Aufgabe 1: Trigometrische Interpolation 5 Punkte Wir betrachte die Vandermondematrix V ∈ R (n+1)×(n+1) , welche wir zur L¨ osung der Trigometrischen Interpolation ben¨ otigen:

Prof. Lars Diening, Sebastian Schwarzacher, Hans Irl 18.11.2011

Numerik — Blatt 5 Abgabe: Freitag, den 25. November, vor der Vorlesung

Aufgabe 1: Trigometrische Interpolation 5 Punkte Wir betrachte die Vandermondematrix V ∈ R (n+1)×(n+1) , welche wir zur L¨ osung der Trigometrischen Interpolation ben¨ otigen:

V = (ω ^lk ) _lk ,

wobei ω = e

, also eine Einheitswurzel ist. Zeigen Sie, V ^∗ V = (n + 1)Id.

Aufgabe 2: Legendre-Basis 5 Punkte

Die Legrende-Polynome P 0 sind L¨ osung der Legrendreschen Differentialglei- chung

(1 − x ² )P _n ⁰⁰ (x) − 2xP _n ⁰ (x) + n(n + 1)P _n (x) = 0.

Die Polynome sind im Allgemeinen gegeben durch

P _n (x) = 1 2 ⁿ n!

d ⁿ

dx ⁿ (x ² − 1) ⁿ . Zeigen Sie, dass diese ein Orthogonalsystem bilden, d.h.

Z 1

−1

P _m (x)P _n (x) dx = 2

2n + 1 δ _mn .

Aufgabe 3: Splines 5 Punkte

Sei f ∈ C ² [a, b]. Weiterhin sei s _n der nat¨ urliche, cubische Spline mit s _n (x _i ) = f (x _i ) f¨ ur i = 0, . . . , n, wobei x _i := a + ih f¨ ur i = 0, . . . , n und h := ^b−a _n . Zeigen Sie, dass

kf − s n k _∞ ≤ ch ² kf ⁰⁰ k _∞ .

Aufgabe 4: Gerschgorinische Kreisscheiben 5 Punkte Zeigen Sie:

(a) F¨ ur die Frobeniusbegleitmatrix F ∈ R ^m×m ,

F :=















0 1 · · · 0

0 0 1 · · · 0

.. . . .. . .. .. .

0 · · · 0 0 1

− a ₀ −a ₁ · · · − a m−2 − a m−1













 .

gilt

det(F − zI) = (−1) ^m {z ^m + a m−1 z ^m−1 + ... + a ₁ + a ₀ }, z ∈ C .

Hinweis: F¨ uhren Sie einen Induktionsbeweis nach m ∈ N durch und

entwickeln Sie det(F − zI) nach der ersten Spalte.

(b) Die Vereinigung K := S m

i=1 K _i der Kreisscheiben

K _i :=

(

z ∈ C : |z − a _ii | ≤

m

X

k=1,k6=i

|a _ik | )

, i = 1, ..., m,

enth¨ alt s¨ amtliche Eigenwerte der Matrix A.

Hinweis: Betrachten Sie eine Zeile der Eigenwertbeziehung Ax = λx.