Fachhochschule München
Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Dr. Joachim Erven
München, den 30.1.2009
Prüfung in Mathematik 1 WS 08/09
Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hilfsmittel: 2 DIN A4 - Blätter eigene Aufzeichnungen, kein Rechner!
1. (i) Für welche a ∈ R ist die Gleichung sin x + cos x = a in R lösbar?
(ii) Lösen Sie (durch geschickteSubstitution): e 1
cosh3 ) e 1 3 ( sinh ) e 1
( + x+ − x = −
2. Gegeben sei das reelle Polynom p(x)=x5 −12x4 +25x3 −50x2.
(i) Zeigen Sie durch Nachrechnen, dass b1=1+2j eine komplexe Nullstelle von p ist.
(ii) Bestimmen Sie alle Nullstellen von p.
(iii) Geben Sie die reelle Polynomzerlegung von p in Linearfaktoren und quadratisch unzerlegbare Terme an.
3. Mit festem c ∈ R sei das folgende (4,3)-LGS gegeben:
c c x
x x
x x
x x
x
x x
x
−
−
−
= +
−
=
−
= +
−
=
− +
6 3 0
2 5
2 4
2 2
3 2
1
3 2
3 2
1
3 2
1
.
(i) Untersuchen Sie, für welche(s) c ∈ R das gegebene LGS lösbar/unlösbar ist. Für welche(s) c ist das LGS eindeutig lösbar?
(ii) Lösen Sie – falls möglich – das LGS für α) c = 3 , β) c = 0 .
4. BestimmenSie alle x ∈ R, für die die (4,4)-Matrix x
x x
x x
4 1 2
0 2 1
1 1 1
0 0
keinen maximalen Rang hat.
bitte wenden
5. Berechnen Sie − falls existent − die folgenden Grenzwerte:
(i)
15 2
2 1 lim 3
3 4
3
+ +
⋅
−
−
∞
→ k k
k k k
k (ii)
x x x
x 1 cos
arctan lim
0 −
−
→
6. (i) Für welche b, c ∈ R gilt (mit beliebigem x ∈ R):
( (c+bx)
⋅e2x)
′ =x⋅e2x ?
(ii) Für festes a ∈ R+ betrachte man die allgemeine Exponentialfunktion f x
( )
=ax. (a) Man bestimme die Gleichung der Tangenten an f in x0 = 0.(b) Für welche(s) a ∈ R+ ist diese waagerecht?
(c) Für welche(s) a ∈ R+ schneidet diese Tangente die x-Achse in
(
−1 0,)
?Zur Erinnerung: Die Gleichung der Tangenten t, die den Graph einer Funktion f(x) in x0 berührt, lautet allgemein: t(x)= f(x0)+ f′(x0)⋅(x−x0).
7. (i) Zeigen Sie nur unter Benutzung der Definition sowie der Rechenregeln für reelle Funktionen die auch für alle z1, z2 ∈ C gültige Regel: ez1+z2 =ez1⋅ez2.
(ii) Bekanntlich wird für beliebiges z ∈ C die komplexe Kosinusfunktion definiert durch
(
z z)
z ej e-j 2
cos = 1 + .
Berechnen Sie alle Nullstellen der komplexen Kosinusfunktion und vergleichen Sie das Er- gebnis mit dem von R bekannten.
8. Berechnen Sie nur mittels elementarer Integrationstechniken:
(i) cos xdx
2
0
∫
3 π(ii)
∫
3x2⋅ex3dxHinweis zu allen Aufgaben: Erläutern Sie stets all Ihre Lösungsschritte so ausführlich, dass Ihre Rechengänge und Argumentationen nachvollziehbar sind – und nun
viel Erfolg!
