Einf¨ uhrung in die Allgemeine Relativit¨ atstheorie

Dr. Oliver B¨ar WS 2009/10

Einf¨ uhrung in die Allgemeine Relativit¨ atstheorie

Ubungsblatt 7 ¨

Ubung 7.1:¨ In Anwesenheit eines Gravitationsfeldes lautet die Wirkung des elektromagnetischen Feldes S =R

d⁴xL_EM, wobei L_EM = −1

4

√gF_µνF^µν = −1 4

√gg^µρg^νσF_µνF_ρσ

und √

g =p

−det(gµν).

a) Berechnen Sie den Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes, T_µν = − 2

√g δL_EM

δg^µν . Hinweis: Verwenden (und zeigen) Sie

δ√ g

δg^µν = −1 2

√gg_µν.

b) Der kanonische Energie-Impuls-Tensor θ_µν ist definiert durch θ_µν = g_µνL_EM− ∂L_EM

∂(∂^µA^λ)∂_νA^λ.

Berechnen Sie θ_µν und vergleichen Sie mit dem Ergebnis f¨urT_µν.

Ubung 7.2:¨ Die Einsteinschen Feldgleichungen mit kosmologischer Konstan- te Λ lauten

Rµν −1

2gµνR+ Λgµν = κTµν, κ = 8πG

c⁴ . (1)

a) Wiederholen Sie die Schritte aus der VL und zeigen Sie, dass Gleichung (1) in der nichtrelativistischen N¨aherung auf die modifizierte Poissongleichung

∆φ = 4πGρ−Λc² (2)

1

f¨uhrt.

b) Zeigen Sie, dass diese Gleichung f¨ur ρ= 0 (Vakuum) die L¨osung φ(~r) = −c²Λ

6 |~r|²

besitzt (mit Wahl φ(0) = 0 f¨ur die Integrationskonstante). Welche Kraft ¨ubt ein solches Potential auf einen Testk¨orper der Masse m aus?

c) Die Umlaufdauern der Planeten im Sonnensystem sind sehr genau gemes- sen und stimmen gut mit der Vorhersage der Newtonschen Mechanik ¨uberein.

Diese Messungen liefern somit eine obere Schranke f¨ur Λ:

Berechnen Sie f¨ur kreisf¨ormige Planetenorbits die Umlaufdauern TΛ und T0, die aus (2) mit Λ 6= 0 und Λ = 0 folgen. Finden Sie eine Formel f¨ur die relative Abweichung R_T =|T_Λ−T₀|/T₀. Sch¨atzen Sie R_T aus den Daten f¨ur den Zwergplaneten Pluto ab (Umlaufradius = 6×10¹⁴cm, Sonnenmasse = 2×10³³g).

Ubung 7.3:¨ Gehen Sie von der Standardform der Schwarzschildmetrik aus und f¨uhren Sie die Transformation

r =

1 + r_S 4r

2

r

durch, und zeigen Sie, dass dies auf ds² = −

1− ^r_4r^S 1 + ^r_4r^S

2

c²dt²+

1 + r_S 4r

4h

dr²+r²dΩ i

,

f¨uhrt, die sogenannte isotropische Form der Schwarzschildmetrik. Ist diese Form divergent f¨ur r→r_S?

Ubung 7.4:¨ Bei der Herleitung der Schwarzschildmetrik sind wir in der VL von einer verschwindenden kosmologischen Konstanten ausgegangen. F¨ur den Fall Λ6= 0 gilt es die Gleichung

R_µν = Λg_µν

mit dem allgemein kugelsymmetrischen Ansatz zu l¨osen. Zeigen Sie, dass dies auf die modifizierte Schwarzschildmetrik

ds² = −

1− r_S

r − Λr² 3

c²dt²+

1−r_S

r − Λr² 3

−1

dr²+r²dΩ² (3) f¨uhrt.

2