“Logische Grundlagen der Mathematik”, WS 2014/15
Thomas Timmermann 19. Dezember 2017
Wir beweisen zum Abschluss der Vorlesung die Implikationen
Auswahlaxiom (3) +3Lemma von Zorn
qy (2)
Wohlordnungsprinzip
(1)
dl
Hier die einzelnen Aussagen:
AuswahlaxiomIsta eine nicht-leere Menge, so existiert eineAuswahlfunktion für a, d.h. eine Abbildung c: a→S
a mit c(x)∈x für alle x ∈a.
Für endliche Mengen kann man das per Induktion beweisen, für unendliche benötigt man so etwas wie transfinite Induktion, aber nicht nur für Ordinalzahlen, sondern für beliebige Mengen. Dass so etwas geht, behauptet das Wohlordnungsprinzip:
Wohlordnungsprinzip Jede Menge besitzt eine Wohlordnung, oder, äquivalent, jede Menge ist gleichmächtig zu einer Ordinalzahl.
Wieso sind beide Aussagen äquivalent? Nach letzter Vorlesung finden wir für je- de wohlgeordnete Menge a eine Ordinalzahl γ und einen Ordnungsisomorphismus f : γ → a. Ist umgekehrt a noch nicht wohlgeordnet, γ eine Ordinalzahl und f : γ →a eine Bijektion, so wirda wohlgeordnet durchx ≤y ⇔f−1(x)≤f−1(y). Sei halbgeordnete Menge. Falls jede Kette in eine obere
(1) Wohlordnungsprinzip⇒Auswahlaxiom Seiaeine nicht-leere Menge. Nach dem Wohlordnungsprinzip können wir die Menge b := S
a wohlordnen. Eine Aus- wahlfunktionc: a→b ist dann gegeben durch c(x) := min{z ∈b :z ∈x}.
(2) Lemma von Zorn⇒Wohlordnungsprinzip Schritt 1:Seiaeine Menge. Wir wollen zeigen, dass es eine Wohlordnung auf a gibt, und wenden dazu das Lemma von Zorn auf die Menge aller Wohlordnungen auf Teilmengen vona an.
Bezeichne also A die Menge aller Paare (b,≤), bestehend aus einer Teilmenge b ⊆ a und einer Wohlordnung ≤ auf b. Wir definieren (b1,≤1) (b2,≤2) genau dann, wennb1 ein “Anfangsstück” von b2 ist, also
(i) b1⊆b2,
(ii) ∀x , y ∈b1 :x ≤1y ↔x ≤2 y, (iii) ∃y ∈b2: b1={x ∈b2 :x ≤y}. Damit istA partiell geordnet.
Schritt 2: SeiK ⊆ A eine Kette, also eine total geordnete Teilmenge. Setze c :=[
{b : (b,≤)∈ K} ⊆a.
Seien x , y ∈c. Dann existieren (b1,≤1) und (b2,≤2) in K mit x ∈b1 und y ∈b2. Da K total geordnet ist, gilt (b1,≤1) (b2,≤2) oder (b1,≤1) (b2,≤2). Gelte oBdA ersteres. Dann folgt x ∈b1⊆b2 und wir definieren
x :≤c y ⇔ x ≤2y .
Man kann nun nachprüfen, dass ≤c eine Wohlordnung auf c definiert und (c ,≤c) eine obere Schranke fürK ist, also (b,≤)(c ,≤c) für jedes (b,≤) in Kgilt.
Schritt 3:Nach dem Lemma von Zorn enthältAalso ein maximales Element(b,≤). Angenommen,b 6=a. Dann existiert ein x ∈a\b und aufc :={x} ∪b erhalten wir eine Wohlordnung≤c, indem wir die Wohlordnung auf b nehmen und durch x < y für alle y ∈b ergänzen. Dann wäre (b,≤) ≺(c ,≤c), Widerspruch.
Also istb =a und ≤ eine Wohlordnung auf a.
(3) Das Auswahlaxiom ⇒ das Lemma von Zorn Sei(a,≤)eine halbgeordnete Menge ohne maximale Elemente, in der jede Kette eine obere Schranke besitzt, und sei c: P(a)\ {∅} →a eine Auswahlfunktion für P(a)\ {∅}.
Wir werden zeigen: Zu jeder Ordinalzahl γ > 0 gibt es eine Abbildung hγ: γ → a mit folgenden Eigenschaften:
(i) hγ(0) =c(a)∈a;
(ii) hγ(ξ+ 1) =c({z ∈a: z > hγ(ξ)}) falls ξ, ξ+ 1< γ;
(iii) hγ(λ) = c({z ∈ a : z > hγ(ξ) für alle ξ < λ}), falls λ < γ eine Limeszahl ist.
Aus den Bedingungen (ii) und (iii) folgt dann sofort für alle Ordinalzahlen η, ξ: η < ξ < γ ⇒ hγ(η)< hγ(ξ),
insbesondere isthγ injektiv für jede Ordinalzahl. Nach letzter Vorlesung bilden aber die Ordinalzahlen, die eine injektive Abbildung nach a erlauben, eine Menge. Das ist ein Widerspruch.
Die Existenz von hγ für jede Ordinalzahl γ beweisen wir mit transfiniter Induktion.
1. Induktionsanfang γ ={∅}: Setze z.B. hγ := c(a). 2. Induktionsschritt für eine Nachfolgezahl γ=s(β):
Angenommen, hβ existiert. Dann ist hβ(β)⊆a eine Kette. Wir wählen eine obere Schranke
x =c( {z ∈a:z > hβ(ξ) für alle ξ < β}
| {z }
Menge der oberen Schranken von hβ(β) )
Nun können wir hγ definieren durch
hγ(ξ) :=
(hβ(ξ), ξ < β, d.h. ξ∈β,
x , ξ=β.
3. Induktionsschritt für eine Limeszahl γ =S γ:
Typische Anwendungen des Lemmas von Zorn
Satz. Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.
Beweis. Schritt 1: Sei V ein Vektorraum und A ⊆ P(V) die Menge aller linear unabhängigen Teilmengen, halbgeordnet durch Inklusion.
Schritt 2: Sei K ⊆ A eine Kette. Dann ist c := S
K auch linear unabhängig.
Denn andernfalls gäbe es eine nicht-triviale Linearkombination 0 = Pn
i=1λivi mit v1, . . . , vn ∈ c, und nach Def. von c gäbe es ein d ∈ K mit v1, . . . , vn ∈ d, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von d.
Schritt 3: Sei b ⊆ A ein maximales Element. Dann ist b linear unabhängig, aber auch ein Erzeugendensystem, denn sonst gäbe es ein v ∈V so, dass auch b∪ {v} linear unabhängig wäre, im Widerspruch zur Maximalität von b.
Satz. Seien a und b Mengen. Dann gibt es eine injektive Abbildung a → b oder eine injektive Abbildung b→a, d.h. es gilt|a| ≤ |b| oder |b| ≤ |a|.
Beweis. Schritt 1:SeiAdie Menge aller Teilmengenf ⊆a×b, die der Graph einer Bijektion zwischen Teilmengen von a undb sind (äquivalent:A ist die Menge aller Tripel (c , d , f), wobei c ⊆a, d ⊆b und f : c →d bijektiv ist). Diese Menge wird halbgeordnet durch Inklusion.
Schritt 2: Ist K ⊆ A eine Kette, so ist S
K ebenfalls der Graph einer Bijektion zwischen Teilmengen vona und b und eine obere Schranke von K.
Schritt 3:Somit besitztAein maximales Elementf ⊆a×b. Fallsc := {x : (x , y)∈ f} 6=a und d := {y : (x , y) ∈ f} 6=b, so finden wir x ∈a\c und y ∈b\d, und dann istf ≺f ∪ {(x , y)} ∈ A im Widerspruch zur Maximalität.
Also ist c = a und f Graph einer Injektion a → b, oder d = b und f beschreibt eine Injektion b →a.
Nicolas Bourbaki und die Neuschreibung der Grundlagen 1939 erschien Bourbakis erster Band, dem viele weitere folgten:
I Théorie des ensembles II Algèbre
III Topologie générale
IV Fonctions d’une variable réelle V Espaces vectoriels topologiques VI Intégration
VII Algèbre commutative VIII Groupes et algèbres de Lie
IX Théories spectrales
Charles Denis Bourbaki (1816–1897)
Später erschienen Überblicks-
Werke:
• Eléments d’histoire de mathématique
• Panorama of pure mathematics as seen by Bourbaki
Die Mitglieder von Bourbaki
• Gründungskongress 1935 durch Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Dels- arte, René de Possel, Jean Dieudonné und André Weil
• spätere Mitglieder:Laurent Schwartz, Jean-Pierre Serre, Alexander Grothen- dieck, Serge Lang, Pierre Cartier, . . .
• Regeln: Ausschluss aus Altersgründen mit 50, Frauen zugelassen
Zitate
“Structures are the weapons of the mathematician.” Nicolas Bourbaki
“A whole generation of graduate students were trained to think like Bourbaki.” Saunders Mac Lane
“The misunderstanding was that many people thought that it should be taught the way it was written in the books. You can think of the first books of Bourbaki as an encyclopedia of mathematics, containing all the necessary information. That is a good description. If you consider it as a textbook, it’s a disaster. ” Pierre Cartier
“Most books nowadays tend to be too formal most of the time. They give too much in the way of formal proofs, and not nearly enough in the way of motivations and ideas. Of course it is difficult to do that—to give motivations and ideas... French mathematics has been dominant and has led to a very formal school. I think it is very unfortunate that most books tend to be written in this overly abstract way and don’t try to communicate
understanding.” Michael Francis Atiyah
