1 6 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
6.1 Der Schwingkreis
Maschenregel, ohne äußere Spannungsversorgung:
1 0 0
0
C I I R I L
C I Q R I L
U U
UL R C
Differenzialgleichung. Allgemeiner Lösungsansatz (A und l können komplexe Zahlen sein):
t A t
A t I
C L L
R L
R C
L L
R
t C A
t A
R t A
L
t A
t I
l
l l
l l
l l
l
l
exp exp
) (
1 2 4
1 0
0 1 exp
exp exp
exp )
(
2 1
2 2 2
, 1 2
2
1) Gedämpfte Schwingung (A)
2) Aperiodischer Grenzfall (B)
3) Kriechfall (C)
2 2
2 1
2
4 1
i exp i
exp exp
) (
i /
4
L R C L
t A
t A
t t
I
C L R
R
t I t I t
t I
C L R
0 0
2
1 exp
) (
/ 4
cosh sinh für 0 exp
) (
i /
4
0 0
2
I t
t t
I t I
C L R
... analog zu mechanischen Schwingungen - erzwungene Schwingungen
- gekoppelte Schwingungen u.s.w.
Vereinfachung des Schwingkreises: Hertzscher Dipol - statt Spule eine Windung, die zu einem Stab aufgebogen wird - statt Kondensator zwei Enden des Stabs
Die Induktivität und Kapazität ist längs des Stabs verteilt.
Der Strom ist an den Enden null und in der Mitte des Stabs maximal.
Die Spannung ist an den Enden maximal und ändert in der Mitte ihr Vorzeichen.
(Giancoli)
Heinrich Hertz (1857-1894) experimenteller Nachweis elektromagnetischer Wellen
Guglielmo Marconi (1874-1937) erstes transatlantisches Funksignal, Morsesignal des Buchstabens "S" (1901), Nobelpreis 1909.
Philosophical Magazine 23 (1862),
Prof. Maxwell on the Theory of Molecular Vortices
3
Versuche
Erzeugung elektromagnetischer Wellen durch einen Funkeninduktor, der an eine Stabantenne angeschlossen ist.
Empfang in ca. 8 m Entfernung über Stabantenne und Niederfrequenz-Verstärker, wobei das Signal akustisch (Lautsprecher) und mit einem Oszilloskop nachgewiesen wird.
Dezimeterwellensender (Frequenz 434 MHz, Wellnlänge in Luft 69 cm) mit Stabantenne und verschiedene Empfänger- antennen mit Diode und Glühlampe oder Amperemeter. Abstrahlcharakteristik: Helligkeit der Glühlampe nimmt mit dem Abstand ab; leuchtet maximal, wenn beide Antennen parallel sind. Bei größerer Entfernung mehrere Minima und Maxima mit dem Amperemeter beobachtbar (stehende Welle). Optimale Länge der Empfängerantenne ca. 30-35 cm (halbe
Wellenlänge an Luft). Empfängerantenne unter Wasser: Lampe erlischt, Lampe an kürzerer Antenne leuchtet auf (d.h.
kürzere Wellenlänge in Wasser, nach c = l ∙ f ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit c unter Wasser reduziert (f konstant).
6.2 Elektromagnetische Wellen
Welle = Störung einer physikalischen Größe, die in einem quasi-kontinuierlichen Medium fortschreitet.
Diese Störung kann, muss aber nicht periodisch sein. Für jeden Punkt der Welle gilt
"physikalische Größe":
z.B. Auslenkung (Wasserwelle, Seilwelle), Druck (Schall), elektrisches und magnetisches Feld
"quasi-kontinuierliches Medium":
z.B. Wasser, Luft (besteht aus diskreten Atomen), Kette von gekoppelten Pendeln,
Vakuum bei elektromagnetischen Wellen (früher wurde ein nicht entdeckter "Äther" als Medium vermutet)
"fortschreiten":
Geschwindigkeit kann z.B. von der Frequenz abhängen (Dispersion), Form der Welle kann sich ändern
t v z
Welle als Funktion von Raum und Zeit
) (
) (
) , ( : allgemein )
( ) , ( und )
( ) , (
: Lösungen
und 1
) (
weil )
( ) (
) , (
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
t v z h t v z g t z f t
v z f t z f t
v z f t z f
t f v z
f u
v f t f
u f f z
t v z u t
v z u
f t v z f t z f
Wellengleichung
Linearität: Die Summe zweier Lösungen ist wieder eine Lösung.
5
0 0 22 0und 0
t B E
t t E B
t B E
t E B
Maxwell-Gleichungen mit Vakuum ohne Ladungen und Ströme:
Ohne Herleitung:
Damit ergibt sich die Wellengleichung:
div
div(grad ) div(grad ) wenn div 0grad 2
E E E E E E E
2 2 2 2 2 0 0
2 1
t E c t E E
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
t E c z
E y
E x
E
t E c z
E y
E x
E
t E c z
E y
E x
E
z z
z z
y y
y y
x x
x x
2 2 2 2
2 1
t E c z
Ex x
In Komponenten-Schreibweise:
Für eine Welle mit Amplitude in x, die sich in z-Richtung bewegt:
Wellenformen
- ebene Wellen, Kugelwellen, Gaußsche Strahlen etc.
- periodisch oder nicht periodisch
- monchromatisch oder Mischung von Frequenzen/Wellenlängen - polarisiert oder unpolarisiert
Ebene monochromatische Wellen
(eine monochromatische Welle muss auch periodisch und unendlich ausgedehnt sein)
Ex Ey B Bx By E ez B ez
E
z E E y
E x E
d.h.
0 , , ebenso
0 , ,
0 div weil 0
0
Bedingung für ebene Welle:
Die Zusatzbedingungen div E = 0 und div B = 0 schränken die möglichen Lösungen der Wellengleichung weiter ein, so dass die z-Komponenten von E- und B-Feld null sein müssen - sonst gäbe es entlang der Ausbreitungsrichtung abwechselnd Quellen und Senken der Felder. Ferner stehen E-Feld, B-Feld und Ausbreitungsrichtung (hier: z) senkrecht aufeinander:
e E
B k B
E k B
E k
t B t B t B
x E y E
z E x E
y E z E
t E B B
E
z y
x x
y
z y x
x y x z y z
oder
weil
E- und B-Feld schwingen bei der ebenen Welle in Phase.
T f
c c c f
k
k 2 2 weil /
2 l l
l
l
Aus der Periodizität der Welle folgt für die sog. Wellenzahl k
( ) und ( , ) exp ( )
exp )
,
(z t E0 i k z c t B z t B0 i k z c t
E
Geschwindigkeit = Weg / Zeit
= Wellenlänge / Periodendauer
= Wellenlänge ∙ Frequenz
7
Die Wellenzahl kann auch als Vektor geschrieben werden, der in Ausbreitungsrichtung zeigt und dessen Länge k ist. Allgemein:
e En c e t
r k c i
B E n
t r k i E
E k k
1
) ( exp
und
exp 0
0
Der Polarisationsvektor n ist ein Einheitsvektor, der in Richtung des elektrischen Felds zeigt, und ist eine konstante Phase (alternative Schreibweise: E0 als komplexe Zahl).
Die Polarisation ist durch die Richtung des E-Felds definiert, das jedoch nicht stets in dieselbe Richtung zeigen muss. Spezialfälle (hier wieder Ausbreitung in z-Richtung):
- lineare Polarisation: x- und y-Komponente sind gleichphasig, das E-Feld schwingt in einer Ebene.
- zirkulare Polarisation: x- und y-Komponente sind gleich groß und um 90º versetzt. Die Spitze des Feldvektors beschreibt eine Spirale (rechts oder links zirkular polarisiert).
k z t E E k z t
E
Ex x,0cos und y y,0cos
k z t E E k z t
E E
t z k E
E t
z k E
E
y x
y x
cos und
sin oder
sin und
cos
0 0
0 0
Andere Kombinationen von Betrag und Phasenverschiebung nennt man elliptisch polarisiert.
Eine statistische Mischung aus Polarisationsrichtungen (z.B. Licht einer Glühlampe) nennt man unpolarisiert.
Energie und Impuls elektromagnetischer Wellen Momentane Energiedichte:
Momentane Intensität, Energiestromdichte in k-Richtung:
Mittelwert der Intensität:
Poynting-Vektor (Vektor der Energiestromdichte):
Impuls pro Volumenelement:
Strahlungsdruck:
Kraft auf eine absorbierende Fläche A:
Kraft auf eine senkrecht reflektierende Fläche A:
0 2
2 2 2 0 2 0 2
0 2
1 1
2 1 2
1 E B E c B E
w
2
0 E
c I
T
T t E
c I
0 2 2
0
0 2
cos 1 weil 1
2
1
22
0 | | 1 W/m
c E B S I S
S
John Henry Poynting 1852-1914
2
2 0
2 s m
kg 1
V
B p c E
S I c V
p
2
0 E
c
pS
c A P c A I E A
p
F S 0 2 A
p F 2 S
Komet Hale-Bopp. Ein Teil des Kometenschweifs (abgedampftes Material
he Kraft/Fläc Druck
:
Anm. c
V L p V
p dt
d A p dt
d A
F