der Vorlesung. Wesentliche Inhalte werden ausschließlich in der Vorlesung vermittelt. Daher ist dieses

Computeralgebra

Udo Hebisch

WS 2002

Dieses Skript enth¨ alt nur den “roten Faden”

der Vorlesung. Wesentliche Inhalte werden ausschließlich in der Vorlesung vermittelt. Daher ist dieses

Skript nicht zum Selbststudium gedacht, sondern

nur als “Erinnerungsst¨ utze”.

0 Zur Motivation

Viele mathematische Probleme lassen sich so formulieren, daß zu ihrer Beantwor- tung eine Gleichung der Form

f (x) = 0 (1)

mit einer geeigneten Funktion f (x) zu l¨ osen ist. Dabei sind in der Regel systema- tische Verfahren gesucht, die f¨ ur eine ganze Klasse gleichartiger Funktionen das Auffinden derartiger Nullstellen gestatten. So liefert etwa im Fall der quadrati- schen Gleichung

f(x) = x ² + px + q = 0 die bekannte Formel

x _1,2 = − p 2 ±

s p ² 4 − q

ein Verfahren, die gesuchten Nullstellen exakt (oder, mit geeigneten numerischen Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel, n¨ aherungsweise mit beliebiger Ge- nauigkeit) zu finden, bzw. die Formel gibt an, ob innerhalb des zul¨ assigen Zah- lenbereiches (etwa ^Z , ^Q oder ^R ) ¨ uberhaupt eine solche Nullstelle existiert.

Das Newtonsche Iterationsverfahren gestattet es, auch f¨ ur Funktionen, bei denen eine Nullstelle nicht exakt durch “Wurzelausdr¨ ucke” angebbar ist, vorgegeben genaue numerische N¨ aherungen zu finden, falls f(x) gewisse analytische Eigen- schaften hat.

Wiederum bei anderen Funktionen, etwa bei f (x) = cos(x), gibt man sich damit zufrieden, die Nullstellen

x _k = π

2 + k · π k ∈ ^Z

mit Hilfe “symbolischer” Zahlen, hier also π, auszudr¨ ucken.

Die Werte der Variablen x in der Funktion f (x) liegen bei vielen Problemen aber

nicht nur in geeigneten Zahlenbereichen (ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle

Zahlen, komplexe Zahlen), sondern es darf sich dabei beispielsweise auch um

Vektoren (im Falle linearer Gleichungssysteme) oder Funktionen (im Falle von

Differentialgleichungen) handeln.

In der Algebra besch¨ aftigt man sich nun haupts¨ achlich mit der L¨ osung solcher Gleichungen (1), bei denen die Funktion ein “Polynom (in eventuell mehreren Un- bestimmten)” ist. Man verallgemeinert dann aber insofern, als man gleichzeitige Nullstellen von endlich vielen Polynomen betrachtet, also anstelle einer einzelnen Gleichung (1) ein Gleichungssystem der Form

f ₁ (x) = 0, . . . , f _m (x) = 0.

(2)

Dabei ist nat¨ urlich zun¨ achst einmal der Begriff des Polynoms pr¨ azis zu definieren, wobei auch die “Rechenregeln” f¨ ur solche Polynome anzugeben sind. (Darf man etwa Polynome durcheinander dividieren, und wenn ja, wie geschieht das?) Wei- terhin ist jeweils genau anzugeben, in welchen “Rechenbereichen” die Nullstellen dieser Polynome zu suchen sind, bevor man beantworten kann, ob ein Polynom

¨ uberhaupt eine Nullstelle hat, und wenn ja, mit welchem Verfahren man sie “be- rechnen” kann.

In der Computeralgebra kommen dann noch die Fragen hinzu, wie man die Funk- tionen f _i (x) und die Werte x im Computer darstellt, um die Verfahren zur Null- stellenberechnung auch effektiv zu machen.

In der Vorlesung werden daher zun¨ achst allgemein Ringe (speziell Polynomringe in mehreren Unbestimmten) betrachtet, zusammen mit Konstruktionsverfahren zur Gewinnung weiterer Nullstellen von Polynomen (wie etwa beim ¨ Ubergang von ^Z nach ^Q oder von ^R nach ^C ) sowie mit Zerlegungsverfahren von “komplizier- teren” Polynomen in “einfache” (etwa die Division mit Rest oder die Primfak- torzerlegung f¨ ur Polynome). Danach wird dann auf die Frage eingegangen, wie Polynome in Computeralgebrasystemen dargestellt und behandelt werden, um ihre Nullstellen effektiv berechnen zu k¨ onnen.

Zum Abschluß dieser Einf¨ uhrung sollen noch einige bereits aus den Grundvorle- sungen bekannte Methoden angesprochen werden, bei denen es sich im wesent- lichen um die (simultane) Nullstellenbestimmung von Polynomen in mehreren Unbestimmten gehandelt hat.

Betrachtet man zun¨ achst ein einzelnes Polynom f (x) in einer Unbestimmten x, so kann man die “Schwierigkeit” des Problems der Nullstellenfindung nach dem Grad des Polynoms einordnen.

F¨ ur ein lineares Polynom f(x) = ax + b mit a 6 = 0 lernt man die Berechnung der

L¨ osung x = − _a ^b bereits in der Mittelschule, wobei man gleichzeitig den ¨ Ubergang

von dem nat¨ urlichen Rechenbereich der “nat¨ urlichen” Zahlen zu dem Rechenbe-

reich der rationalen Zahlen vollzieht.

F¨ ur ein quadratisches Polynom wurde die L¨ osung oben bereits angegeben, wo- bei man zur Berechnung von beliebigen Quadratwurzeln den ¨ Ubergang von den rationalen zu den reellen (oder gar den komplexen) Zahlen vollziehen muß.

F¨ ur Polynome dritten und vierten Grades kann man innerhalb der komplexen Zahlen noch allgemeine L¨ osungsformeln angeben, f¨ ur Polynome ab dem Grad f¨ unf konnte man schließlich zeigen, daß keine allgemeine Formel existieren kann, obwohl andererseits durch den Fundamentalsatz der Algebra gesichert ist, daß f¨ ur ein beliebiges reelles Polynom n-ten Grades innerhalb der komplexen Zahlen (bei geeigneter Z¨ ahlung) stets n Nullstellen existieren. (In der klassischen Algebra

¨ ubertr¨ agt man dieses Ergebnis auf Polynome ¨ uber viel allgemeinere Rechenberei- che, als es die reellen Zahlen darstellen.)

Betrachtet man ein einzelnes Polynom in n > 1 Unbestimmten, so kann man zun¨ achst wiederum nach dem Grad des Polynoms klassifizieren.

Kommen alle Unbestimmte nur einzeln und in h¨ ochstens erster Potenz vor, so handelt es sich um eine lineare Gleichung in n Unbestimmten und aus der Linea- ren Algebra ist bekannt, daß die Nullstellen eine Hyperebene bilden (f¨ ur n = 2 eine Gerade in der Ebene, f¨ ur n = 3 eine Ebene im Raum).

Kommen alle Unbestimmte in h¨ ochstens zweiter Potenz vor, so handelt es sich um eine Quadrik, die ebenfalls in der Linearen Algebra untersucht wurden. (Bei n = 2 handelt es sich um Kegelschnitte in der Ebene, bei n = 3 um Fl¨ achen zweiter Ordnung im Raum.)

F¨ ur h¨ ohere Grade k und n = 2 oder n = 3 erh¨ alt man viele interessante und (unter Einsatz analytischer Methoden) gut untersuchte Kurven und Fl¨ achen h¨ oherer Ordnung (von denen einige in den ¨ Ubungen behandelt werden sollen).

Der Fall mehrerer Polynome in einer Unbestimmten ist uninteressant, da jedes einzelne Polynom nur endlich viele Nullstellen hat und man unter diesen nur diejenigen identifizieren muß, die allen Polynomen gemeinsam sind.

Es bleibt der allgemeine Fall mehrerer Polynome in n > 1 Unbestimmten. Dabei wird wiederum der Spezialfall, daß es sich ausschließlich um lineare Polynome handelt, in der Linearen Algebra mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfah- rens umfassend gel¨ ost. Der Fall schließlich, daß auch nichtlineare Gleichungen vorkommen, wird in einem besonderen Teilgebiet der Algebra, der Algebraischen Geometrie ausf¨ uhrlich untersucht.

Literatur

William W. Adams, Philippe Loustaunau, An Introduction to Gr¨ obner Bases, AMS Graduate Studies in Mathematics Vol. 3, 1994.

Joachim von zur Gathen, J¨ urgen Gerhard, Modern Computer Algebra, Cam- bridge University Press, 1999.

Maurice Mignotte, Mathematics for Computer Algebra, Springer, 1992.

Attila Peth¨ o, Algebraische Algorithmen, Vieweg, 1999.

1 Elementare Konstruktionen f¨ ur Ringe

Definition 1.1 Unter einer Halbgruppe (S, · ) versteht man eine nichtleere Men- ge S zusammen mit einer bin¨ aren Verkn¨ upfung (der Multiplikation) · , die also je zwei Elementen a, b ∈ S genau ein Produkt a · b ∈ S zuordnet, so daß das Assoziativgesetz gilt:

a · (b · c) = (a · b) · c f¨ ur alle a, b, c ∈ S.

(3)

Besitzt die Halbgruppe ein Einselement e ∈ S gem¨ aß e · a = a · e = a f¨ ur alle a ∈ S,

(4)

so spricht man von einem Monoid. Besitzt in einem Monoid jedes a ∈ S ein Inverses a ⁻¹ gem¨ aß

a ⁻¹ · a = e = a · a ⁻¹ , (5)

so nennt man das Monoid eine Gruppe. Gilt in (S, · ) das Kommutativgesetz a · b = b · a f¨ ur alle a, b ∈ S,

(6)

so nennt man die Halbgruppe (das Monoid, die Gruppe) kommutativ. Kommu- tative Gruppen heißen auch abelsche Gruppen.

Definition 1.2 Ein (assoziativer) Ring (R, +, · ) besteht aus einer nichtleeren Menge R, auf der zwei bin¨ are Verkn¨ upfungen (eine Addition + und eine Multi- plikation · ) erkl¨ art sind, so daß die folgende Axiome gelten:

(R, +) ist eine kommutative Gruppe mit dem Nullelement o.

(7)

(R, · ) ist eine beliebige Halbgruppe.

(8)

Die Multiplikation · ist distributiv gegen¨ uber der Addition +, (9)

d. h. es gelten die Distributivgesetze

a · (b + c) = a · b + a · c (10)

(a + b) · c = a · c + b · c (11)

Ist auch (R, · ) kommutativ (bzw. ein Monoid (R, · )), so heißt (R, +, · ) ein kom-

mutativer Ring bzw. ein Ring mit Einselement.

Bemerkung 1.3 Wie in der Definition schon angedeutet, werden manchmal auch nichtassoziative Ringe betrachtet, bei denen man auf die Forderung (8) verzichtet. Derartige Ringe werden auch Alternativringe genannt. Sie spielen im Rahmen dieser Vorlesung aber keine Rolle.

Weiterhin wurde bei der Formulierung der Distributivgesetze davon Gebrauch gemacht, daß die Multiplikation “st¨ arker binden” soll, als die Addition. Wir wer- den im folgenden das Multiplikationssymbol oft auch fortlassen und a · b einfach als ab schreiben.

Beispiel 1.4 Die ganzen Zahlen ( ^Z , +, · ) sind, ebenso wie jeder Restklassenring ( ^Z /(n), +, · ) modulo n, ein kommutativer Ring mit Einselement, die geraden Zah- len (2 ^Z , +, · ) sind, ebenso wie ganz allgemein (n ^Z , +, · ) f¨ ur n = 2, 3, . . ., ein Bei- spiel f¨ ur einen kommutativen Ring ohne Einselement.

Die Matrizenringe M _n,n (R) f¨ ur R = ^Z , R = ^Q oder R = ^R sind f¨ ur n ≥ 2 Beispiele f¨ ur nichtkommutative Ringe mit Einselement.

Lemma 1.5 F¨ ur alle Elemente x, y eines Ringes (R, +, · ) und ihre “Entgegen- gesetzten” − x, − y in der Gruppe (R, +) gelten:

o · x = o = x · o (12)

x · ( − y) = ( − x) · y = − (x · y) (13)

( − x) · ( − y) = x · y.

(14)

Besitzt (R, +, · ) ein Einselement e, so gilt noch ( − e) · x = − x.

(15)

Definition 1.6 Ist (R, +, · ) ein Ring und S eine nichtleere Teilmenge von R, so daß (S, ⊕ , ) mit den auf S eingeschr¨ ankten Verkn¨ upfungen ⊕ von + und von

· selbst ein Ring ist, so heißt (S, ⊕ , ) ein Unterring von (R, +, · ) bzw. (R, +, · ) ein Oberring von (S, ⊕ , ). Man schreibt dann auch einfach wieder + f¨ ur ⊕ und

· f¨ ur .

Beispiel 1.7 Es sei R = M _2,2 ( ^Z ) der Matrizenring aller 2 × 2-Matrizen ¨ uber dem Ring ^Z der ganzen Zahlen. Dieser Ring hat bekanntlich die 2 × 2-Einheitsmatrix als Einselement. Nun bilden

S ₁ = {

a 0 0 0

| a ∈ ^Z } und S ₂ = {

0 0 0 a

| a ∈ ^Z } Unterringe von R, welche die Matrizen

1 0 0 0

bzw.

0 0 0 1

als Einselemente besitzen. Diese drei Ringe mit Einselement haben also verschie- dene Einselemente, obwohl S ₁ und S ₂ Unterringe von R ist. Im Unterschied dazu bilden

S 3 = {

a 0 0 a

| a ∈ ^Z } und S 4 = {

a 0 0 a

| a ∈ ^Z , a ist gerade } ebenfalls Unterringe von R, wobei S ₃ dasselbe Einselement besitzt wie R, dagegen S ₄ gar keins.

Bemerkung 1.8 Der n¨ achste Satz, der hier nicht bewiesen wird, zeigt, daß man sich bei der Untersuchung von Ringen “im Prinzip” auf Ringe mit Einselement beschr¨ anken kann. Wie eben gesehen, kann es dann durchaus Unterringe solcher Ringe geben, die kein Einselement besitzen. Sp¨ atestens bei der Betrachtung von Idealen (vgl. Definition 1.19) lassen sich derartige Unterringe nicht vermeiden.

Satz 1.9 Zu jedem Ring (R, +, · ) existiert ein Oberring (R ⁰ , +, · ), der ein Eins- element besitzt. Ist (R, +, · ) kommutativ, so existiert auch ein kommutativer Ober- ring mit Einselement.

Definition 1.10 Elemente a 6 = o 6 = b eines Ringes (R, +, · ) heißen Nullteiler (ge- nauer: a heißt linker und b rechter Nullteiler), wenn a · b = o gilt. Einen kommu- tativen Ring mit Einselement e 6 = o ohne Nullteiler nennt man Integrit¨ atsbereich.

Ein (kommutativer) Ring (R, +, · ), f¨ ur den (R \ { o } , · ) eine Gruppe ist, heißt (K¨ orper) Schiefk¨ orper.

Lemma 1.11 Jeder K¨ orper ist ein Integrit¨ atsbereich, jeder endliche Integrit¨ ats-

bereich ist ein K¨ orper.

Beispiel 1.12 Im Restklassenring ^Z /(n) sind genau die Elemente x 6 = 0 Nulltei- ler, f¨ ur die ggT(x, n) 6 = 1 gilt. Also ist ^Z /(n) genau dann ein Integrit¨ atsbereich und damit ein K¨ orper, wenn n eine Primzahl ist. Es gibt aber weitere endliche K¨ orper, z. B. auf R = { 0, 1, α, α + 1 } mit folgenden Strukturtafeln:

+ 0 1 α α + 1

0 0 1 α α + 1

1 1 0 α + 1 α

α α α + 1 0 1

α + 1 α + 1 α 1 0

· 0 1 α α + 1

0 0 0 0 0

1 0 1 α α + 1

α 0 α α + 1 1

α + 1 0 α + 1 1 α

Bez¨ uglich der Kommutativit¨ at endlicher K¨ orper gilt der folgende Satz.

Satz 1.13 (Wedderburn) Jeder endliche Schiefk¨ orper ist ein K¨ orper.

Ahnlich wie man den Ring der ganzen Zahlen ¨ ^Z zum K¨ orper ^Q der rationalen Zahlen erweitern kann, geht dies auch bei einer gr¨ oßeren Klasse von Ringen. Es gilt n¨ amlich der folgende Satz, der hier ebenfalls nicht bewiesen wird.

Satz 1.14 Ist (R, +, · ) ein kommutativer Ring mit Einselement, dann gibt es einen Obering Q = Q(R) von R mit Einselement, der Q(R) = { p · q ^{− 1} | p ∈ R, q ∈ N } mit N = { q ∈ R | q 6 = o ist kein Nullteiler von R } erf¨ ullt.

Bemerkung 1.15 Der Oberring Q(R) von R ist (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt. Man nennt ihn auch den (vollen) Quotientenring von R. Offensicht- lich ist dieser genau dann ein K¨ orper, der Quotientenk¨ orper von R, wenn R ein Integrit¨ atsbereich ist.

Definition 1.16 Es sei (R, +, · ) ein Ring. Eine ¨ Aquivalenzrelation κ auf R heißt eine Kongruenzrelation von (R, +, · ), wenn f¨ ur alle a, a ⁰ , b, b ⁰ ∈ R gelten

a κ a ⁰ und b κ b ⁰ = ⇒ a + b κ a ⁰ + b ⁰ sowie (16)

a κ a ⁰ und b κ b ⁰ = ⇒ ab κ a ⁰ b ⁰ .

(17)

Bemerkung 1.17 a) F¨ ur jeden Ring (R, +, · ) sind die identische Relation und die Allrelation Kongruenzen auf (R, +, · ), die sogenannten trivialen Kongruenzen.

b) Die Bedingung (17) ist gleichwertig zu

a κ a ⁰ und c ∈ R = ⇒ ac κ a ⁰ c und ca κ ca ⁰ . (18)

Satz 1.18 Es seien (R, +, · ) ein Ring, κ eine Kongruenzrelation auf (R, +, · ) und R/κ = { [a] _κ | a ∈ R } die Menge aller ¨ Aquivalenzklassen (auch: Restklassen) [a] _κ = { b ∈ R | a κ b } . Dann werden durch

[a] _κ + [b] _κ = [a + b] _κ und (19)

[a] _κ · [b] _κ = [ab] _κ (20)

zwei Verkn¨ upfungen auf R/κ definiert, so daß (R/κ, +, · ) ein Ring ist, der Rest- klassenring oder Faktorring von R nach κ.

Definition 1.19 Eine nichtleere Teilmenge I eines Ringes (R, +, · ) heißt ein Ideal von R, wenn gelten

a, b ∈ I = ⇒ a − b ∈ I, d. h. (I, +) ist Untergruppe von (R, +), (21)

a ∈ I, x ∈ R = ⇒ ax, xa ∈ I.

(22)

Lemma 1.20 F¨ ur jedes Ideal I eines Ringes (R, +, · ) wird durch x ≡ y mod I ⇐⇒ x − y ∈ I

(23)

f¨ ur alle x, y ∈ R eine Kongruenzrelation ≡ mod I auf (R, +, · ) definiert. Umge- kehrt bestimmt jede Kongruenz κ von (R, +, · ) ein Ideal I = [o] _κ . Hierbei gilt f¨ ur alle x, y ∈ R

x κ y ⇐⇒ x ≡ y mod I.

(24)

Bemerkung 1.21 a) Die Ideale eines Ringes (R, +, · ) bilden ebenso wie seine Kongruenzen einen vollst¨ andigen Verband. Zu jeder Teilmenge A von R existiert daher (A) = ^T { I | I Ideal von R mit A ⊆ I } , das von A in R erzeugte Ideal.

Gilt I = (A) f¨ ur ein Ideal eines Ringes, so heißt die Menge A auch eine Basis von I. Speziell f¨ ur A = { a } schreibt man (a) f¨ ur dieses Ideal und nennt (a) ein Hauptideal von R. Ein Integrit¨ atsbereich (R, +, · ), in dem sich jedes Ideal I als Hauptideal I = (a) mit einem geeigneten a ∈ I schreiben l¨ aßt, heißt ein Hauptidealring.

b) Jeder Ring (R, +, · ) besitzt die trivialen Ideale R und { o } = (o). Besitzt R ein Einselement e, so ist auch R = (e) ein Hauptideal. Ein Ring heißt einfach, wenn er nur diese trivialen Ideale besitzt. Insbesondere gilt dies f¨ ur jeden Schiefk¨ orper, der damit auch ein Hauptidealring ist.

Lemma 1.22 F¨ ur ein Element a eines kommutativen Ringes (R, +, · ) mit Eins- element gilt (a) = Ra = { ra | r ∈ R } .

Beispiel 1.23 F¨ ur den Ring ( ^Z , +, · ) sind die Unterringe I = n ^Z aus Beispiel 1.4 f¨ ur n = 0, 1, 2, . . . Ideale von ( ^Z , +, · ) und zwar die Hauptideale I = (n). Die gem¨ aß (23) zugeh¨ origen Kongruenzrelationen sind gerade die bekannten Kongru- enzen modulo n, und Satz 1.18 liefert die Restklassenringe ^Z /(n).

Definition 1.24 Es seien (R, +, · ) und (R ⁰ , +, · ) Ringe. Eine Abbildung ϕ : R → R ⁰ mit

ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) und (25)

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) (26)

f¨ ur alle a, b ∈ R heißt ein Homomorphismus von R in R ⁰ . Ein injektiver (sur- jektiver, bijektiver) Homomorphismus heißt Monomorphismus (Epimorphismus, Isomorphismus).

Lemma 1.25 Es seien (R, +, · ) und (R ⁰ , +, · ) Ringe und ϕ : R → R ⁰ ein Ho- momorphismus. Dann ist das homomorphe Bild ϕ(R) = { ϕ(a) | a ∈ R } ein Unterring von (R ⁰ , +, · ). Mit (R, +, · ) ist auch (ϕ(R), +, · ) kommutativ. Besitzt (R, +, · ) ein Einselement e, so ist ϕ(e) Einselement von (ϕ(R), +, · ) (aber nicht notwendig auch von (R ⁰ , +, · ), wie man aus dem Beispiel 1.4 leicht sehen kann).

Ist U Unterring von R, so ist ϕ(U ) Unterring von ϕ(R) und damit auch von R ⁰ .

Satz 1.26 (Homomorphiesatz) Ist ϕ : R → R ⁰ ein surjektiver Ringhomo- morphismus, dann gibt es eine Kongruenzrelation κ auf (R, +, · ), so daß R ⁰ zum Faktorring R/κ isomorph ist. Dabei gilt x κ y ⇐⇒ ϕ(x) = ϕ(y) ⇐⇒ ϕ(x − y) = o ⇐⇒ x − y ∈ Kern(ϕ) = { a ∈ R | ϕ(a) = o } f¨ ur alle x, y ∈ R.

Bemerkung 1.27 a) Ist I Ideal eines Ringes R und κ die Kongruenzrelation ≡ mod I, dann schreibt man auch R/I f¨ ur den Faktorring R/κ. Die Elemente von R/I sind also die Kongruenzklassen von R modulo I und lassen sich in der Form a + I f¨ ur a ∈ R schreiben. Dabei gilt a + I = b + I ⇐⇒ a − b ∈ I.

b) Ist ϕ : R → R ⁰ ein Ringhomomorphismus, dann ist I = Kern(ϕ) = { a ∈ R | ϕ(a) = o } ein Ideal von (R, +, · ) und R/I ist isomorph zum homomorphen Bild ϕ(R).

Definition 1.28 Ein Ideal I eines Ringes (R, +, · ) heißt maximal, wenn I 6 = R gilt und es kein Ideal J ⊃ I von (R, +, · ) mit J 6 = R gibt.

Definition 1.29 Ein Ideal I 6 = R eines kommutativen Ringes (R, +, · ) heißt Primideal, wenn f¨ ur alle a, b ∈ R aus a · b ∈ I stets a ∈ I oder b ∈ I folgt.

Satz 1.30 Es sei (R, +, · ) ein kommutativer Ring mit Einselement und I 6 = R ein Ideal von R. Genau dann ist R/I ein K¨ orper (Integrit¨ atsbereich), wenn I ein maximales Ideal (Primideal) ist.

Folgerung 1.31 a) Ein kommutativer Ring mit Einselement ist genau dann ein K¨ orper, wenn er nur die trivialen Ideale besitzt.

b) In einem kommutativen Ring mit Einselement ist jedes maximale Ideal auch ein Primideal.

Aufgabe 1.32 Beweisen Sie, daß das Einselement in einem Monoid stets ein-

deutig bestimmt ist und daß in einer Gruppe das Inverse a ⁻¹ zu jedem Element

a ebenfalls eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe 1.33 Beweisen Sie Lemma 1.5.

Aufgabe 1.34 Beweisen Sie die in Bemerkung 1.17 enthaltenen Behauptungen.

Aufgabe 1.35 Beweisen Sie Lemma 1.20.

Aufgabe 1.36 Beweisen Sie Lemma 1.22.

Aufgabe 1.37 Beweisen Sie Lemma 1.25.

Aufgabe 1.38 Es sei ϕ : R → R ⁰ ein Epimorphismus. Zeigen Sie, daß f¨ ur jedes

Ideal I von R das homomorphe Bild ϕ(I) ein Ideal von R ⁰ ist. Umgekehrt ist das

vollst¨ andige Original ϕ ⁻¹ (I ⁰ ) ein Ideal von R f¨ ur jedes Ideal I ⁰ von R ⁰ .

2 Polynomringe

Definition 2.1 Es sei (R, +, · ) ein Ring mit Einselement e. Ein Element x eines Oberringes (R ⁰ , +, · ) von R heißt eine Unbestimmte ¨ uber R, wenn es folgende Eigenschaften hat:

a) Es gilt ax = xa f¨ ur alle a ∈ R und ex = x.

b) x ist transzendent ¨ uber R, d. h. f¨ ur alle a _ν ∈ R gilt a ₀ + a ₁ x + . . . + a _n x ⁿ = o = ⇒ a ₀ = . . . = a _n = o.

(27)

Jedes Element der Form

f (x) = a ₀ + a ₁ x + . . . + a _n x ⁿ =

n

X

ν=0

a _ν x ^ν (mit x ⁰ = e) (28)

aus R ⁰ heißt dann ein Polynom in x mit Koeffizienten aus R. Dabei nennt man n den formalen Grad und den h¨ ochsten Index ν mit a ν 6 = o den Grad von f (x), in Zeichen: grad(f(x)). F¨ ur das Nullpolynom f (x) = o werde grad(f (x)) = −∞

gesetzt. Mit R[x] werde die Menge aller Polynome in x mit Koeffizienten aus R bezeichnet.

Beispiel 2.2 F¨ ur R = ^Z oder R = ^Q ist x = π aus R ⁰ = ^R (ebenso wie jede andere transzendente Zahl) Unbestimmte ¨ uber R. Mit x ist stets auch jede Potenz x ^k f¨ ur k = 2, 3, . . . Unbestimmte ¨ uber R.

Bemerkung 2.3 a) Wir werden im folgenden oft davon Gebrauch machen, daß man zwei Polynome aus R[x] durch geeignete Addition von Summanden der Form ox ^ν stets mit demselben formalen Grad schreiben kann.

b) Stets ist R in Form der konstanten Polynome f(x) = a ₀ ∈ R in R[x] enthalten.

c) Mit R ist auch R[x] abz¨ ahlbar, da man dann alle Polynome mit demselben

festen Grad n abz¨ ahlen kann.

Satz 2.4 Es sei (R, +, · ) ein Ring mit Einselement und R ⁰ ein Oberring von R, der eine Unbestimmte x ¨ uber R enth¨ alt. Dann bildet R[x] einen R umfassenden Unterring von R ⁰ , in dem folgende Rechenregeln gelten.

a) Koeffizientenvergleich:

n

X

ν=0

a _ν x ^ν =

n

X

ν=0

b _ν x ^ν ⇐⇒ a _ν = b _ν f¨ ur ν = 0, . . . , n,

b) Polynomaddition:

n

X

ν=0

a ν x ^ν +

n

X

ν=0

b ν x ^ν =

n

X

ν=0

(a ν + b ν )x ^ν ,

c) Cauchy-Produkt: (

n

X

ν =0

a _ν x ^ν ) · (

m

X

µ=0

b _µ x ^µ ) =

m+n

X

λ=0

( ^X

ν+µ=λ

a _ν b _µ )x ^λ .

Insbesondere ist das Einselement e von R auch Einselement von R[x] und mit R ist auch R[x] kommutativ.

Definition 2.5 Der Ring (R[x], +, · ) aus Satz 2.4 heißt ein Polynomring in einer Unbestimmten ¨ uber R.

Satz 2.6 Zu jedem Ring (R, +, · ) mit Einselement existiert ein Polynomring in einer Unbestimmten ¨ uber R.

Lemma 2.7 Es seien R[x] und R[y] jeweils Polynomringe in einer Unbestimm- ten (x bzw. y) ¨ uber dem Ring R. Dann sind R[x] und R[y] isomorph. Man spricht daher von dem Polynomring in einer Unbestimmten ¨ uber R.

Bemerkung 2.8 Man sagt auch, der Polynomring R[x] entstehe durch Adjunk- tion der Unbestimmten x zum Ring R. Da mit R auch R[x] ein Ring mit Einsele- ment ist, existiert auch ¨ uber R[x] der Polynomring (R[x])[y] in einer (von x un- abh¨ angigen) Unbestimmten y, welcher ebenfalls wieder ein Ring mit Einselement ist. Daher kann man auf diese Weise fortfahren und gelangt zu dem folgenden Satz ¨ uber Polynomringe in endlich vielen voneinander unabh¨ angigen Unbestimm- ten x ₁ , . . . , x _n . Dabei heißen diese Unbestimmte voneinander unabh¨ angig, wenn die beiden folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind.

a) ex _i = x _i und ax _i = x _i a f¨ ur alle a ∈ R sowie x _i x _j = x _j x _i f¨ ur alle i, j = 1, . . . , n.

b) Aus ^X

ν

,...,ν

a ν

...ν

x ^ν ₁

. . . x ^ν _n

= o folgt a ν

...ν

= o f¨ ur alle Indices ν 1 , . . . , ν n .

Satz 2.9 Es sei R ein Ring mit Einselement. Dann gibt es zu jedem n ∈ ^N den Polynomring R[x ₁ , . . . , x _n ] in n voneinander unabh¨ angigen Unbestimmten x ₁ , . . . , x _n ¨ uber R, dessen Elemente alle Polynome

f (x ₁ , . . . , x _n ) = ^X

ν

,...,ν

a _ν

_...ν

x ^ν ₁

. . . x ^ν _n

(29)

mit Koeffizienten aus R sind.

Definition 2.10 Es sei f (x ₁ , . . . , x _n ) ∈ R[x ₁ , . . . , x _n ] wie in (29). Dann heißt ein einzelner (nicht verschwindender) Summand

a _ν

_...ν

x ^ν ₁

. . . x ^ν _n

6 = o (30)

ein Monom und ν ₁ +. . .+ν _n dessen Grad. Unter dem (totalen) Grad von f (x ₁ , . . . , x _n ) 6 = o versteht man dann das Maximum der Grade seiner Monome und schreibt hierf¨ ur grad(f(x ₁ , . . . , x _n )). Besitzen alle Monome eines Polynoms denselben Grad m, so heißt das Polynom homogen oder eine n-¨ are Form m-ten Grades.

Unter dem Grad von f(x 1 , . . . , x n ) relativ zu x j grad _j (f (x 1 , . . . , x n )) versteht man das Maximum von { ν _j | a _ν

_...ν

6 = o } .

Folgerung 2.11 In beliebigen Polynomringen gelten die Aussagen:

a) Der Grad der Summe f + g von Polynomen f und g ist h¨ ochstens so groß wie das Maximum der Grade der Summanden.

b) Der Grad des Produktes f · g von Polynomen f und g ist h¨ ochstens so groß wie die Summe der Grade der Faktoren.

F¨ ur nullteilerfreie Ringe gilt in b) sogar stets die Gleichheit und ebenso grad _j (f · g) = grad _j (f ) + grad _j (g) f¨ ur alle x j .

Satz 2.12 Der Polynomring R[x ₁ , . . . , x _n ] ist genau dann kommutativ bzw. null-

teilerfrei, wenn dies f¨ ur den Ring R gilt. Insbesondere ist also jeder Polynomring

K[x ₁ , . . . , x _n ] ¨ uber einem K¨ orper K ein Integrit¨ atsbereich.

Beispiel 2.13 Da der Polynomring K[x ₁ , . . . , x _n ] f¨ ur jeden K¨ orper K ein Inte- grit¨ atsbereich ist, existiert der Quotientenk¨ orper

Q(K [x ₁ , . . . , x _n ]) = K(x ₁ , . . . , x _n ).

Dieser rationale Funktionenk¨ orper in den Unbestimmten x 1 , . . . , x n ¨ uber K be- steht aus den rationalen Funktionen

f(x ₁ , . . . , x _n ) g(x ₁ , . . . , x _n )

mit f(x ₁ , . . . , x _n ), g(x ₁ , . . . , x _n ) ∈ K[x ₁ , . . . , x _n ], g(x ₁ , . . . , x _n ) 6 = o.

Definition 2.14 Es sei f(x) = a ₀ + a ₁ x + . . . + a _n x ⁿ ∈ R[x], a _n 6 = o Polynom in einer Unbestimmten ¨ uber dem Ring R. Dann heißt a _n der Leitkoeffizient von f(x). Im Fall a _n = e nennt man f (x) ein normiertes Polynom.

Satz 2.15 (Einsetzungsprinzip) Es sei R ein Ring mit Einselement e und R ⁰ ein Oberring von R. Dann vermittelt jedes Polynom

f (x ₁ , . . . , x _n ) = ^X

ν

...ν

a _ν

_...ν

x ^ν ₁

. . . x ^ν _n

aus R[x ₁ , . . . , x _n ] durch Einsetzen von Elementen α ₁ , . . . , α _n aus R ⁰ anstelle von x ₁ , . . . , x _n eine eindeutige Abbildung ϕ _f : R ⁰ⁿ → R ⁰ gem¨ aß

ϕ _f (α ₁ , . . . , α _n ) = ^X

ν

...ν

a _ν

_...ν

α ^ν ₁

. . . α ^ν _n

= f (α ₁ , . . . , α _n ).

Falls dabei die Elemente α _ν untereinander und mit allen Elementen aus R ver- tauschbar sind sowie eα ν = α ν erf¨ ullen, so gelten die folgenden Aussagen.

a) Aus f (x ₁ , . . . , x _n ) = g(x ₁ , . . . , x _n ) folgt f (α ₁ , . . . , α _n ) = g(α ₁ , . . . , α _n ).

b) Aus f(x ₁ , . . . , x _n ) + g(x ₁ , . . . , x _n ) = h(x ₁ , . . . , x _n ) folgt f(α ₁ , . . . , α _n ) + g(α ₁ , . . . , α _n ) = h(α ₁ , . . . , α _n ).

c) Aus f (x ₁ , . . . , x _n ) · g(x ₁ , . . . , x _n ) = h(x ₁ , . . . , x _n ) folgt f(α 1 , . . . , α n ) · g(α 1 , . . . , α n ) = h(α 1 , . . . , α n ).

Ist insbesondere R ⁰ ein Integrit¨ atsbereich, so gelten diese Aussagen f¨ ur s¨ amtliche

Elemente α _ν ∈ R ⁰ .

Definition 2.16 Es sei R Ring mit Einselement und f(x) = f(x ₁ , . . . , x _n ) aus R[x ₁ , . . . , x _n ]. Ein Element α = (α ₁ , . . . , α _n ) ∈ R ⁰ⁿ f¨ ur einen Oberring R ⁰ von R heißt Nullstelle von f(x), wenn f (α) = f (α ₁ , . . . , α _n ) = o gilt.

Definition 2.17 Es sei R = K[x 1 , . . . , x n ] der Polynomring in n Unbestimm- ten ¨ uber einem K¨ orper K und I = (A) das von der endlichen Teilmenge A = { f ₁ , . . . , f _m } von R erzeugte Ideal. Dann heißt

V (I) = { α ∈ K ⁿ | f (α) = 0 f¨ ur alle f ∈ I } die Variet¨ at von I.

Bemerkung 2.18 Wichtige Fragen f¨ ur I und V (I) aus Definition 2.17 sind:

a) Wie entscheidet man f ∈ I f¨ ur ein beliebiges f ∈ R?

b) Gilt bereits I = R?

c) Gilt V (I) 6 = ∅ ?

d) Wie “groß” ist V (I)?

Die allgemeine Untersuchung der Struktur derartiger Variet¨ aten geschieht in der Algebraischen Geometrie, in der Computeralgebra ist man mehr an der “Praxis”

der Beantwortung dieser Fragen interessiert. Dazu ben¨ otigt man Kenntnisse ¨ uber geeignete spezielle Basen eines Ideals I aus R, die wir uns verschaffen werden, nachdem wir einiges ¨ uber Teilbarkeit in Integrit¨ atsbereichen gelernt haben.

Aufgabe 2.19 Beweisen Sie Lemma 2.7.

Aufgabe 2.20 Ist f (x) ∈ R[x] ein normiertes Polynom und g(x) 6 = o aus R[x]

beliebig, so gilt grad(f · g) = grad(f ) + grad(g).

Aufgabe 2.21 Beweisen Sie Satz 2.15.

3 Teilbarkeitslehre

In diesem Abschnitt bezeichne R stets einen kommutativen Ring mit Einselement e 6 = o.

Definition 3.1 Gilt b = ca f¨ ur Elemente a, b, c ∈ R, so sagt man a teilt b oder a ist ein Teiler von b, in Zeichen: a | b. Gilt a | b und b | a, so heißen a und b assoziert zueinander, in Zeichen: a ∼ b. Unter einer Einheit ε von R versteht man ein in dem Monoid (R, · , e) invertierbares Element. Man bezeichnet die Menge aller Einheiten von R auch mit R ^∗ . Ein Teiler a von b heißt echter Teiler von b, wenn a weder Einheit von R noch zu b assoziiert ist.

Lemma 3.2 a) F¨ ur Elemente a, b, c, d ∈ R gelten:

a | b ⇐⇒ (b) ⊆ (a), (31)

a | a, (32)

a | b und b | c = ⇒ a | c, (33)

e | a und a | o, (34)

a | b und c | d = ⇒ ac | bd, (35)

a | b und a | c = ⇒ a | b + c, (36)

ε | e ⇐⇒ ε ist Einheit, (37)

a ∼ b ⇐⇒ (a) = (b).

(38)

Die Assoziiertheit ∼ ist also eine ¨ Aquivalenzrelation auf R.

b) Ist R sogar ein Integrit¨ atsbereich, so gilt außerdem f¨ ur alle c 6 = o ac | bc = ⇒ a | b,

(39)

und a ∼ b gilt genau dann, wenn es ein ε ∈ R ^∗ mit b = εa gibt.

Beispiel 3.3 a) F¨ ur jeden K¨ orper K ist K ^∗ = K \ { o } .

b) Ist R ein Integrit¨ atsbereich, so gilt (R[x]) ^∗ = R ^∗ .

Definition 3.4 Es sei A eine nichtleere Teilmenge von R. Ein Element d ∈ R heißt ein gr¨ oßter gemeinsamer Teiler (der Elemente) von A, wenn folgende zwei Bedingungen erf¨ ullt sind:

(i) d ist gemeinsamer Teiler (der Elemente) von A, d. h. d | a f¨ ur alle a ∈ A, (ii) f¨ ur jeden gemeinsamen Teiler t von A gilt t | d.

Man schreibt daf¨ ur auch d = ggT(A) und nennt A teilerfremd, wenn e = ggT (A) gilt. Analog wird das kleinste gemeinsame Vielfache k = kgV (A) von A definiert.

Lemma 3.5 Es sei d ∈ R ein gr¨ oßter gemeinsamer Teiler von A. Genau dann ist auch d ⁰ ∈ R ein gr¨ oßter gemeinsamer Teiler von A, wenn d ∼ d ⁰ gilt. Ent- sprechendes gilt f¨ ur kleinste gemeinsame Vielfache von A.

Lemma 3.6 F¨ ur endlich viele Ideale I ₁ , . . . , I _n von R ist auch I ₁ + · · · + I _n = { a 1 + · · · +a n | a ν ∈ I ν } ein Ideal von R und zwar das kleinste Ideal von R, welches jedes I _ν enth¨ alt, also gerade das von der Vereinigung ^S I _ν erzeugte Ideal.

Bemerkung 3.7 Im Falle von Hauptidealen I _ν = (a _ν ) schreibt man kurz (a ₁ , . . . , a _n ) = (a ₁ ) + · · · + (a _n ).

Lemma 3.8 Ist R ein Hauptidealring, so existiert zu beliebigen Elementen a ₁ , . . . , a _n von R stets ein gr¨ oßter gemeinsamer Teiler. Ist d ein solcher gr¨ oßter gemeinsa- mer Teiler, so gibt es x ₁ , . . . , x _n ∈ R mit

d = x ₁ a ₁ + · · · + x _n a _n . (40)

Definition 3.9 Ein Integrit¨ atsbereich R heißt euklidischer Ring, wenn es eine Grad-Funktion d : R \ { o } → ^N o gibt, so daß f¨ ur a und b 6 = o aus R stets Elemente q, r ∈ R existieren mit

a = qb + r und r = o oder d(r) < d(b).

(41)

Man nennt (41) auch Division mit Rest (“a/b = q Rest r”).

Beispiel 3.10 a) Jeder K¨ orper K ist ein euklidischer Ring mit der Gradfunktion d(k) = 1 f¨ ur alle k 6 = o aus K .

b) Der Ring der ganzen Zahlen ( ^Z , +, · ) ist ein euklidischer Ring mit der Grad- funktion d(a) = | a | f¨ ur alle a 6 = 0 aus ^Z .

c) Ist K ein K¨ orper, so ist der Polynomring R = K[x] ein euklidischer Ring mit der Gradfunktion d(f ) = grad(f ) f¨ ur jedes Polynom f 6 = o aus R.

Satz 3.11 Es sei R ein euklidischer Ring mit der Gradfunktion d. F¨ ur a, b 6 = o aus R liefert der folgende euklidische Algorithmus einen gr¨ oßten gemeinsamen Teiler a _n von a und b und Elemente x, y ∈ R mit xa + yb = a _n . Setze a ₀ = a und a ₁ = b und bilde mittels (41) die Kette

a ₀ = q ₁ a ₁ + a ₂ mit (a ₂ = o oder) d(a ₂ ) < d(a ₁ ) a ₁ = q ₂ a ₂ + a ₃ mit (a ₃ = o oder) d(a ₃ ) < d(a ₂ )

.. .

a _{n − 2} = q _{n − 1} a _{n − 1} + a _n mit (a _n = o oder) d(a _n ) < d(a _{n − 1} ) a n − 1 = q n a n .

Satz 3.12 Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring, also speziell der Ring der ganzen Zahlen ^Z und jeder Polynomring K[x] ¨ uber einem K¨ orper K.

Definition 3.13 Ein Element p 6 = o von R, das keine Einheit von R ist, heißt irreduzibel oder unzerlegbar, wenn

p = ab = ⇒ a ∈ R ^∗ oder b ∈ R ^∗ (42)

gilt. Dagegen nennt man p prim oder ein Primelement von R, wenn gilt p | ab = ⇒ p | a oder p | b.

(43)

Bemerkung 3.14 In einem Integrit¨ atsbereich R ist p 6 = o also genau dann ir- reduzibel, wenn p keine Einheit ist und keine echten Teiler besitzt. Insbesonde- re ist also jedes prime Element auch irreduzibel. Die Umkehrung hiervon gilt nicht, denn in dem Integrit¨ atsbereich R = ^Z + ^Z √

− 5 ⊆ ^C gilt 2 · 3 = 6 = (1 + √

− 5) · (1 − √

− 5), aber das auch in R irreduzible Element 2 ist weder Teiler von 1 + √

− 5 noch von 1 − √

− 5.

Folgerung 3.15 Genau dann ist p 6 = o aus R prim, wenn das Hauptideal (p) ein Primideal ist.

Folgerung 3.16 Ist p irreduzibles Element eines Hauptidealringes R, so ist R/(p) ein K¨ orper. Insbesondere ist p also prim.

Folgerung 3.17 Der Polynomring R[x] ist genau dann ein Hauptidealring, wenn R ein K¨ orper ist.

Definition 3.18 Ein Element a ∈ R besitzt eine Zerlegung in irreduzible Fakto- ren, wenn a eine Darstellung der Form

a = εp ₁ · · · p _n mit ε ∈ R ^∗ und irreduziblen p _ν (44)

besitzt. Man sagt a besitzt eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren, wenn a eine Zerlegung gem¨ aß (44) besitzt und f¨ ur jede andere derartige Zerlegung

a = ε ⁰ p ⁰ ₁ · · · p ⁰ _m (45)

bereits n = m und nach geeigneter Umnumerierung p _ν ∼ p ⁰ _ν f¨ ur ν = 1, . . . , n gilt.

Ein Integrit¨ atsbereich, in dem jedes a 6 = o eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt, heißt faktoriell oder ZPE-Ring oder Gaußscher Ring.

Lemma 3.19 Es sei R ein Integrit¨ atsbereich, in dem jedes a 6 = o eine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Dann sind ¨ aquivalent:

a) R ist faktoriell.

b) Jedes irreduzible Element von R ist prim.

Definition 3.20 Der Ring R erf¨ ullt die Teilerkettenbedingung oder aufsteigende Kettenbedingung f¨ ur Hauptideale, wenn jede Kette (a ₁ ) ⊆ (a ₂ ) ⊆ . . . ⊆ (a _n ) ⊆ (a _n+1 ) ⊆ . . . von Hauptidealen station¨ ar ist, d. h. es gibt ein n ∈ ^N mit (a _j ) = (a _n ) f¨ ur alle j ≥ n.

Satz 3.21 Ein Integrit¨ atsbereich R ist genau dann faktoriell, wenn er die Tei- lerkettenbedingung erf¨ ullt und jedes irreduzible Element von R prim ist.

Folgerung 3.22 Jeder Hauptidealring ist faktoriell.

Aufgabe 3.23 Beweisen Sie Lemma 3.5.

Aufgabe 3.24 Beweisen Sie Lemma 3.6.

4 Der Hilbertsche Basissatz

Satz 4.1 F¨ ur einen kommutativen Ring (R, +, · ) sind die folgenden Bedingungen

¨ aquivalent.

(i) Zu jedem Ideal I von R gibt es endlich viele Elemente a ₁ , . . . , a _n in R, die I erzeugen, also mit I = (a ₁ , . . . , a _n ).

(ii) F¨ ur jede aufsteigende Kette von Idealen I ₁ ⊆ I ₂ . . . ⊆ I _k ⊆ . . . aus R gibt es einen Index n, so daß I _n = I _n+1 = . . . gilt, d. h. die Kette wird station¨ ar.

Definition 4.2 Die Bedingung (ii) nennt man aufsteigende Kettenbedingung f¨ ur Ideale und ein kommutativer Ring, in dem die aufsteigende Kettenbedingung f¨ ur Ideale erf¨ ullt ist, heißt ein Noetherscher Ring.

Ein Ideal I wie in (i) heißt endlich erzeugt.

Bemerkung 4.3 Der Satz 4.1 besagt also gerade, daß ein kommutativer Ring genau dann noethersch ist, wenn jedes seiner Ideale endlich erzeugt wird.

Satz 4.4 Ist R ein noetherscher Ring mit Einselement, so auch der Polynomring R[x].

Da in jedem K¨ orper K die beiden einzigen Ideale I = (o) und I = K von einem Element, n¨ amlich a ₁ = o bzw. a ₁ = e erzeugt werden, ist K stets noethersch.

Dann folgt aber sofort durch mehrfache Anwendung von Satz 4.4 der folgende Satz.

Satz 4.5 (Hilbertscher Basissatz) Ist K ein K¨ orper und I ein Ideal des Po-

lynomringes K[x ₁ , . . . , x _n ], so ist I endlich erzeugt.

5 Termordnungen und Reduktionen

In diesem Abschnitt sei K[x ₁ , . . . , x _n ] ein Polynomring in den n voneinander unabh¨ angigen Unbestimmten x ₁ , . . . , x _n uber einem K¨ ¨ orper K. Die Menge der Unbestimmten sei gem¨ aß x ₁ > x ₂ > . . . > x _n total geordnet.

Definition 5.1 Die Teilmenge ^T = { x ^α ₁

. . . x ^α _n

| α _i ∈ ^N 0 f¨ ur i = 1, . . . , n } von K[x 1 , . . . , x n ] heißt die Menge der Terme von K [x 1 , . . . , x n ]. Der Term x ^α ₁

. . . x ^α _n

wird im folgenden kurz als X ^α mit α = (α ₁ , . . . , α _n ) notiert.

Eine totale Ordnung < auf ^T heißt Termordnung, wenn die beiden folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind.

(i) e < X ^α f¨ ur alle X ^α 6 = e aus ^T .

(ii) X ^α < X ^β impliziert X ^α X ^γ < X ^β X ^γ f¨ ur alle X ^γ aus ^T .

Beispiel 5.2 a) Die lexikographische Ordnung wird definiert durch

X ^α < X ^β ⇐⇒ α ₁ = β ₁ , . . . , α _i−1 = β _i−1 , α _i < β _i f¨ ur ein i ∈ { 1, . . . , n } . Offensichtlich sind (i) und (ii) erf¨ ullt. Im Falle von zwei Unbestimmten hat man

e < x ₂ < x ² ₂ < . . . < x ₁ < x ₂ x ₁ < x ² ₂ x ₁ < . . . < x ² ₁ < . . .

b) Die Totalgrad-dann-lexikographische Ordnung wird definiert durch X ^α < X ^β ⇐⇒

P n

i=1 α _i < ^{P n} _i=1 β _i oder

P n

i=1 α _i = ^{P n} _i=1 β _i und X ^α < X ^β bez¨ uglich der lexikographischen Ordnung.

Die Bedingung (i) ist offensichtlich erf¨ ullt, (ii) pr¨ uft man leicht nach. Im Falle von zwei Unbestimmten hat man also

e < x ₂ < x ₁ < x ² ₂ < x ₂ x ₁ < x ² ₁ < x ³ ₂ < . . .

c) Die Totalgrad-dann-invers-lexikographische Ordnung wird definiert durch X ^α < X ^β ⇐⇒

P _n

i=1 α i < ^{P n} _i=1 β i oder

P n

i=1 α _i = ^{P n} _i=1 β _i und

α _n = β _n , . . . , α _i+1 = β _i+1 , α _i > β _i f¨ ur ein i ∈ { 1, . . . , n } .

Die Bedingung (i) ist offensichtlich erf¨ ullt, (ii) pr¨ uft man leicht nach. Im Falle

von zwei Unbestimmten stimmen die Totalgrad-dann-lexikographische Ordnung

und die Totalgrad-dann-invers-lexikographische Ordnung ¨ uberein.

Folgerung 5.3 Ist < eine Termordnung auf ^T und gilt X ^α | X ^β f¨ ur zwei Elemen- te aus ^T , so folgt X ^α ≤ X ^β .

Satz 5.4 Jede Termordnung < ist eine Wohlordnung auf ^T , d. h. jede nichtleere Teilmenge von ^T besitzt ein bez¨ uglich < kleinstes Element.

Definition 5.5 Es sei < eine Termordnung auf ^T . Ein vom Nullpolynom ver- schiedenes Polynom f = f (x ₁ , . . . , x _n ) ∈ K [x ₁ , . . . , x _n ] werde als Summe seiner Monome geschrieben gem¨ aß

f (x ₁ , . . . , x _n ) = a ₁ X ^α

+ a ₂ X ^α

+ . . . + a _r X ^α

mit Koeffizienten a i 6 = o und Termen X ^α

, die

X ^α

> X ^α

> . . . > X ^α

erf¨ ullen. Dann heißt

Lt(f) = X ^α

der Leitterm von f , Lk(f ) = a ₁ der Leitkoeffizient von f, Lm(f) = a 1 X ^α

das Leitmonom von f .

F¨ ur das Nullpolynom werde Lt(o) = Lk(o) = Lm(o) = o gesetzt.

Definition 5.6 a) Es seien f, g, h ∈ K[x 1 , . . . , x n ] und f 6 = o. Dann l¨ aßt sich f modulo g zu h reduzieren, in Zeichen: f _−→ ^g h, wenn Lt(g) ein von o verschiedenes Monom a _α X ^α von f teilt und h = f − a _α X ^α

Lm(g) g gilt.

b) Es seien f, h und f ₁ 6 = o, . . . , f _k 6 = o Polynome aus K[x ₁ , . . . , x _n ] sowie F = { f ₁ , . . . , f _k } . Dann l¨ aßt sich f modulo F zu h reduzieren, in Zeichen: f _−→ ^F ₊ h, wenn eine Folge von Indizes i ₁ , . . . , i _s aus { 1, . . . , k } existiert sowie eine Folge von Polynomen h ₁ , . . . , h _s−1 mit

f f _i

−→ h ₁ f _i

−→ h ₂ f _i

−→ . . . f _i

−→ h _s−1 f _i

−→ h.

Definition 5.7 a) Ein Polynom r heißt reduziert bez¨ uglich einer Menge nicht- verschwindender Polynome F = { f ₁ , . . . , f _k } , wenn r = o gilt oder wenn sich r nicht mehr modulo F reduzieren l¨ aßt.

b) Gilt f _−→ ^F ₊ r und ist r modulo F reduziert, dann heißt r ein Rest von f bez¨ uglich F .

Satz 5.8 Es seien f, f ₁ 6 = o, . . . , f _k 6 = o aus K[x ₁ , . . . , x _n ]. Dann berechnet der folgende Algorithmus q 1 , . . . , q k , r aus K[x 1 , . . . , x n ], so daß r bez¨ uglich { f 1 , . . . , f k } reduziert ist, f = q ₁ f ₁ + . . . + q _k f _k + r gilt sowie

max { Lt(q ₁ )Lt(f ₁ ), . . . , Lt(q _k )Lt(f _k ), Lt(r) } = Lt(f).

1. Setze q ₁ = o, . . . , q _k = o, r = o und h = f . 2. Solange h 6 = o gilt, wiederhole:

Wenn ein i mit Lt(f i ) | Lt(h) existiert, dann

w¨ ahle das kleinste i mit dieser Eigenschaft und setze

q i = q i + Lm(h)

Lm(f _i ) , h = h − Lm(h) Lm(f _i ) f i

sonst setze r = r + Lm(h), h = h − Lm(h).

6 Gr¨ obner-Basen

In diesem Abschnitt sei K[x ₁ , . . . , x _n ] ein Polynomring in den n voneinander unabh¨ angigen Unbestimmten x ₁ , . . . , x _n ¨ uber einem K¨ orper K und < sei eine Termordnung auf ^T . F¨ ur eine Teilmenge F von K[x ₁ , . . . , x _n ] sei

Lm(F ) = ( { Lm(f) | f ∈ F } ).

Definition 6.1 a) Eine Menge G = { g ₁ , . . . , g _k } nicht-verschwindender Polyno- me, die in einem Ideal I von K[x ₁ , . . . , x _n ] enthalten ist, heißt eine Gr¨ obner- Basis von I, wenn f¨ ur alle f 6 = o aus I ein Index i ∈ { 1, . . . , k } existiert, so daß Lt(g _i ) | Lt(f ) gilt.

b) G heißt Gr¨ obner-Basis, wenn G eine Gr¨ obner-Basis des Ideals (G) ist.

Satz 6.2 Es sei I 6 = (o) Ideal von K[x ₁ , . . . , x _n ] und G = { g ₁ , . . . , g _k } ⊆ I eine Teilmenge nicht-verschwindender Polynome. Dann sind gleichwertig:

(i) G ist eine Gr¨ obner-Basis von I.

(ii) f ∈ I ⇐⇒ f _−→ ^G

+ o.

(iii) f ∈ I ⇐⇒ f = ^{P k} _i=1 q _i g _i mit Lm(f ) = max { Lm(q _i )Lm(g _i ) } . (iv) Lm(G) = Lm(I).

Folgerung 6.3 Ist G eine Gr¨ obner-Basis von I, dann gilt I = (G).

Satz 6.4 Das Ideal I werde von einer Menge G nicht-verschwindender Monome erzeugt. Ein Polynom f ∈ K[x ₁ , . . . , x _n ] liegt genau dann in I , wenn zu jedem Monom a _α X ^α von f ein Monom a _β X ^β ∈ G existiert mit X ^β | X ^α . Weiterhin existiert eine endliche Teilmenge G ₀ von G mit I = (G ₀ ).

Folgerung 6.5 Jedes Ideal I 6 = (o) besitzt eine Gr¨ obner-Basis.

Satz 6.6 Es sei G eine endliche Menge nicht-verschwindender Polynome aus

K[x ₁ , . . . , x _n ]. Genau dann ist G eine Gr¨ obner-Basis, wenn f¨ ur alle f aus K [x ₁ , . . . , x _n ]

der Rest der Division von f durch G eindeutig ist.

7 Der Buchberger-Algorithmus

In diesem Abschnitt sei K[x ₁ , . . . , x _n ] ein Polynomring in den n voneinander unabh¨ angigen Unbestimmten x ₁ , . . . , x _n ¨ uber einem K¨ orper K und < sei eine Termordnung auf ^T .

Definition 7.1 Es seien f 6 = o und g 6 = o Polynome aus K[x ₁ , . . . , x _n ] und X ^α = kgV (Lt(f ), Lt(g)). Dann heißt

S(f, g) = X ^α

Lm(f ) f − X ^α Lm(g) g das S-Polynom von f und g.

Lemma 7.2 Es seien f 1 , . . . , f k ∈ K[x 1 , . . . , x n ] mit Lt(f i ) = X ^α 6 = o f¨ ur i = 1, . . . , k und f = ^P c _i f _i mit c _i ∈ K. Gilt dann Lt(f) < X ^α , so ist f eine Linearkombination von S(f _i , f _j ) f¨ ur 1 ≤ i < j ≤ k mit Koeffizienten aus K .

Satz 7.3 (Buchberger) Eine Menge G = { g ₁ , . . . , g _k } nicht-verschwindender Polynome aus K [x ₁ , . . . , x _n ] ist genau dann eine Gr¨ obner-Basis von I = h G i , wenn f¨ ur alle i 6 = j gilt

S(g _i , g _j ) G

−→ ⁺ o.

Folgerung 7.4 Es sei G = { g ₁ , . . . , g _k } nit g _i 6 = o f¨ ur i = 1, . . . , k. Genau dann ist G eine Gr¨ obner-Basis, wenn f¨ ur alle i 6 = j gilt

S(g i , g j ) =

k

X

ν=1

h ijν g ν mit Lt(S(g i , g j )) = max { Lt(h ijν )Lt(g ν ) } .

Satz 7.5 Zu einer gegebenen Menge F = { f 1 , . . . , f l } nicht-verschwindender Po- lynome aus K [x ₁ , . . . , x _n ] berechnet der folgende Algorithmus eine Gr¨ obner-Basis G = { g ₁ , . . . , g _k } von I = h F i .

1. Setze G = F und G ⁰ = {{ f _i , f _j } | f _i 6 = f _j ∈ G }

2. Solange G ⁰ 6 = ∅ ist, wiederhole:

W¨ ahle { f, g } ∈ G ⁰ , setze G ⁰ = G ⁰ \ { f, g } und berechne S(f, g) _−→ ^G

+ h, wobei h bez¨ uglich G reduziert ist.

Wenn h 6 = o ist, setze

G ⁰ = G ⁰ ∪ {{ u, h } | u ∈ G } , G = G ∪ { h } .

Lemma 7.6 Ist { g ₁ , . . . , g _k } Gr¨ obner-Basis des Ideals I mit Lt(g ₂ ) | Lt(g ₁ ), so ist auch { g ₂ , . . . , g _k } eine Gr¨ obner-Basis von I.

Definition 7.7 Eine Gr¨ obner-Basis { g ₁ , . . . , g _k } heißt minimal, wenn f¨ ur alle i = 1, . . . , k gilt: Lk(g _i ) = e und Lt(g _i ) ist kein Teiler von Lt(g _j ) f¨ ur j 6 = i.

Satz 7.8 Sind G = { g 1 , . . . , g k } und F = { f 1 , . . . , f l } minimale Gr¨ obner-Basen desselben Ideals I, so gilt k = l und (bei geeigneter Numerierung) Lm(f _i ) = Lm(g _i ) f¨ ur i = 1, . . . , k.

Definition 7.9 Eine Gr¨ obner-Bais G = { g ₁ , . . . , g _k } heißt reduziert, wenn f¨ ur i = 1, . . . , k gilt: Lk(g _i ) = e und g _i ist reduziert bez¨ uglich G \ { g _i } .

Lemma 7.10 Es sei G = { g 1 , . . . , g k } eine minimale Gr¨ obner-Basis f¨ ur ein Ideal I. Dann liefern die folgenden Reduktionsschritte eine reduzierte Gr¨ obner-Basis H = { h ₁ , . . . , h _k } von I. Es sei

g 1 H

−→ h 1 , wobei h 1 reduziert bez¨ uglich H 1 = { g 2 , g 3 . . . , g k } ist, g _{2 −→} ^H

h ₂ , wobei h ₂ reduziert bez¨ uglich H ₂ = { h ₁ , g ₃ , . . . , g _k } ist, .. .

g _{k −→} ^H

h _k , wobei h _k reduziert bez¨ uglich H _k = { h ₁ , . . . , h _k−1 } ist.

Satz 7.11 (Buchberger) Jedes Ideal I 6 = (o) besitzt bez¨ uglich jeder Termord-

nung eine eindeutig bestimmte reduzierte Gr¨ obner-Basis