Aufgabe 11.2: Richardson-Verfahren

Universit¨at Heidelberg G. Kanschat, S. Meggendorfer

Abgabe:16.07.2019

Ubung Nr. 11 ¨

zur Vorlesung Einf ¨uhrung in die Numerik, Sommer 2019 Aufgabe 11.1: Minimierung und lineare Gleichungssysteme

F¨ur eine symmetrische und positiv definite MatrixA∈R^n×n, sowie einen Vektorb∈Rⁿsei die Funktionf:Rⁿ→Rerkl¨art durch

F(x) =1

2x^TAx−x^Tb f¨ur jedesx∈Rⁿ.

(a) Zeigen Sie, dass f¨urx, y∈Rⁿdurchhx, yi_A=x^TAyein Skalarprodukt aufRⁿdefiniert ist.

(b) Berechnen Sie den Gradienten vonF.

(c) Zeigen Sie f¨urx∈Rⁿ, dassAx=bgenau dann gilt, wennF(x) = min_z∈RⁿF(z).

Aufgabe 11.2: Richardson-Verfahren

SeiA∈R^n×neine symmetrische, positiv definite Matrix undb∈Rⁿ. Betrachten Sie die lineare Iteration x^(k+1)=g(x^(k)) :=x^(k)−ω

Ax^(k)−b .

(a) Zeigen Sie, dass ein Fixpunktxvongdas GleichungssystemAx=bl¨ost.

(b) Finden Sie eine Bedingung anω, so dass Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz die Existenz und Eindeutigkeit vonx und die Konvergenz des Verfahrens f¨ur beliebige Startwertex⁽⁰⁾ ∈Rⁿfolgern k¨onnen. Messen Sie dazu die Lipschitz- Stetigkeit in der euklidischen Norm und nutzen Sie die Eigenwertdarstellung symmetrischer Matrizen.

(c) Zeigen Sie, dass es keinωgibt, f¨ur das das Verfahren konvergiert, fallsAsymmetrisch und indefinit ist, also positive und negative Eigenwerte hat.

Aufgabe 11.3: Nichtlineare Gleichungen

Gegeben sei das nichtlineare Problem (Schnittpunkte eines Kreises und einer Hyperbel) x²₁+x²₂= 2 und x²₁−x²₂= 1

(a) Bestimmen Sie alle L¨osungen analytisch.

(b) Schreiben Sie die Aufgabe als Nullstellenproblem f¨ur geeignetesf :R²→R². Berechnen Sie die Iterierten des Newton- Verfahrens ausgehend vonx⁽⁰⁾= (1,1)mit einer Genauigkeit von2·10⁻³. Nutzen Sie die a posteriori Fehlerabsch¨atzung aus Aufgabe 9.4c zum Abbruch der Iteration.

(c) Ab welchem Schritt beobachten Sie quadratische Konvergenz?