Viertes Kapitel. Anwendungen der Theorie auf Randwertprobleme in Sobolewschen. Funktionenraumen

Anwendungen der Theorie auf Randwertprobleme in Sobolewschen Funktionenraumen

Die allgemeine Theorie der Randwertaufgaben aus den vorangegan- genen Kapiteln wird nun auf bekannte Randwertprobleme in Sobolewschen Funktionenraumen angewandt. 1m Sinne von Paragraph I­§3 gibt as zwei verwandte, aber doch unterschiedliche Zugange zu einer Behandlung von Randwertanfgaben. Namlich einmal mit Hilfe der inden Abschnitten I­§3.l

bis und 11­82.1,2.2 entwickelten Theorie, die wir kurz "Bilinear- formentheorie" nennen wollen. Zum anderen mit Hilfe der in den Ab- schnitten I­§3.5,II­§2.3 dargestellten Theorie regularer koerzitiver Operatoren. Bei partiellen Differentialgleichungen hat sich die Bili- nearformentheorie aus den Variationsmethoden fur Randwertaufgaben stark elliptischer Differentialgleichungen entwickelt, wahrend die Theorie regularer koerzitiver Operatoren durch die erst in neuerer Zeit bewie- senen Koerzitivitatsungleichungen fur elliptische Differentialopera- toren ermoglicht wird.

Der Unterschied dieser beiden Methoden wird bereits im FaIle von Randwertproblemen bei gewohnlichen Differentialgleichungen deutlich, die im folgenden Paragraphen §l behandelt werden. Damit erhalt man nicht nur ein einfaches, aber instruktives Beispiel fur die allgemeine Theorie, sondern zugleich eine funktionalanalytische Theorie dieser klassiscben Randwertprobleme, die man fruher mit Integraloperatoren gelost hat.Nach dem Modell von §l werden dann in die sehr viel schwierigeren Rand- wertprobleme bei partiellen Differentialgleichungen behandelt. Zur An- wendung der Theorie in diesem FaIle benotigt man vor allem tiefliegende apriori Ungleichungen tiber die starke V­Elliptizitat beschrankter Bili- nearformen fur Teilrii.ume Vs;W'Nt^t'2. (D. ) mit einer offenen Punktmenge

n.

ⁱⁿ

• Hierflir sind in neuerer Zeit von einer Reihe von Antoren notwen- dige und hinreichende, im wesentlichen algebraische Bedingungen an die

Koeffizienten der Differentialoperatoren und Randbedingungen angege- ben worden.

Die Theorie linearer stetiger Funktionale aus Kapitel III wird in

§2 ausfuhrlich auf das Beispiel Sobolewscher Raume periodischer Funk- tionen angewandt. Mit den linearen stetigen Funktionalen auf dem Test- raum der beliebig oft differenzierbaren periodischen Funktionen erhalt man den Raum der periodischen Distributionen oder verallgemeinerten Funk- tionen. Ais Anwendung der Theorie zeigen wir in diesem Paragraphen die Existenz und Differenzierbarkeit von Losungen elliptischer Systeme par- tieller Differentialgleichungen fur periodische Funktionen.

In

9j

werden zunachst die bekannten Sobolewschen Funktionenraume

W""'''1.(.Q) fur ane offene Punktmenge

.n.

"1R.'" mit ihren wichtigsten Eigen-

schaftenangefuhrt. Eine einfache Anwendung der Theorie aus I-§j und II-§2.1,2.2 bildet dann die Dirichletsche Rand- und Eigenwertaufgabe fur stark elliptische Differentialoperatoren 2m-ter Ordnung mit einem Diffe- rentialoperator (2m-I)-ter Ordnung im Eigenwertterm. Weiter wird in §j als Anwendung der Definition abstrakter Sobolewscher Raume eine Klasse von allgemeineren Sobolewschen Funktionenraumen mit Hilfe von Diffe- rentialoperatoren definiert und mit einigen Eigenschaften vorgefuhrt. 1m FaIle von konstanten Koeffizienten und furn ⁼ R'" ist auch hier die

Theorie Iinearer stetiger Funktionale aus Kapitel III in vollem Umfang anwendbar. Dies wird ausgenutzt. um die Differenzierbarkeit schwacher Losungen semielliptischer Differentialgleichungen auf zu zeigen.

Neben den elliptischen sind zum Beispiel auch die parabolischen Diffe- rentialgleichungen semielliptisch. Die semielliptischen Differential- gleichungen selbst bilden eine Teilklasse der hypoelliptischen Diffe- rentialgleichungen.

§l. Regulare Randwertaufgaben bei gewohnlichen Differentialgleichungen

Randwertaufgaben bei gewohnlichen Differentialgleichungen bil- den ein einfaches, aber instruktives Beispiel ftir die allgemeine Theorie. In Abschnitt 1.1 bringen wir kurz und im wesentlichen ohne Beweise die wichtigsten Eigenschaften Sobolewscher Raume ftir Funk- tionen einer Veranderlicher. Auf diesen Raumen wird dann eine allge- meine Klasse beschrankter Bilinearformen und zugehoriger Randwertauf-

gaben betrachtet. Der zugehorige Differentialoperator 2m-ter Ordnung mit einem Operator (2m-l)-ter Ordnung im Eigenwertterm wird mit den Darstellungssatzen aus I-§3 unter etwas spezielleren Voraussetzungen in Abschnitt 1.3 hergeleitet. FUr symmetrische Bilinearformen erhalt man damit eine Theorie von Rand- und Eigenwertaufgaben, die in einem etwas allgemeineren Sinne ale bei KAMKE [2], S31, defini t sind. Die Theorie regularer koerzitiver Operatoren im FaIle von gewohnlichen Differentialgleichungen wird in Abschnitt ausgefUhrt, womit man bekannte Ergebnisse tiber die normale Losbarkeit der Rand- wertaufgabe, die Existenz und Vollstetigkeit des Greenschen Operators und die Folge der Eigenwerte erhalt (s. KAMKE [2], §25, §26).

1.1. Die Sobolewschen Funktionenraume WWI.'l (I)

werden die wichtigsten Eigenschaften der Sobolew- schen Raume 'W....'l. (I) ftir Funktionen einer Veranderlichen kurz ZUS8llUDen.

gestellt.

Sei

r

ein offenes Intervall der reellen Zahlengeraden und

t:

(I) der Hilbertsche Raum der tiber I im Sinne von LEBESGUE quadratisch integrierbaren, komplexwertigen Funktionen mit dem Skalar- produkt

(1)

Sei weiter

(lA.,LT)

(:OCT) der

'" ) u(x) \.T(X) rJ..'lI! ,

'I.

Teilraum der Testfunktionen in L'). CI ) , also der auf 1(4 beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Trager in I • Der Teilraum

cC;:

CI) ist dicht im Hilbertschen Raum L'). (I) . Damit werden offenbar die Bedingungen (S), (Sl) aus den Abschnitten II-Sl.3t 1.4 erfullt t wenn man setzt

(2)

W ⁼ L':l-(I)

Z4't' ==

k

cJ.)(

H

= c: rr)

^J

Z

^I{) -= -

h-

• I J'lI!

Ein Multiindex K der Ordnung II< \ '"s hat hier notwendig die Gestalt

I< = [-1, ...J 1 ] ,so dap gil t

IK I = s

s ( d..s )

Gema^A Abschnitt II-sl.2 ist der maxfmale Definitionsbereich D ---

t' -1 J.xs

der Teilraum aller Funktionen lA.e L':2. (I), fur die es ein ^l.7 C-^(I) gibt mit

(4)

J

'('(x) ..,-(x) d..x, I

I

fur und es wird dann

schen Riiume J.-l"'"

d..Su. = IT

Jxs

und die Teilraume

5=1,2, ...• Die zugehbr-Lgen Sobolew- bezeichnet man auch mit

J.-lWl

•

Der Raum W...^·'l.(I) ist ein Hilbertscher Raum mit dem Skalarprodukt

(6)

und es gel ten siimtliche Ungleichungen aus Abschnitt II-§1.4 in diesem

Falle. Das Skalarprodukt

[.,.J

₅ und die sugehdr Lge Halbnorm 1.1₅ lauten hier

fur 1.A.,I.rEW'"",,'2.(IJ, S=O,"'1 WI. Der Operator K=Z·1+1 aus II-§1.4.(lJ) hat die Gestalt

(8)

1m FaIle von Funktionen einer Ver&nderlicben sicb eine ein- facbe Charakterisierung des maximal en Definitionsbereicbs

und damit aucb des Raumes \,j'M,L(1) angeben. Fur jede Testfunktion 'f^£

C:' (

^t) i st die Funktion

If'

,erklart durcb

f

^{(x) := If()() I X} f:.1R⁴ I

wieder eine Testfunktion. Aus der (4) folgt somit zun&cbst, d.^S

daf3 D4 ( d..)(s ) der Teilraum aller Funktionen aus L'2.(I} ist, die

auf I verallgemeinerte Ableitungen der Ordnung s im Sinne der Di- stributionstbeorie baben. Sei I die Abscblief3ung des offenen Inter- valls I in 1R1 , dann gil t der Satz

(9) Fur eine naturIicbe Zahl s ist eine Funktion genau dann im maxi- malen Definitionsbereicb ^1)-1 (txSs ) I wenn sie fast uberall ghicb einer Funktion e

L

^2(I) iat, die auf I stetig und (a-I)-mal stetig differenzierbar ist. deren (s-l)-te Ableitung absolut stetig ist und deren samtIicbe Ableitungen bis zur Ordnung $ einscblie@licb in

Auf Grund dieser Eigenschaft der Funktionen aua dem Sobolewscben

Raum W...,'2.(I) bestebt fur jedes bescbrankte offene Intervall (cx,(3) £ I

mi t >0 die nach POINCARE benannte Ungleicbung

(10 ) + -^-1

A

fur jedes u.e 'vJ (I) / WI z -1 lund hieraus folgt unmittelbar die Ungleichung von FRIEDRICHS:

(ii ) ..§.!l I 1R.⁴ ein beschriinktes offenes Intervall, dann gibt es zu

,jeder positiven Zahl E eine naturliche Zahl N und Funktionen ^(,J)7Ii 1:(1), v: -1, •.., N , mit der Eigenschaft

E. lIull"!2. +-

2::

^N I ( u.,t./.,; )

I

^{2. I}

",=,1

Zu jeder positiven Zahl £ ergibt dieser Satz also die Existenz einer Bi linearform

(12 )

E.

^{N (u.,} t:.3.,,)( ^{17, c.J .... ) ,}

"=1

^{lA, IY e 'vi",7.. (I) ,}

Fur schwach konvergente Folgen in 'vJ^"WI,'2.(I) sind II-§l.;.(l) die folgenden Konvergenzaussagen aquivalent

(13) in in

fur ⁰⁰ und ⁵⁼0, ... , WI • Hieraus man, da13 die Bilinearform

in (12) vollstetig ist fur jedes e:-O auf 'vJWlI'2.(I) x\.J ....'7-(I), Mit Hilfe von Satz I-§2.3.(6) erbalt man daher den Satz

(14) Fur ein beschranktes offenes Intervall I : 1R.¹ ist das Skalar- produkt

r.,.)

vollstetig auf \,j"t'2.(Ih'v·j1I'2.(I)und damit die Kompaktbeits- bedingung (R) fur die Sobola.schen Rii.ume \.JiN','2.(I), rn 1,2,... /erfullt.

Unter dieser Voraussetzung gelten also die Satze und Ungleichungen aus Abschnitt II-§l.; in diesem Fall, insbesondere die Aussagen des Satzes von HELLICH die Ehrlingschen Ungleicbungen

Gema.13 Satz (9) ist jedes Element V.EW",,"2.(I), WIz -1, fast uberall gleich einer (m-l)-mal stetig differenzierbaren Funktion auf

I

Diese Funktion wird eindeutig durch das Element bestimmt, so da13 man Funktionswerte von lA beziehungsweise der Ablei tungen von

l.A. in

i

fur s=Of... /_-/f erklii.ren kann , Fur jedes beschra.nkte offene

Intervall (oJ?» s I und fur jedes ^XEo [o.,(3J s

I

gilt dann mit

)..=(3-0.

^>0

die Darstellung

(15)

>-

^u.(x)

S

^{u.(f:) cU}

c(

+ U W ....,LC!) /

fur Wl Z-1 und mit der Funktion (16) K(x,t)

=

t:>« ^I

Durch eine einfache Abschii.tzung folgt hieraus fur jedes !=

V)\

in

o Vb

^-Q. die Ungleichung

(17) E nrJ.u.

II

d-x ^{+ " /I}

e

^{u. II f}

und allgemeiner

(18)

I

olS':(x>l "

dX" ⁺

^'£ "

^II

U""'_1

fiir s=O, ..o,W1--1 und Wlz1. Auf Grund dieser Ungleichung (18) konnen wir den Satz aussprechen

(19) Das Diracsche Funktional mit

und seine Ableitungen ^2,/$)_><

(20) (_ 1 )S ^JSv.rA)(s (x ) t ^{i-<£IW/",,2(T)-L, .r}

definieren fur ,jedes

s=q

^{--Of ...}

-1

und ,jedes xE

I

lineare stetige Funktionale auf dem Sobolewschen Raum 'yJ1Nl/2. (I) .

1.2. Regulare koerzitive Randwertprobleme bei gewohnlichen Differentialgleichungen

Die allgemeine Tbeorie regularer koerzitiver Randwertprobleme solI nun auf Randwertaufgaben gewohnlicber Differentialgleicbungen angewandt werden. In diesem Abschnitt formulieren wir fur die betracb- teten Bilinearformen

b, R

die Voraussetzungen (Bl)-(B4») unter denen zum Beispiel der Hauptsatz 1-§3.1.(lO) tiber die Losbarkeit der Rand- wertaufgabe gilt. Mit der zusatzlichen Voraussetzung (B5) werden diese Randwertaufgaben regular, stark koerzitiv und symmetrisch, so dap die Entwicklungssatze aus Abscbnitt gtiltig sind. 1m FaIle von differenzierbaren Koeffizienten der Bilinearformen werden im nachsten Abschnitt die zu diesen Randwertaufgaben gehorenden Differentialglei- cbungen und Randbedingungen hergeleitet.

Sei wieder I s 11<'" ein offenes Intervall und \./"",2.(1) fur ""'2-1 der in Abschnitt 1.1 eingeftihrte Sobolewsche Raum fur Funktionen einer Veranderlichen. Gemap Abscbnitt II-§2.1. wird durcb die Vorscbrift

(1)

eine beschriinkte Bilinearform auf W....'..(I}xW...·'2II)definiert. wenn die Koeffi- zienten b.s_t e :B ( L'2.(I) ) ,also beschriinkte lineare Operatoren im

Hilbertscben Raum L2.(I) sind ftir 5,

t

0 I I WI • Wir betracbten im folgenden jedocb nur den Fall. dap die Operatoren h_st die Multi- plikation mit beschrankten mepbaren Funktionen bst auf I bedeuten,

bst .

LOOn), s,t=o,---,Yvl.

Mit Hilfe der in Abschnitt 1.1 eingeftibrten Funktionale

(2)

sei weiter fur ein endliches System von Punkten

»; , .--, XN E

I

eine Bilinearform erklart durcb

b'2.. (u.^Ilr )

s,t=o

fur U,LTE: WWI,'L(I) mit komplexen Zahlen (3sta-c als Koeffizienten. Auf

Grund von Ungleichung 1.1.(18) ist die Bilinearform beschrankt

auf w"",'2.(IlxW'",,'1.(I). Diese Bilinearform b2. ist ferner vollstetig,

• . (SI

da dIe Funktlonale&x sr konvergente Folge gilt

aus (^I_w^{1 ...},'l(_T»)

*

sind und somit fur jede schwach

in W""''2.(I)

fur ....eo und jedes 5=0'_"1",,-1/ IY=0,._.,N • Auf Grund von Satz I-§2.3.(9)

mit und H=W"",'2.(I) gibt es daher zu jedem £>0 eine positive

Zahl mit der Eigenschaft

I O_{2 ( ...)} I £ e 11^U II + (£) II u.1/2. , ^{U- w ...}·"2.(t)

,

"

Fur die spateren Uberlegungen fiihren wir noch die Bilinearformen

I 121 ein durch die Vorschrift

(6)

und

(7)

==

f

s,t=o

s,t⁼⁰

fur <.A,LT e

W...,....

(1) und mit Koeffizienten Cst

LO()(n,

ost/S"l: EtC fur

5,i=0, /WI, /:T,"'C=0, ._',N • Die Bi linearform k>1 ist wieder vollstetig auf

'v.jWl,'l(I)x

v'"?

(1»)und die Bilinearform 12.. wird Bach Satz II-§2.1.(23)

vollstetig, falls der Koeffizient e ...==0 und das Intervall I be- schrankt ist.

Fur die Elliptizitii.t der Bilinearform

b= b..,

+

b

1 hat man den fol- genden Satz.

(8)

r

ein beschranktes affenee Intervall und die Bilinear- form b=b,,+b-:l. gema@ (1). (3) erklii.rt mit Koeffizienten bst e Loo(I) / 5,t =0/ __ / "" • Dann ist b stark \.(M''1. (I}-elliptisch, genau wenn es eine posi tive Zahl

(3

gibt mit der Eigenschaft

fur fast aIle xe I .

Beweis. Satz 7) ist zunii.chst auf Grund von Ungleichung (5) die Bilinearform b^<:b,+b2- genau dann stark W"",'1.<I)_ellip_

tisch, wenn die Bilinearform diese Eigenschaft hat. Aus der Be- dingung (9) folgt weiter mit Hilfe von Satz II-§2.1.(29h angewandt

auf

b"

und fur V⁼ 1;./"",'1.(I),

b"

stark

W

""'1.(1)-elliptisch I st ,

Der Hauptteil hat hier die einfache Gestalt

(10) ( b

d"'.,..)

11 )( "" 1 ... !Ax'" ^{uI ..,.. E.}

W"'.

^{'l. (}

I ).

1st umgekehrt stark W...·'1.(I)-elliptisch, dann besteht eine Un-«

gleichung der Gestalt

(11 ) 'J:l.e b, (..,. ) ;;:

(3

11<r1/ - A 111.7 11² I

mit

r.,.o, ^A

^{Z 0 •} Hieraus folgt aber entsprechend wie in Satz 2.3.(16) eine Elliptizitii.tsbedingung fur den ftihrenden Koeffizienten b""m

was gerade die obige Ungleichung (9) ergibt.

Wir wollen jetzt mit den Bilinearformen b ^<: b"l + 6'1. ^I "'"

(1), (2), (6), (7) auf einem Teilraum Randwertauf- gaben der in 1-§3 angegebenen Gestalt betrachten. Gesucht sind dabei die Losungen ^o..rE.V der inhomogenen Gleichung

( I)

fur eine gegebene Zahl 2 C und ein Funktional

ie

V* • Die zu diesem

Randwertproblem gehorige Eigenwertaufgabe fragt nach den Eigenwerten und den zugehorigen Eigenlosungen uJ"e.

V

der Gleichung

(rr)

Fur den Hauptsatz stellen wir die folgenden Vorausset- zungen (Bl)-(B4) zusammen.

(m ) Es seien mit HUh von (I), (3),

(6), (7) erklart dureh

b :. b" + b,. ^I

Die Koeffizienten von b..I sollen beschrankte Funktionen auf I liein

5,i: :.0, "-J 1m I

fur die Koeffizienten von ^b7..1 k!'2. bzw. die Punkte x/T sei

fu

5It = 0, ... , .... - 1^J

(B2) Es Ii bt eine posi the Zahl

f3 '

so da@ fiir fast alle xsI gilt 'Re b.... "" (x ) z

(3

^::> 0 .

(B3) Das Intervall I s 1<'1 verschwindet,

ist beschrankt und· der Koeffizient c.""' ....

eM"" (x ) = 0 I kGI.

(B4) Es sei V ein abgeschlossener Teilraum von 'vJWl,'1.(I) und die Bilinearformen

b,

sollen der Bedingung geniigen

I "Re b(^\J")

I

+ I 'Re

R I

>0 I \J"40 0 I IreV.

Oben haben wir bereits festgestellt, unter den Voraussetzun- gen (Bl)-(B3) die Bilinearformen

b,

Bi linearform b Satz (8) stark

beschrankt sind, die W...,7.fI)-elliptisch und die Bilinearform vollstetig ist auf W"",'2.(I)x W....^,'2. (I) • Ferner 1st die

Kompaktheitsbedingung (R) erfullt und damit die Randwertaufgabe (I), (II) regular. Auf Grund von Voraussetzung (B4) gilt dann Satz II-§2.2.

(14) und die Ungleiehung II-§2.2.(21) mit

0;

^• Aus den Voraus- setzungen (B3), (B4) kann man wie in Satz 2.3.(16) zeigen, notwen-

dig 1<eb.....,(x)>0 fur fast aIle xsI' und auf Grund von (B2) a180

0

¹¹¹ >0

sein Folglieh besteht eine Vngleichung der Gestalt

(12) ..,.eV/

mit

fo>O,

A. reell, so die Randwertaufgabe (I), (II) stark koer-

zitiy ist. Die Anwendung von Satz I-§3.1.(IO) und von Satz I-§3.3.(15) fur H= V und E=I., V , der Identitat, ergibt damit den folgenden Hauptsatz.

(13) Vnter den Voraussetzungen (BI)-(B4) genugt die inhomogene Rand- wertaufgabe (I) fur jede komplexe Zahl der Fredholmschen Alter- native (s.I-S2.6.(2) mit a..=b-iFR ) •

.!.!!

^z, kein Eigenwert von (I), (II), dann hangt die eindeutig bestimmte Losung von (I) fur jede reehte Sei te stetig von J.. V* ab , Die Eie:enwerte der Randwertaufgabe (I), (II) haben endliehe Vielfachheit und bilden eine hochstens abzahlbar unendliche Folge, die keinen Haufungspunkt im Endlichen besitzt.

In Abschnitt I-§3.4 haben wir Rand- und Eigenwertaufgaben fur symmetrische Bilinearformen betrachtet. Die folgende Bedingung (B5) ist hinreiehend dafur, die hier betrachteten Bilinearformen hi k und damit die Randwertaufgaben (I), (II) symmetrisch werden.

(B5) FUr die Koeffizienten von b_{1 1} k₁

!!!.

(1), (6) sei

5,teo, -__, m^I fur fast aIle x eI J und fur die Koeffiziente!!...!:..2!!. ^b"2.1 I?..

!!!.

(3), (7)

!.!:!!: s,t =

0,., , ""',

[3tS1:.^t:r I

t:r,1: '" 0, "', tV •

Unter den Voraussetzungen (BI)-(B5) ist folglich das Randwertproblem (I), (II) regular, stark koerzitiv und symmetrisch, so die Entwick- lung.satze (15),

(27), (32)

aus

1-93.4

gelten. Unter geeigneten zu- satzlichen Bedingungen wird die Bilinearform positiv bzw. strikt positiv auf dem Teilraum V , so auch die tibrigen Aussagen in Ab- schnitt I-§3.4 anwendbar werden. Zum Beispiel ist

R

unter der Be- dingung (B5) auf

v->

⁽¹⁾ positiv, wenn gilt

(14)

und

L ...

^{c.st{X) 'at z 0 I}

.s,t:o

)(6I I

(15)

•

L

N

eo, z 0 I t = ( , ^._-}

WI ( N+-1) • Setzt man in (g) nelich ftir &5 die Ableitungen

)(61, ⁵⁼0, ..., ""'/ ftir u.. W",,'2.(I) und integriert tiber I::: (a..,b) ^I mit

J..

J;;sJSu.(x),

so folgt ^LR"⁽u..^{) 0} , ^{" \ , ...,2 (1 )} • Entsprechend man

1.3. Der zugehorige Differentialoperator, erzwungene und nattirliche Randbedingungen

Das Studium der Rand- und Eigenwertaufgabe in Abschnitt 1.2 ist ohne die in I-§3.1 eingeftihrte,detailliertere Theorie jedoch noch un-

vollstandig. Die Theorie aus den Abschnitten I-§3.1, 3.2 solI daher

auf die in Abschnitt 1.2 betrachtete Randwertaufgabe bei gewohnlichen Differentialgleichungen angewandt werden. Die Operatoren bzw.

AC21E ergeben dabei die zu diesem Randwertproblem gehorigen Differentialoperatoren 2m-ter Ordnung, deren Definitionsbereich durch die erzwungenen bzw. wesentlichen einerseits und die nattirlichen oder restlichen Randbedingungen andererseits charakteri- siert wird. Satz (39) aus Abschnitt I-§3.2 ergibt unter den Voraussetzungen (Bl)-(B4). (Cl), (C2) den Hauptsatz tiber die Los- barkeit und die Eigenwerte dieser regularen Randwertaufgabe gewohn- licher Differentialgleicbungen 2m-ter Ordnung mit einem Differential- operator (2m-l)-ter Ordnung im Eigenwertterm sowie im allgemeinen yom Eigenwertparameter abbangigen Randbedingungen.

Wir kntipfen an die Ausftihrungen und Bezeicbnungen in Abscbnitt 1.2 an. Dabei sollen im folgenden tiber die Voraussetzungen (BI)-(BIt) bin- aus die beiden weiteren Bedingungen gestellt werden.

5Vt

seien stetig diffe- (CI) Die Koeffizienten der Bilinearformen b_^I 1e₁

renzierbar auf

I '"

[CI.,b] gema!3 b_st ^I Cst ^E C^5vt [o.lb]

(C2) Der Teilraum V gentige der Relation

und es sei

(Sl t) I 51t

=

0,... ,W'l •

N = 1.

linter der Voraussetzung (Cl) kann man den Bilinearformen b_,

R

1 die Differentialoperatoren

M

_I

N

zuordnen durch die Vorschrift

(1) ^MIA

NlJ.

furl.t£OW²...,7..CI ) . UnterdenVoraussetzungen (B2), (B3) ist M einOperator 2m-ter Ordnung.

N

ein Operator (2m-I)-ter Ordnung und der Operator

(2)

= ^Mu.-

^i!!fNv..

fur UofiW²""" (I) ein Operator 2m-ter Ordnung mit den Koeffizienten

(3) _i!!feC, s,t=O""m,

und dem fUhrenden Koeffizienten el ... ..., =- b...,,,,, im Hauptteil. Es seien weiter

M,N, Ui!)=M-z-N

die zu M,N, ^Lc2) formal adjungierten Opera- toren, also zum Beispiel

(4) L(c) u,

fur u a \J'2"",'2.(1) • Mit Hilh dieser Operatoren erhilt man durch par-

tielle Integration die Gleichung

( ....

I ...,...) '"

b( ....,

IT) - Z (u.1I.r)

fur Ll..eC:O(I), v-e\J'l....''2.(I) • da fur die Bilinearformen

b

_{20 1} unter der Voraussetzung (C2) offenbar gilt

(6) _{bL (u. \u- ) "" k}2.(u ro-) '"0 u e COO CI )⁰ I v-e w,,,",'2.(1).

Die Operatoren L(c),LC2) in (2),

(%)

lassen sich mit Hilfe der Leib- nizschen Regel in die Gestalt bringen

M ... -:eN ....

''''' _L

S=O

mi t Koeffizienten o.s E C[0.,b1 fur 5=0 I ",,2\111 und dem fuhrenden Koeffi- zienten 0.'2....,

=

Q. ...= b...,,,,, nach Voraussetzung (B3). Eine entsprecbende Darstellung erhilt man fur den Operator Leil):

M-z N

mit Koeffizienten

r1"s e

C [o.,b] fur 5:0""12M und dem fuhrenden Koeffizienten

0...

2 ... :: Cl""""= b"" .... Die Operatoren L(2), Lce ) haben also die in Abscbnitt

11-§2.j betrachtete Gestalt und definieren beschrankte lineare Abbil- dungen von W2._,'2.

(n

in

C- r r

i.

Fur unsere Uberlegungen benotigen wir noch den folgenden Differenzierbarkeitssatz.

(8) Es seien lA.E I,./W1,'2.CI) und

fe

^L'2(I) zwei Funktionen mit der Eigen- schaft

be

(f' "'- )

ee b (

v,

u ] - k (

f,

LA.) = ('f,

f ) ,

Unter den Voraussetzungen (Bl)-(B3), (cr) ist dann ... e 1,./...''2.(1) L^{(i!) u,} =

f "

1m an die Darstellungssatze in den Abschnitten 1-§3.1,3.2 sollen nun die zu dem hier betrachteten Randwertproblem mit der Bi- linearform b'i!-

=

b -

z

k gehbr-enden Operatoren

geben werden. Dazu setzen wir

bzw. ange-

H = L'2 ( I) ,

mi t dem Operator"} der nat.tir Id chen Einbettung von

\../""''2.

(I) in L'2 (I) .

Fur den in Voraussetzung (B4) bzw. (C2) genannten abgeschlossenen Teilraum V'= \J ...^,'2.(I) ist dann (,/,)I (.'·)V=(T)... und die Bedingung (H) aus Abschnitt I-gj.l erfullt. Fur diesen Operator

E=}

der natur- lichen Einbettung ist der Nullraum N(E)={o}, so die Voraus- setzung 1-83.2.(17), (19) fur die Existenz der Operatoren A ^I

A

trivialerweise erfullt ist. Unter den Bedingungen (Bl)-(B3) wird die Bilinearform R vollstetig auf V>< V , so nach Satz 1-§2.3.(9)

mit = ("/,) die Ungleichung gilt

(10) I ^R(Ir) I f E. 1Il.T1I,...^"2- .. -sc(s ) II\71j'2· / l;t-E

V ,

und damit die Bedingung (K) aus Abschnitt 1-83.2 gultig ist. Nach Satz 1-§3.2.(27) existieren dann fur jede komplexe Zahl die Opera-

-- *

toren Die Operatoren A(ii!':) uod mit den

Defini tionsbereichenJ)CTIc) uod unterscheiden sich hier nur um den Operator der na.t tir l Lchen Einbettuog ]-: I.,.;v",'1..CI)-I1>c-(1). Daher bestehen die Tei lraume DCT<cl) uod:DCACe)) aus derselbeo Meoge von Funktiooen, die einmal als Teilraum 1)(Tra i) des Hilbertscben Raumes

W"","1CI) und das andere Mal als Teilraum 1)CA{;n) des Hilbertschen Raumes L"1CI) werden. Fur jede komplexe Zahl & ist folglich

(11 )

sowie

(12)

fur feV, ^U.e 1)(Ace» • Nach Voraussetzuog (C2) ist der Teilraum C:'CI) s V • so da[3 jede Funktioo ¹⁴S 1)( A<i!») Lo sung der Gleichung

b_{r (}

'PI

LA..)

=

('PI

f) ^I

. .e

A ' ( ) (n

L

f

ml t I" (2)U. W1rd. Nach Satz 8 i st dann u.S uod u,

=

^I

also

(13) A(i!} u. =: Lc z!) u. I

"

Die folgenden Uberlegungen dienen als Vorbereitung fur die Her- lei tung der Randbedingungen, durch die der Defini tionsbereich D(ACi!))

io

'v../

¹...,"2.(I) defioiert ist. Sei s eioe nat.tir Li che Zahl und U ein

abgeschlossener linearer Teilraum des Sobolewscbeo Raumes 'yJs,2(IL

Dann bezeichnen wir mit Ul. das Orthogonalkomplemeot von LA in \Js,2.(l)*, also den Teilraum der linearen stetigen Funktionale auf

'vi

s,2 ( I ) mit

(H)

J

(l)..) = 0 I U. s U } .

Fur einen abgeschlossenen Teilraum LA eines Hilbertschen Raumes ist stets LA.1...1..

=

U , also mit (IIi) auch

(15)

u..

^{{ u. e \,Js.z (I)}

^I

,eru.} = 0 Je UJ.}.

Satz

1.1.(19)

sind die Diracschen Funktionale mit ihren Ableitungen vs,L(I)llC fur

X"E:I

^I k=O, .._, .1-1 • Mit Hilfe von Un- gleichung

1.1.(18)

erhalt man, diese Funktionale fur

aus dem Orthogonalkomplement sind. Daruberhinaus hat man den Satz

(16) Der Teilraum

'W.

^S:2

(I) 1. 1,J5,L(I)* ist ein 1.S-dimensionaler

(s-./J (S--o

Teilraum, der von den Funktionalen So..1-'-'.s0- / --,'sb aufgespannt wird,

(s--f) 0- 4) ]

[ I ..- I &0. , ^{bI ••• , b .}

Mit Hilfe diesea Satzes sich nun auch die Bedeutung der Voraussetzung (C2) im Hinblick auf die Frage nach Randbedingungen sichtbar machen. Aua der Vorauasetzung (C2) folgt namlich fur die

Orthogonalkomplemente und yl in W....,<-(l)lI' die Relation ( 17)

so V1. ein abgeachlossener Teilraum des 2m-dimensional en Teil-

raumes

V *' ^W

^{VVl,2(1) ist,} es daher ein

System von linear unabhii.ngigen Elementen ^I"R.... mit -16'1"' 6 2m geben, die den Teilraum von aufspannen,

(18) [ , 1<..,..

.l .

Falls V

=

W ...,'2(I) , also Vi ,,{0") ist, setzen wir ^-r:'"0 • Die sind auf Grund von (16), (17) eine Linearkombination von

komplexe Zahlen ^{OI.J<r I}

f!1S'

Eigenschaft

S ,("'--1}

u-, --. , 0,,- I , so es

gibt mit der

(19)

oder

= +

(20)

^{u s}V".,;'- (1).

Damit haben wir das Resultat

(21) Jeder abgeschlossene Teilraum V .!.!!.!! W,,",'J.(I) mit

\,J^{0 '"'}'2. ( I) " V !; IyJ'",2. (I)

wird durch ein System von Randbedingungen mittR" ^I g=1J""'V' gemal3 (19).

(20)

definiert in der Gestalt

(22) ^{y ,. {}

^{u.. E} 'W "'"':l.

(I ) o

'j:"', ...

,¥' !.

In (13) haben wir bereits festgestellt. dap fur den Definitions- bereich des Operators

A(z) u, LCi!)U.

Die Funktionale 'R$£ 'WWt,'"l.("1)* definieren in natUrlicher Weise lineare etetige Funktionale aua \J2.",,'"l.fI)*^I da \,/2,,",'2. fI) "" ...,'2. (1) und

!Iv-U"" fllu.II'M fUr U.E W2....'2.(I) ist. Dabei folgt aue "RgE l,./o"","tfI)l auch 'Roy EO

W.

²",,'t (l ) 1 • Mit den Funktionalen

'Py, 5'=",...,..,...,

wird somit ein System von Randbedingungen auf dem Teilraum W?....,'2. (I) erklart. die sogenannten erzwungenen oder wesentlichen Randbedingungen. Weiter er- hal t man mit Hilfe der Bilinearform b -'2

Ie

und dee zugehorigen Operators LCe:) aus (2) eofort den Satz

(24) FUr jedea f ^£

'W ....

,"t(r) wird ein Funktiona!

£ \..,{l,,",2 CI ) .l s W²"", '2. ( I ) -II- durch die Vorschrift definiert

Fu^{" r} jede s ^ID_I e \w,,,,,'Zo(!).glbt es nam lCl' h elne. Konstante C = (()f ml"t der Eigenschaft

(25)

und durch partielle Integration folgt

(26) \A.6

c.': (

^{I) f}

Die Funktionale

1<'"

I 'P6V • sind demnach aus W}·"..·'l.(I)J.. und gestatten nach Satz (16) die Darstellung

oder

(28) ')<I'f' (u. )

Funktionalen 1<'." 1

If'"

V kann es jedoch Satz (16) hdcha t.errs 4-m linear unabhangige geben. Damit gilt fur den durch (11), (12) definierten Operator A(z}

Satz

bzw. seinen Definitionsbereich der

(29) Eine Funktion u. ist genau dann im Defini tionsbereich 1)(A(i!» I

U e

W

2 "'" ,2 (I) ist und gema@ (22), (2,.) den erzwungenen oder

wesentlichen Randbedingungen genugt

(30) J ,.,1, -.1--r I

sowie den restlichen oder naturlichen Randbedingungen

(31)

r- v.

Der Operator A(2) hat die Darstellung

(32) ^A(1!!)u Lee' u. Mu - z Nu. ^I

Beweis. Fur u.e:D(Al"lI11) ist (13) also

l.( V,, \,i -....

^·7.(I)J die Funktion

u. genugt der Gleichung (32) und befriedigt die Randbedingungen (30).

Auf Grund von (13) ist ACe)u.= L(e)u. , also

0, 'f'EV.

Wenn umgekehrt lAe. W':1.""''1.CI) den Handbedingungen (:;0), (:;1) geniigt.

dann ist mit aueh lAe.V und mit Hilfe von (31) wird

= I

('fl LCe)u-)\ £: C 0'1'11 , 'fI£V 1

fur C = QUr)...,..h • so ITe '])( ist. erhii.lt man

aus (12) und (31) die Beziehung

('I'I ACi!)u.) = ('('I LCi!)u.),

'feV,

U.£'D(Acin).

Da der Teilraum V dieht in

L.:

(I) Lst , fo1gt hieraus die Gleichung (32) •

Zum dieses Abschnitts konnen wir den Hauptsatz I-§3.2.(39) auf diese Randwertaufgabe fiir den Operator LCe)== M - ^2" N im Defini- tionsbereich 'D( ACin) anwenden. Unter den Voraussetzungen (B1)-(B4) ist die Randwertaufgabe 1.2.(1), (II) regular und koerzitiv. die Be- dingungen(H), (K) sind erfii1lt und unter den zusatz1ichen Vorausset- zungen (CI). (C2) hat der Operator At?) die Darste11ung (29) sowie der adjungierte Operator die Darste11ung

LCc) IT

Eine Funktion ^IT ist im Defini tionsbereich

=1>(

ca») ,genau

·_e"2....''2.(I)

wenn w ist. den erzwungenen oder wesentlichen Randbedin- gungen irEV bzw.

und den restliehen oder naturlichen Randbedingungen

geniigt. Der Hauptsatz fur das bier betrachtete Randwertprob1em 1autet dann

(36) Unter den Voraussetzungen (Bl)-(B4), (CI), (C2) geniigen fiir jede

komplexe Zahl und ,iedes

f,}

^IS

^L:

⁽¹⁾ die beiden zueinander ad,iungierten, inhomogenen Randwertaufgaben

(37) Mu.. - r Nu.. ₌

f

^{1 ( ...) = 0 1}

^1<'

_'f' ^{Iv...) =0 I}

(38) Mo- -

No-

⁼

_}I (.,.)

== 0 I (\7) ⁼⁰ _I

lli

^{'fe V} und u.,O"" \,.P·",,'1.fI) der Fredholmschen Alternative.

Diese Gleichungen sind daher genau dann fur jedes

f, }- l!

(I)

eindeutig und stetig losbar, wenn kein Eigenwert der Aufgabe

beziehungsweise kein Eigenwert der ad,iungierten Aufgabe (If0)

"t W"l",,"lCI)

.!!!... und fur

g=1,-..,...

^I 'f E

V

^I ist. Die Eigenwerte dieser beiden Randwertaufgaben haben dieselbe endliche Vielfachheit und bilden eine bochstens abzablbar unendlicbe die keinen punkt im Endlichen besitzt.

1.1f. Regulare koerzitive Operatoren und Randwertaufgaben fur gewobnlicbe Differentialgleichungen

Mit Hilfe der in Abschnitt I-§3.5, 11-§2.3 entwickelten Theorie regularer koerzitiver Operatoren bekommt man einen etwas anderen Zugang zur Bebandlung von Randwertaufgaben bei gewohnlichen Differen- tialgleichungen, als dies oben mit der "Bilinearformentheorie" ausge- ftihrt worden ist. Unter den Voraussetzungen (AI)-(A3) erhalten wir

wohlbekannte Ergebnisse aus der Theorie regularer wertaufgaben fur gewohnliche Differentialgleichungen ... -ter Ordnung.

Aus Satz 11-82.3.(19) folgt die normale Losbarkeit der Randwertauf-

gabe. Der zugehorige Differentialoperator wird mit Hilfe voo Satz II-§2.3(22) geoau daon regular und koerzitiv. wenD die Anzahl N der linear unabhangigen Randbedinguogen gleich der Ordnung der Diffe- rentialgleichuog ist und fur wenigstens eine komplexe Zahl die zugehorige homogene Gleichung nur die triviale Losuog besitzt. Unter diesen Bediogungen gelten dann die Hauptsatze I-§3.5.(29), (32) uber die Existeoz und Vollstetigkeit des Greeoschen Operators, die Losbar- keit der Randwertaufgabe und die Folge der Eigenwerte.

Auf dem Sobolewschen Raum (I) , V' 1 , fUr ein offenes Inter- vall I

''R''

sollen regulare koerzi tive Operatoren im Sinne von Abschni tt

II-§2.3 betrachtet werden der Gestalt

(I)

LI.t

mit beschrankten Fuoktionen as auf dem Invervall I als Koeffizieoten, asE

L"'"

(I), s'=0, ... ,"'" • Einem Operator dieser Form kaon man die Bilinearform b zuordnen mit

(2)

( Lu , L..,..)

und den Koeffizieoten

Der Operator

L

ist Definition II-§2.3.(7) genau dann

I'

elliptisch, wenn die Bilinearform b stark wird.

Mit Hilfe von Satz 1.2. (8) folgt hieraus uomittelbar der Satz

(,.) .§!i

I

s 'R;f ein beschranktes Intervall und sei der Operator

L

(I) definiert mit Koeffizienten Q.sE. LD()(I) ^I s= O, ...,-r •

.Q!!

Operator L ist dann

W...

·'2.\I)...elliptisch. genau wenn es eine positive gibt mit der Eigenschaft

fur fast alle XE.I.

In Satz

1.1.(19)

haben wir gezeigt, die Diracschen Funk- tionale oS It)

l< aus ""...,'2(1) sind fur t=o, ...,"'--",

l<eI.

Damit wird fur ein

beschranktes Intervall 1= durch die Vorschrift

(6) ^...--1

L

^{(c(st 00.cIt) + pst} 'i>p^ttl ) ^I

t·o

mit einer natiirlicben Zahl

N

und mit komplexen Zahlen

pst

^ein

System von Funktionalen tR.s^E 'W..,..,"2 (I)If- erklii.rt fur se-1, ... , N • Mit diesen Funktionalen erhii.lt man ein System von homogenen Randbedingungen fur Funktionen aus dem Sobolewschen Raum \,./"'"''2.(I) in der Form

fur ...,N• Jede Funktion IT aus dem TeHraum 'Wo...."l.(I) ist Limes einer Folge von Testfunktionen 'Pj E.

C:

^{(I) I}

(8) 'f'} IT in \"r,'2.(I) (J_oo).

Da die Funktionale 'R_s stetig auf W'l'",'2(I) sind, hieraus

Somit hat man den Satz

'" 0 ^s" 1, ..., N.

(10)

Durch Randbedingungen der Gestalt

(7)

wird ein abgeschlossener Teilraum V s \.1 ...^'2.(I) definiert.

(11)

v

Diescr Teilraum genugt der Relation (12)

Fur einen Operator L der Gestalt (1), welcher der Bedingung (5) genugt und den Definitionsbereich :J)(L) = V gema13 (11) hat, sind also die Voraussetzungen der Hauptsatze (19), (22) aus Abschnitt II-§2.3.

erfullt. In diesen Sat ze n wird jedoch von dem zu 1- adjungierten Operator

L*

Gebrauch Vnter geeigneten hinreichenden Be- dingungen ist der Operator

L!

wieder ein Differentialoperator der Gestalt (1) und der Definitionsbereich

D( L*)

ein Teilraum von \.J"r.'2CT)I

der durch Randbedingungen der Form (7) definiert wird. Von nun ab machen wir daher die folgenden Voraussetzungen (Al)-(Aj):

(AI) Sei 1= (a.,b) !O fR'1 ein beschranktes offenes Intervall und der Operator L durch (I) erkHirt mit s-mal stetig differenzierbaren Koeffizienten a.s

I",

[a,b],

0.S E C S [0.^Ib 1 ^{I S}-= 0, .. _,-r .

(A2) Der fuhrende Koeffizient gentige der Bedingung

0. ...(x) '" 0 j Xl:[o.,bJ.

'R

^{$(I.<) = 0, ''''}1, ...,N

1}

(A3) Der Defini tionsbereich D(L)

W'",'2a)

des Operators L sei erkllirt durch ein System linear unabhiingiger Funktionale 'R s ^I s=1, ... , W, der Gestalt

(6»)

D(L) ... {u. e. wv-"(l}

beziehungsweise im Fall N-=O

1)(L) I,.jv,:l. cr) .

Unter den Bedingungen (Al)-(A3) sind insbesondere die Voraus- setzungen der Sitze (4) und (10) erftillt. Mit der Voraussetzung (AI) existiert ferner der formal adjungierte Operator

I

(13) LIT

Dieser Operator

I

lii13t sich auch in der Gestalt (1) achre.Lben , (14)

mit den Koeffizienten

(15) ^{0.Jt-s -Qt} _e

C

^S

I

^Q.,

b 1,

.s = 0, .."v-.

Die Operatoren

L,I

bilden ein Paar adjungierter Operatoren im Sinne von II-Sl.l mit H= C:'(I),

H"=

L1.(I)und der Eigenschaft

(16)

Damit gilt der folgende Satz tiber die Differenzierbarkeit schwacher Losungen der G1eichung

I

u. '" "'.

(17) Es sden ....^1o- zwei Funktionen aus LL(I) , die der Gleichung geniigen

(18)

Unter den Bedingungen (Al),(A2) ist dann U.E1.J"i'L(I)

Iu...

^{= tr.}

Der Definitionsbereich des adjungierten Operators L¹ besteht aus allen Elementen ^t..le

L< (Il,

fur die ein

L'2.

(I) existiert mit

Fur den Definitionsbereich DIL) gilt auf Grund von Voraussetzung (A3) die Relation (12), so insbesondere der Teilraum der Test- funktionen C: (I) in D(l) enthalten ist. Mit Hilfe von Satz (17) folgt dann ....£ W...,(1), LLL= o- ,und dieses ist gleichbedeutend mit der Aussage

Dr!!)

^{G WV"''2. ( I )} 1 u..e:D(l!).

Auf Grund von Satz 1.1.(9) sind die Funktionen aus 'w'V"£(I) stets r-mal differenzierbar mit stetigen Ableitungen bis zur Ordnung r-l.

Damit erhilt man aus der Theorie der Randwertaufgaben bei gewohnlichen Differentialgleichungen (s. KAMKE [2J, Nr. 120) den Satz

(20) Mit Hilfe des Operators L in (14), (15) hat der ad,iungierte Operator L* die Form

(21)

Es gibt ein System adjungierter Randbedingungen mit linear unabhingi- F kt . 1

m*

e \rr,' (I )¥

Ben un lona w der Gestalt

(22)

(..,..) t:

^{(_'fA)t ( Ii.'II-st dtu-rJ.)(t (CL) t-}

(3*

^{st d\,.Jxt} ( })^{b ,}

U'"E: \./ ....,'1(1), fur 5=:1₁' '' 1 2v-- N , so der Definitionsbereich

D( Llt-) lautet

s

=

AI' , 2..,.-N } .

Dieser Satz zeigt, der Operator

L*

in 1)(L*) " W ....,'2 (I) wieder die Gestalt (I) hat und ebenfalls den Voraussetzungen (Al)-(A3) genugt. AU8 der Darstellung (15) liest man ab, die Koeffizienten

bs ^{EO CS[Q.Ib}

1

sind fur s^=: 0,'''1 -r • Der fuhrende Koeffizient fur den

Operator

!!

ist b"..^'= Q...- und mit 0.".. =I:0 ist auch b.".

*

^{0 in}

r

^'=[ct,bJ.

genugt der Definitionabereich

DcL!)

aus (23) wieder der Bedingung (A3). so die Satze (4). (10) entsprechend fur lund

DCI!)

gelten. Damit sind die Voraussetzungen von Satz

fur

L

und erfullt und dieser Satz ergibt die aus der Theorie der Randwertaufgaben bei gewohnlicben Differentialgleichungen bekannte Aussage (s. KAMKE [2]. Nr , 120).

(24) Unter den Voraussetzungen (Al)-(A3) sind fur jede komplexe Zahl die Operatoren ^{l(i!) ,} Lci!l mi t

Lu - ^li!t.(., L^{Ci!1if IY}

=

^{I l l - -L- l.1" - i! o- I}

fur ^u, DCL)I lJ"" DC L¥) • normal losbar und die Nullraume von

LCi!)ILCin*endlichdimensional.

Bezeicbnen wir die Dimensionen der Nullraume von LCi!)I Lcz)*mit

)I(i!)I "/Ci!) I

(25)

dann bestebt zwischen diesen Zahlen. der Ordnung des Differential- operators und der Anzahl N der linear unabbangigen Randbedingungen fur DIL) die Gleichung (s. KAMKE [2]. Nr. 120)

(26) ^{Y(t!) +} tV -.."

Falls die Anzabl der linear unabhangigen Randbedingungen

N

fur

D(l)

gleich der Ordnung des Operators ist. dann wird auch die Anzahl

l..,.. - N der linear unabhangigen Randbedingungen fur

Dr L* )

glei cb

-r und es gilt

(27) tV

Wie man mit Hilfe der Beziehung (26) leicbt einsiebt, kann man dann Satz 11-92.3.(22) die Gestalt geben

(28) Unter den Voraussetzungen (AI)-{A3) ist der Operator

L

:DCL) ^!,;

e

^CI) genau dann regular und koerzi tiv, wenn N

=..,.

^ist

und es eine komplexe Zahl ^Eo gibt mit ⁾¹⁽²0 ) = 0 J

N

=..,..,

Sind diese Voraussetzungen erftillt, so ist der Operator

L

in

n<L)

regular und koerzitiv, und der Hauptsatz I-§3.5.(32) auf diesen Operator anwendbar. Damit wird

L

Fredholmsch (s. I-§3.5.(31», also insbesondere fiir jedes

f

^{E L:CI)} die Gleichung

(30) =

f

mit l.l

enCL)

eindeutig und stetig losbar, genau wenn die zugehorige homogene Gleichung

nur die triviale Ldaung IT= 0 in 'D(L) besi tzt. In diesem FaIle ist 2!e.s-CL), der Resolventenmenge von L , und der Greensche Operator, das ist die Resolvente 1Hz,L) = (L_i!I)--t,

existiert und ist vollstetig (Satz I-§3.5.(29». Das Spektrum

0- (L) =

C s(

^L) des Operators L besteht aus Eigenwerten endlicher Vielfachheit und diese bilden eine hochstens abzahlbar unendliche Folge, welche keinen Haufungspunkt im Endlichen besitzt.