Martin-Luther-Universit ¨at Halle-Wittenberg Fachbereich Mathematik und Informatik Institut f ¨ur Numerische Mathematik Prof. Dr. M. Arnold und Dr. A. Gerisch Wintersemester 2004/05
6. ¨ Ubungsblatt zum Modul M2
” Theorie und Numerik gew ¨ohnlicher Differentialgleichungen“
Abgabe der L ¨osungen: 11.01.2005 vor Beginn der Vorlesung
Weitere Infos im Netz: www.mathematik.uni-halle.de/ arnold/courses/WiS04.m2/
Aufgabe 6.1. [Inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem]
Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung von
Hinweis: Verwenden Sie die L¨osungsmatrix des zugeh¨origen homogenen Systems und die hieraus abgeleitete allgemeine L¨osungsdarstellung des inhomogenen Systems (vgl. Bem. 6.4c):
mit einem beliebigen Vektor
Das homogene System hat eine L¨osung mit . Eine zweite L¨osung des homogenen Systems erh¨alt man wegen
aus dem L¨osungsansatz
!"
#
! "
#
mit geeigneten Parametern !"
Aufgabe 6.2. [Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten]
(a) L¨osen Sie das Anfangswertproblem $ zu
%
(b) L¨osen Sie das Anfangswertproblem $ $ zu
#
#
#
&
#
(c) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem zu folgendem homogenen linearen System gew¨ohn- licher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (vgl. ¨Ubungsaufgabe 5.4a):
'
mit ' ()
$ $
$
*
+
,
Aufgabe 6.3. [System gew ¨ohnlicher Differentialgleichungen 2. Ordnung]
Berechnen Sie zu vorgegebenem ! die L¨osung des Anfangswertpro- blems
$
$
$
$
% !
$
$
f¨ur das homogene System gew¨ohnlicher Differentialgleichungen 2. Ordnung
&
$
&
$
Aufgabe 6.4. [Halbhomogene Randwertprobleme f ¨ur Differentialgleichungen 2. Ordnung]
Geben Sie s¨amtliche L¨osungen der folgenden halbhomogenen Randwertprobleme an:
(a) $
$
,
(b) $ $$ $,
(c) $ $$ $,
(d) $
$
$
$,
(e) $ $ .
Aufgabe 6.5. [Inhomogene Randwertprobleme]
(a) L¨osen Sie das Randwertproblem
%& &
*
$
$
&
*
Ermitteln Sie hierzu zun¨achst die allgemeine L¨osung der inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung und bestimmen Sie anschließend die dabei auftretenden frei w¨ahlbaren Konstan- ten so, dass die Randbedingungen erf¨ullt sind.
(b) F¨ur welche hat das Randwertproblem
%
$
$
$
reelle L¨osungen? Geben Sie f¨ur diese die reellen L¨osungen an.
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