtdesVersuchsaufbau, d.h. durchden schwenkbarenSpiegel, anstatteinem,

derzuderjeweiligenPositionfährt,aucheinegewisseUngenauigkeitgegeben.

DerStrahlbesitztalsoeineBreitevon

ω z = b 0 = 50· 10 ⁻ ⁶ m,

^für^die^Maxima

ausFig.6lesenwir einenAbstand vonca.

a = 0.2 mm

^ab,^wobei^für^diese^ein

Gittermit

d = 5 · 10 ⁻ ⁶ m

^verwendet^wurde. Âls^Tôleranz^gehen^wir^davonâus,

dass wir ca. die gleiche Breite in jede Richtung freilassen müssen, um den

Strahlrichtigaufzulösen,daherwählenwiralsBreitefürdenStrahl

b = 3 · b 0 = 150 · 10 ⁻ ⁶ m.

^Aus^dem^letztenAufgabenblatt wissenwir,dassfürdenAbstand

indiesemFall

L ≈ 0.44 m

^galt,^wobei^der^Abstand^der^Maxima

a = 200· 10 ⁻ ⁶ m

^,

alsoca. dem 4-fachen derBreitedesStrahlesentsprach. Wir könnennunüber

die Bragg-BedingungdenFall fürdie 3-facheStrahlbreite bestimmen, esfolgt

L = ^d _λ ^· ^b = ⁵ ^· ¹⁵⁰ _2.3 ^· ¹⁰ ⁻ ¹² ^m ²

· 10 − 9 m ≈ 0.33 m

^. ^Der ^Abstand ^zum Lichtgitter sollte also mindestens ungefähr

L ≈ 0.33 m

^betragen, ^um ^eine vernünftige Auösung zu erzielen.

FürdiequantitativeBerechnungbenutzenwirdieBragg-Bedingungmit:

2d sin θ = nλ dB

wobeiwir

sin θ = _L ^x

^schreiben^können ^und

x

^auf^dem ^Schirm^den ^Abstand

dereingetroenenTeilchenbeschreibt.

(4)

Sichtbarkeit beschreibt, wie gut ein Interferenzmuster erkennbar ist, während

Unterscheidbarkeitbeschreibt,wiegutmandenWegeinesTeilchenskennt. Für

dieSichtbarkeit

(V )

^gilt:

V (ϕ) = V max |cos ϕ|

WobeidiemaximaleSichtbarkeitdesVersuches

V max

^von^derVersuchsanord- nung bestimmt wird, in diesem Versuch wird siedurch die beschränkte gröÿe

des Detektions-Laserstrahles, dem Kollimator-Schlitz und durch Hintergrun-

drauschen ausderFloureszenzdetektionverringert.

FürdieUnterscheidbarkeit

(D)

^gilt:

D (ϕ) = D max |sin ϕ|

wobeifürdasExperimentdie Werte

V max = 0.72

^und

D max = 0.81 ± 0.02

bestimmtwurden. DerreduzierteWertfürdiemaximaleSichtbarkeitresultiert

hierbei wieder aus dem Hintergrundrauschen der Floureszenzdetektion und

ausIntensitätschwankungenderstehendenLichtwelle.

Die Variationdurchdie Fläche desMikrowellenpulseskann ausderFormel

abgelesenwerden,wobeidieFlächedurchmicrowavepulsearea

ϕ

beschrieben wird. Somit erhalten wir eine

sin

^bzw.

cos

-Abhängigkeit, damit kann auch die Dualitätsrelationgut erklärt werden, da wir bereits wissen, dass aus dem

TrigonometrischenPythagoras:

sin ² x + cos ² x = 1

gilt,mussfürdieDualitätsrelationauch:

D ² + V ² ≤ 1

gelten, da

V

^und

D

^maximal

1

^erreichen ^können ^(mit

D max , V max ≤ 1

^).

Erreichtz.B.

D = 1

^, ^muss

V = 0

^sein. ^Dies ^folgt ^auch ^schon ^aus ^dem ^Kom-

plementaritätsprinzip,bzw. ausdemWelle-Teilchen-Dualismusoderwennman

noch ein Stück zurück geht auch aus der Heisenbergschen Unschärferelation,

da der Teilchencharakterdurch die Unterscheidbarkeitdes Weges

D

^und ^der

Wellencharakter durch die Sichtbarkeit des Interferenzmusters

V

beschrieben werden. Somit kann man auch von einer verallgemeinerten Heisenbergschen-

Unschärferelation sprechen, wobei hier in einer allgemeinenFormdes Wellen-

Teilchen-Dualismus ausgegangen wird, ohne direkt ihren Impuls und Ort zu

vergleichen.

85 Rb − Atoms erreicht. Hierbei betrachten wir

85 Rb − Atoms

F g = 2

F g = 3

F g = 3

F g = 2, m F = 0

F g = 3, m F = 0

∆m = 0

ω mw = 2π · 3.035 · 10 9 Hz

100 µT

F g = 2, m F = 0

F g = 3, m F = 0

|2i, |3i

|2i

|3i.

|ψi = |ψ B i ⊗ |3i − |ψ C i ⊗ |2i

|2i

C

|3i

B

F g = 3

F g = 3 ↔ F g = 4

F g = 2

F g = 2 ↔ F g = 1

π

F g = 3

π

F g = 2

π

F g = 2

F g = 3

1

√ 2 (|F g = 2i + |F g = 3i)

π

2 − P uls

ω mw = 2π · 3.3035 GHz

E mw ≈ 2 · 10 − 24 J

s ≈ 10 cm

λ = c ν

F mw ≈ 2 · 10 − 25 N

85

37 Rb

Q Rb = 37e

q e = e

r ≈ 10 − 10 m

F C = q e Q Rb

4π 0

1

r 2 ≈ 8.5 · 10 − 7 N

F g = 2

F g = 3

s → p

10 − 25 N

10 − 6 N

20

F g = 3 ↔ F g = 4

F g = 2

π

ω z = 50 µm

ω z = b 0 = 50· 10 − 6 m,

a = 0.2 mm

d = 5 · 10 − 6 m

b = 3 · b 0 = 150 · 10 − 6 m.

L ≈ 0.44 m

a = 200· 10 − 6 m

L = d λ · b = 5 · 150 2.3 · 10 − 12 m 2

· 10 − 9 m ≈ 0.33 m

L ≈ 0.33 m

2d sin θ = nλ dB

sin θ = L x

x

(V )

V (ϕ) = V max |cos ϕ|

V max

(D)

D (ϕ) = D max |sin ϕ|

V max = 0.72

D max = 0.81 ± 0.02

ϕ

sin

ω mw = 2π · 3.035 · 10 ⁹ Hz

E mw ≈ 2 · 10 ⁻ ²⁴ J

λ = ^c _ν

F mw ≈ 2 · 10 ⁻ ²⁵ N

r ≈ 10 ⁻ ¹⁰ m

r ² ≈ 8.5 · 10 ⁻ ⁷ N

10 ⁻ ²⁵ N

10 ⁻ ⁶ N

ω z = b 0 = 50· 10 ⁻ ⁶ m,

d = 5 · 10 ⁻ ⁶ m

b = 3 · b 0 = 150 · 10 ⁻ ⁶ m.

a = 200· 10 ⁻ ⁶ m

L = ^d _λ ^· ^b = ⁵ ^· ¹⁵⁰ _2.3 ^· ¹⁰ ⁻ ¹² ^m ²

sin θ = _L ^x

sin ² x + cos ² x = 1

D ² + V ² ≤ 1