Finite Elemente am Beispiel der Poissongleichung

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Finite Elemente am Beispiel der Poissongleichung

Roland Tomasi

11.12.2013

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Inhalt

1 Die Poissongleichung

2 Galerkin-Verfahren

3 Finite Elemente

(3)

Poissongleichung

Sei Ω⊂Rⁿ ein Gebiet mit abschnittsweise glattem Rand∂Ω und f ∈L²(Ω). Wir suchenu : Ω→R, so dass

−∆u=f in Ω,

u= 0 auf ∂Ω.

Physikalische Interpretationen (z.B.):

f W¨armequelle,u Temperaturverteilung im Gleichgewicht f Kraft, u Membran im Gleichgewicht (potentielle Energie ist minimal!)

(4)

L¨ osung als Energieminimierer

Die L¨osungu ∈W₀^1,2 Ω

des Poissonproblems ist der Minimierer des Energiefunktionals

J[v] := 1 2

Z

Ω

|∇v(x)|²dx− Z

Ω

f (x)v(x)dx

= 1

2k∇vk²− hf,vi

¨

uberW₀^1,2 Ω .

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Fundamentallemma der Variationsrechnung

Lemma Sei R ∈C Ω

.

∀ϕ∈C Ω :

Z

Ω

R(x)ϕ(x)dx= 0

⇔ R(x)≡0 Dieses Lemma l¨asst sich auf R, ϕ∈W₀^1,2 Ω

¨

ubertragen.

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Schwache Formulierung

Definiere dasResiduum

R[u] :=−∆u−f.

⇒Poissongleichung wird zu R[u] = 0

⇔∀ϕ∈W₀^1,2 Ω :

Z

Ω

R[u]ϕdx= 0

⇔∀ϕ∈W₀^1,2 Ω :

Z

Ω

(∇u)·(∇ϕ)dx= Z

Ω

fϕdx

(schwache Formulierung des Poissonproblems)

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Galerkin-Verfahren

Galerkin-Verfahren: Betrachte endlichdimensionalen Unterraum V ⊂W₀^1,2,

d.h. suchev ∈V mit

∀ϕ∈V : Z

Ω

(∇v)·(∇ϕ)dx= Z

Ω

fϕdx.

Man hofft mitv eine gute Approximation vonu zu erhalten.

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Galerkin-Orthogonalit¨ at

F¨urw ∈V ⊂W₀^1,2 Ω gilt

h∇(u−v),∇wi=h∇u,∇wi − h∇v,∇wi

= Z

Ω

(∇u)·(∇w)dx− Z

Ω

(∇v)·(∇w)dx

= Z

Ω

f wdx− Z

Ω

f wdx= 0.

In diesem Sinne ist der Fehler orthogonal zum UnterraumV.

(9)

C´ ea’s Lemma

Lemma

Die approximierte L¨osung v ist bzgl. der Energienorm optimal:

k∇(v−u)k= min

w∈Vk∇(w−u)k Beweis

Mittels Galerkin-Orthogonalit¨at und Cauchy-Schwarz erh¨alt man k∇(v−u)k² =h∇(v−u),∇(v−u)i

=h∇(v−u),∇(v−w)i+h∇(v−u),∇(w −u)i

=h∇(v−u),∇(w−u)i

≤ k∇(v−u)kk∇(w−u)k

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Diskretisierung I

Sei{b₁, . . . ,bm}eine Basis von V:

∀ϕ∈V :h∇v,∇ϕi= Z

Ω

f ϕdx

⇔

∀1≤j ≤m:h∇v,∇b_ji= Z

Ω

f b_jdx (System vonm= dimV Gleichungen)

v(x) =

m

X

i=1

v_ib_i(x)

⇒

m

X

i=1

v_ih∇b_i,∇b_ji= Z

Ω

f b_jdx.

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Diskretisierung II

Bei Galerkin-Verfahren wird also L¨osung von Ax=y gesucht, wobei

x:=





 v1

... vm





, y:=





 hf,b1i

... hf,bmi





,

A:=







h∇b₁,∇b₁i . . . h∇b_m,∇b₁i

... ...

h∇b₁,∇b_mi . . . h∇b_m,∇b_mi





.

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Finite Elemente

Es gibt viele ArtenV zu w¨ahlen. Gute Wahl w¨urde beinhalten:

einfache Basisfunktionen {b₁, . . . ,bm}

A dünn besetzt, d.h. h∇b_i,∇b_ji= 0 für möglichst viele i,j

z.B.Finite Elemente (FEM):

Ω in kleine Simplexe (Elemente) unterteilen (triangulieren) V Vektorraum der stetigen und elementweise linearen Funktionen

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Triangulierung

Die Triangulierung von Ω muss konformsein (Stetigkeit!) Bezeichne die Elemente als ω₁, . . . , ω_N, d.h. Ω =

N

[

k=1

ω_k. Bezeichne die Knotenpunkte (Vertices) alsξ₁, . . . , ξ_M.

Bezeichne die Vereinigung der Elemente um den Vertexξ_k als Ω_k := interior [

j:ξk∈ω_j

ωj.

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Basisfunktionen

Eine Basis vonV erh¨alt man, indem man zu jedem Vertex ξ_k ∈Ω^◦ eine Funktionb_k definiert mit:

b_k(ξ_k) = 1 bk = 0 auf Ω\Ωk

bk stetig und elementweise linear

Insb. gilt dann: Ω_i∩Ω_j =∅ ⇒ h∇b_i,∇b_ji= 0, d.h. A ist d¨unn besetzt.

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Fehlerabsch¨ atzung

Satz

Sei h:= max

k diamω_k. Dann gilt

k∇(u−v)k ≤chk∇²uk f¨ur ein c>0.

Beweis (Beweisidee)

C´ea’s Lemma

elementweise Poincar´e

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Adaptive FEM

Die Approximation wird besser, wenn man die Triangulierung verfeinert.

In manchen Bereichen von Ω ist die Approximation aber evtl.

viel besser als in anderen.

Gleichm¨aßige Verfeinerung erh¨oht die Anzahl der

Freiheitsgrade drastisch, d.h. Berechnung wird langwierig Idee:Adaptive FEM (AFEM):

Fehlerschätzer für elementweise a posteriori Fehlerabschätzung Iterative Verfeinerung von Elementen mit großen Fehler

⇒

Quasi-optimale Konvergenz (bzgl. der ben¨otigten Freiheitsgrade)

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Noch Fragen?

Vielen Dank f¨ur Ihre Aufmerksamkeit!

Bitte z¨ogern Sie nicht Fragen zu stellen!